Statistik: Beziehung zwischen Alpha und Beta

$ \ alpha $ und $ \ beta $ hängen zusammen. Ich werde versuchen, den Punkt mit einem Diagnosetest zu veranschaulichen. Nehmen wir an, Sie haben einen diagnostischen Test, der den Spiegel eines Blutmarkers misst. Es ist bekannt, dass Menschen mit einer bestimmten Krankheit im Vergleich zu gesunden Menschen einen niedrigeren Spiegel dieses Markers haben. Es ist sofort klar, dass Sie einen Cutoff festlegen müssen Wert, unter dem eine Person als „krank“ eingestuft wird, während Personen mit Werten über diesem Grenzwert als gesund angesehen werden. Es ist jedoch sehr wahrscheinlich, dass die Verteilung des Blutmarkers selbst innerhalb von krank erheblich variiert und gesunde Menschen. Einige gesunde Personen haben möglicherweise sehr niedrige Blutmarkerwerte, obwohl sie vollkommen gesund sind. Und einige kranke Menschen haben hohe Blutmarkerwerte, obwohl sie an der Krankheit leiden.

Es gibt vier Möglichkeiten, die auftreten können:

1. eine kranke Person wird korrekt als krank identifiziert (wahr positiv = TP)
2. eine kranke Person wird fälschlicherweise als gesund eingestuft (falsch negativ = FN)
3. Eine gesunde Person wird korrekt als gesund identifiziert (wahres Negativ = TN)
4. Eine gesunde Person wird fälschlicherweise als krank eingestuft (falsch positiv = FP).

Diese Möglichkeiten können mit einer 2×2-Tabelle :

 Sick Healthy Test positive TP FP Test negative FN TN 

$ \ alpha $ bezeichnet die falsch positive Rate, die $ \ alpha = FP / (FP + TN) $ ist. $ \ beta $ ist die falsch negative Rate, die $ \ beta = FN / (TP + FN) $ ist. Ich habe ein einfaches R -Skript geschrieben, um die Situation grafisch darzustellen.

alphabeta <- function(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=130, sd.healthy=10, cutoff=120, n=10000, side="below", do.plot=TRUE) { popsick <- rnorm(n, mean=mean.sick, sd=sd.sick) pophealthy <- rnorm(n, mean=mean.healthy, sd=sd.healthy) if ( side == "below" ) { truepos <- length(popsick[popsick <= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy <= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy > cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick > cutoff]) } else if ( side == "above" ) { truepos <- length(popsick[popsick >= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy >= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy < cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick < cutoff]) } twotable <- matrix(c(truepos, falsepos, falseneg, trueneg), 2, 2, byrow=T) rownames(twotable) <- c("Test positive", "Test negative") colnames(twotable) <- c("Sick", "Healthy") spec <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[1,2]) alpha <- 1 - spec sens <- pow <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[2,1]) beta <- 1 - sens pos.pred <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[1,2]) neg.pred <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[2,1]) if ( do.plot == TRUE ) { dsick <- density(popsick) dhealthy <- density(pophealthy) par(mar=c(5.5, 4, 0.5, 0.5)) plot(range(c(dsick$x, dhealthy$x)), range(c(c(dsick$y, dhealthy$y))), type = "n", xlab="", ylab="", axes=FALSE) box() axis(1, at=mean(pophealthy), lab=substitute(mu[H[0]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.healthy)), cex.axis=1.5,tck=0.02) axis(1, at=mean(popsick), lab=substitute(mu[H[1]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.sick)), cex.axis=1.5, tck=0.02) axis(1, at=cutoff, lab=substitute(italic(paste("Cutoff=",coff, sep="")), list(coff=cutoff)), pos=-0.004, tick=FALSE, cex.axis=1.25) lines(dhealthy, col = "steelblue", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x<=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x<=cutoff],0), col = "grey65") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x>=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x>=cutoff],0), col = "grey65") } lines(dsick, col = "red", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x>cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x>cutoff],0) , col="grey90") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x<=cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x<=cutoff],0) , col="grey90") } legend("topleft", legend=(c(as.expression(substitute(alpha~paste("=", a), list(a=round(alpha,3)))), as.expression(substitute(beta~paste("=", b), list(b=round(beta,3)))))), fill=c("grey65", "grey90"), cex=1.2, bty="n") abline(v=mean(popsick), lty=3) abline(v=mean(pophealthy), lty=3) abline(v=cutoff, lty=1, lwd=1.5) abline(h=0) } #list(specificity=spec, sensitivity=sens, alpha=alpha, beta=beta, power=pow, positiv.predictive=pos.pred, negative.predictive=neg.pred) c(alpha, beta) } 

Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir gehen davon aus, dass der mittlere Blutmarkerwert bei den Kranken 100 mit einer Standardabweichung von 10 beträgt. Bei den gesunden Menschen beträgt der mittlere Blutspiegel 140 mit einer Standardabweichung von 15. Der Kliniker setzt den Grenzwert auf 120.

alphabeta(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, cutoff=120, n=100000, do.plot=TRUE, side="below") Sick Healthy Test positive 9764 901 Test negative 236 9099 

Sie sehen, dass die schattiert Bereiche stehen in einer Beziehung zueinander. In diesem Fall ist $ \ alpha = 901 / (901+ 9099) \ ca. 0,09 $ und $ \ beta = 236 / (236 + 9764) \ ca. 0,024 $. Aber was passiert, wenn die Der Kliniker hatte den Grenzwert anders eingestellt. Stellen wir ihn etwas niedriger auf 105 ein und sehen, was passiert.

 Sick Healthy Test positive 6909 90 Test negative 3091 9910 

Unser $ \ alpha $ ist jetzt sehr niedrig, da fast keine gesunden Menschen als krank diagnostiziert werden. Aber unser $ \ beta $ hat zugenommen, weil kranke Menschen mit einem hohen Blutmarker-Spiegel jetzt fälschlicherweise als gesund eingestuft werden.

Lassen Sie uns abschließend untersuchen, wie sich $ \ alpha $ und $ \ beta $ unterschiedlich unterscheiden Cutoffs:

cutoffs <- seq(0, 200, by=0.1) cutoff.grid <- expand.grid(cutoffs) plot.frame <- apply(cutoff.grid, MARGIN=1, FUN=alphabeta, mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, n=100000, do.plot=FALSE, side="below") plot(plot.frame[1,]~cutoffs, type="l", las=1, xlab="Cutoff value", ylab="Alpha/Beta", lwd=2, cex.axis=1.5, cex.lab=1.2) lines(plot.frame[2,]~cutoffs, col="steelblue", lty=2, lwd=2) legend("topleft", legend=c(expression(alpha), expression(beta)), lwd=c(2,2),lty=c(1,2), col=c("black", "steelblue"), bty="n", cex=1.2) 

Sie kann sofort erkennen, dass das Verhältnis von $ \ alpha $ und $ \ beta $ nicht konstant ist. Sehr wichtig ist auch die Effektgröße. In diesem Fall wäre dies der Unterschied der Mittelwerte der Blutmarkerwerte zwischen kranken und gesunden Menschen. Je größer der Unterschied, desto einfacher können die beiden Gruppen durch einen Cutoff getrennt werden:

Hier haben wir einen “ Perfekter „Test in dem Sinne, dass der Cutoff von 150 die Kranken von den Gesunden unterscheidet.

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Bonferroni-Anpassungen

Bonferroni-Anpassungen reduzieren den $ \ alpha $ -Fehler, aber erhöht den Typ-II-Fehler ($ \ beta $) .Dies bedeutet, dass der Fehler, eine falsch negative Entscheidung zu treffen, erhöht wird, während falsch positive Entscheidungen minimiert werden. Aus diesem Grund wird die Bonferroni-Anpassung häufig als konservativ bezeichnet. Beachten Sie in den obigen Grafiken, wie sich das $ \ beta $ erhöhte, als wir den Cutoff von 120 auf 105 senkten: Es stieg von $ 0,02 $ auf $ 0,31 $. Gleichzeitig $ \ alpha $ hat sich von $ 0.09 $ auf $ 0.01 $ verringert.

