Weiß jemand, was $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $ wäre, wobei $ t ^ a $ etc sind Gell-Mann-Matrizen? Dies geschah bei der Analyse des Farbfaktors für den Compton-Effekt für QCD. Also, muss ziemlich häufig sein, aber ich konnte keine richtige Referenz finden. Im Allgemeinen gibt es eine Referenz für die Spur einer beliebigen Anzahl von Gell-Mann-Matrizen?
Antwort
Ich nehme die SU (N) Generatoren in der Grunddarstellung normalisierten sich so, dass $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Der Kommutator zweier Generatoren definiert die Strukturkonstanten $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Der Antikommutator zweier Generatoren ist
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
wobei mit $ 1 $ die Identitätsmatrix und $ d ^ {abc} $ das als
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Dann gibt es eine nützliche Identität
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Ich schlage Ihnen diese Referenz vor http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf wo verschiedene Trace-Identitäten gesammelt werden. Schauen Sie sich für Ihren Fall Gleichung 75 in Anhang B, Seite 9 an.
Überprüfen Sie die Normalisierung der Generatoren, bevor Sie diese Identität verwenden.
Kommentare
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