Suchen Sie h [n] mithilfe der DTFT-Eigenschaften

While Dies ist durch Ihre Aufnahme Hausaufgaben (und ziemlich einfach), ich werde beißen. Erinnern Sie sich an die Definition der DTFT :

$$ X. (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Und erinnere dich an die Definition des Frequenzgangs $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

wobei $ x [n ] $ ist die Eingabe in das System und $ y [n] $ ist seine Ausgabe. Kombinieren Sie diese beiden Gleichungen:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Führen Sie nun die inverse DTFT auf beiden Seiten der Gleichung durch. Per Definition sind $ X (\ omega) $ und $ x [n] $ ein Transformationspaar; ebenfalls für $ Y (\ omega) $ und $ y [n] $. Rufen Sie für die beiden anderen Begriffe die zeitverschiebende Eigenschaft der DTFT auf:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

, was aus der Definition der DFT leicht hervorgeht. Unter Verwendung dieser Eigenschaft wird die inverse Gleichung in die Spezifikation Differenzgleichung für das System transformiert:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Dies ist die Definition eines rekursiven Filters, bei dem es sich normalerweise um normalerweise IIR handelt. das ist bei diesem der Fall. Das Finden der Impulsantwort ist einfach; Lassen Sie $ x [n] = \ delta [n] $ und stellen Sie fest, dass die Systemausgabe lautet:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Das Obige ist für $ a = 0,99 $ dargestellt. Es ist zu beachten, dass das System nur für $ | a | \ le1 $ stabil ist.

Kommentare

• I ' Ich habe versucht, die Impulsantwort zu berechnen, habe mich aber verheddert. Können Sie zeigen, wie es ' gemacht wird? Vielen Dank.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {case} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {case} \ end {align *} $$ Da sich die Impulsantwort auf $ \ infty $ erstreckt, handelt es sich um einen IIR-Filter. JasonR gibt in seiner Antwort an, dass der Filter nur dann stabil ist, wenn $ | a | < 1 $. Tatsächlich ist der Filter stabil, wenn $ | a | \ leq 1 $ und ist nur für $ | a | instabil > 1 $. Wenn jedoch $ | a | = 1 $, aus der geometrischen Reihenformel $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $ erhalten wir $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ ist die Übertragungsfunktion eines (stabilen) FIR -Filters, der als Kurzzeitintegrator bezeichnet werden kann oder kurzfristiger Mittelwert (mit einem Gewinn von 4 $).

Kommentare

• Schöne alternative Ableitung. Ich habe meinen Stabilitätsanspruch auch in meiner Antwort festgelegt.