Verwirrung hinsichtlich der Berechnung der Grundperiode?

Die trigonometrischen Funktionen sind im Wesentlichen exponentiell. Eine Verdoppelung des Arguments entspricht also einer Quadratur der Funktion (in gewissem Sinne). In diesem Fall kann dies durch Anwenden der Winkeladditionsformel festgestellt werden:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ Theta) \ sin (\ Theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Anwenden auf Ihre Gleichung:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Daraus geht hervor, dass die Grundperiode 0,25 beträgt, da dies $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ ergibt .

Auf Anfrage:

$$ \ begin {align} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {align} $$

Sie sollten in der Lage sein, von dort aus zu rechnen. Beachten Sie, dass der quadratische Fall genauso behandelt werden könnte.

Ich verwende diese Technik ausgiebig für diese Formeln:

• Genaue nahezu augenblickliche Frequenzformeln Best at Peaks (Teil 1)
• Exakte nahezu augenblickliche Frequenzformeln Best at Peaks (Teil 2)
• Genaue nahezu augenblickliche Frequenzformeln am besten bei Nulldurchgängen

Kommentare

• Bitte Aktualisieren Sie die vorletzte Zeile Ihrer Antwort. Es ist eine Grundperiode, die 0,25 nicht Grundfrequenz ist.
• @Man Done, guter Fang. Tut mir leid.
• Bitte aktualisieren Sie Ihre Antwort ein wenig, um die Notwendigkeit einer aktualisierten Frage zu erfüllen.
• @Man Beenden Sie das Verschieben der Torpfosten. n = 3,4,5 … kann nach dem Muster berechnet werden. Das Endergebnis ist $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, was $ T = 1 / (2n) $

Dies scheint eher ein Semantikproblem zu sein.

Ein Signal ist periodisch mit der Zeit $ T $ , wenn

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Das Signal ist also in $ 0.5 $ da das Argument des Cosinus für $ T = 0.5 \ cdot n $ ein ganzzahliges Vielfaches von $ 2 \ pi $ . Da es in $ 0.5 $ periodisch ist, ist es auch in allen ganzzahligen Vielfachen von $ 0.5 $ periodisch $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ usw.

In diesem Fall ist es auch in $ 0.25 $ periodisch, da $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Jedes periodische Signal hat also eine unendlich viele Perioden, die fundamentale ist die kleinste und alle anderen sind ganzzahlige Vielfache der fundamentalen.

Wenn dies hilfreich ist, erzeugen Sie eine Sinuswelle mit Einheitsamplitude bei 1 Hz und ihrem Quadrat:

Dann sehen die Sinuswelle und ihr Quadrat folgendermaßen aus:

Sie können die DC-Komponente sehen: Der gemittelte Wert der quadratischen Sinuswelle (gemittelt über eine ganzzahlige Anzahl von Perioden) beträgt 1/2. Und die rote Sinusfrequenz wird genau verdoppelt, so dass sich die Periode halbiert. Die Gleichstrom- und Doppelfrequenz sind die „Schwebungsfrequenzen“, die durch Multiplizieren der Sinuswelle mit sich selbst erhalten werden.

Kommentare

• Welche Software verwenden Sie?
• Ich verwende ein kommerzielles Simulationsprogramm namens Extend (ältere Version) und ExtendSim (neuere Versionen) von Imagine That, Inc. Diese werden um vier Blockbibliotheken erweitert, die ich 1990 entwickelt habe. Meine Bibliotheken mit dem Namen LightStone sind kostenlos mit vollständig kommentiertem Quellcode erhältlich. Die URL für meine Bibliotheken lautet umass.box.com/v/LightStone . Ich werde die Bibliotheken bis Ende der Woche aktualisieren, damit sie mit der neuesten ExtendSim 10.0.6-Version funktionieren (sollte nur eine Neukompilierung sein). Das obige Modell wurde mit Extend 6.0.8 auf einem alten Mac erstellt (ich mag das Aussehen).
• Danke, ich ' werde es überprüfen: )