Kommentare

• @COOLSerdash Wow, nette Antwort! Vielen Dank. In Ihrem Beispiel die Wahl der Ein signifikantes Niveau kann für bekannte Verteilungen erreicht werden. In der Biologie können Sie beispielsweise die Verteilung Ihrer abhängigen Variablen nicht kennen, wenn die Behandlung einen Effekt hat. Mit anderen Worten, wenn Sie ein Signifikanzniveau auswählen, wählen Sie die falsch positive Rate, aber Sie haben fast keine Ahnung wie die False-Negative-Rate eingestellt wird. Da Sie eigentlich keine Ahnung haben, wie die True-Positive- und Negative-Rate eingestellt wird. Ist das richtig?
• @ Remi.b Danke. Ich denke, Sie sind richtig. Normalerweise Sie wählen einfach $ \ alpha $ als Signifikanzniveau oder führen vorher eine Leistungsberechnung durch (indem Sie Annahmen über die Effektgröße $ \ alpha $ a treffen nd power ($ 1- \ beta $). Aber Sie ‚ haben Recht: Sie können $ \ alpha $ steuern, indem Sie es auswählen, aber $ \ beta $ ist oft unbekannt. Dieses Papier ist ein sehr guter Ausgangspunkt für $ p $ -Werte und was $ \ alpha $ -Niveaus wirklich bedeuten.

Für andere in der Zukunft:

Bei der Schätzung der Stichprobengröße wird das Ztotal berechnet, indem das Z entsprechend Alpha addiert wird und Z entsprechend der Leistung (1-beta). Wenn also die Stichprobengröße konstant gehalten wird, bedeutet das Erhöhen von Z für Alpha, dass Sie das Z für die Leistung um den gleichen Betrag verringern, z. B. wenn Sie Zalpha von 0,05 auf 0,1 erhöhen, wird die Z-Leistung um 0,05 verringert.

Der Unterschied ist das Z. für Alpha ist zweiseitig, während das Z für Beta einseitig ist. Während sich der Z-Wert um den gleichen Betrag ändert, ändert sich die Wahrscheinlichkeit%, der dieser Z-Wert entspricht, nicht um den gleichen Betrag.

Beispiel:

5% Alpha ( 95% Konfidenz) mit 80% Leistung (20% Beta) ergibt die gleiche Stichprobengröße wie

20% Alpha (80% Konfidenz) mit 93,6% Leistung (6,4% Beta) anstelle der 95% Leistung, die wir haben hätte, wenn die Beziehung 1: 1 wäre.

Es gibt keine allgemeine Beziehung zwischen Alpha und Beta.

Es hängt alles von Ihrem Test ab. Nehmen Sie das einfache Beispiel:

(Wikipedia)

Im umgangssprachlichen Gebrauch kann der Fehler Typ I als „Verurteilung einer unschuldigen Person“ angesehen werden. und Typ-II-Fehler „eine schuldige Person frei lassen“.

Eine Jury kann schwerwiegend sein: kein Typ-II-Fehler, eine Typ-IA-Jury kann „freundlich“ sein: kein Typ-I-Fehler, sondern eine Typ-II-A-Jury kann normal sein: einige Typ I und einige Typ II Eine Jury kann perfekt sein: kein Fehler

In der Praxis gibt es zwei Antagonisteneffekte:

Wenn die Qualität des Tests steigt, t Der Fehler von Typ I und Typ II nimmt bis zu einem gewissen Punkt ab. Wenn sich eine Jury verbessert, neigt er dazu, sowohl unschuldige als auch schuldige Menschen besser zu beurteilen.

Nach einem bestimmten Zeitpunkt tritt das zugrunde liegende Problem im Aufbau des Tests auf. Typ I oder II sind für denjenigen, der den Test durchführt, wichtiger. Mit dem Beispiel der Jury sind Fehler vom Typ I wichtiger, und daher wird das Rechtsverfahren so aufgebaut, dass Typ I vermieden wird. Im Zweifelsfall ist die Person frei. Intuitiv führte dies zu einer Zunahme des Typ-II-Fehlers.

In Bezug auf Bonferroni:

(wieder Wikipedia)

Die Bonferroni-Korrektur kontrolliert nur die Wahrscheinlichkeit von falsch positiven Ergebnissen. Die Korrektur geht normalerweise zu Lasten der Erhöhung der Wahrscheinlichkeit, falsche Negative zu erzeugen, und folglich der Verringerung der statistischen Leistung. Wenn Sie eine große Anzahl von Hypothesen testen, kann dies zu großen kritischen Werten führen.

Kommentare

• Vielen Dank für Ihre Antwort. Es ist nützlich, aber immer noch etwas ist mir nicht klar. Ich habe meinen Beitrag aktualisiert und eine neue Frage hinzugefügt.