Hier „eine Wahrscheinlichkeitsfrage (wahrscheinlich wirklich einfach) Ich bin nicht sicher, wie ich sie lösen soll:
Gamma Verteilung $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ mit $ \ mu = 20 $ und $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Die vorherige Frage bestand darin, die Werte von $ \ alpha $ und $ \ beta $ zu finden, die ich mit $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ und $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ durchgeführt habe alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Für die Gamma-Verteilung cdf steht in meinem Lehrbuch $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ wobei $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ ist die Standard-Gammaverteilung cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Um das zu integrieren, muss ich anscheinend die Kettenregel verwenden, aber unser Professor hat es nie getan ein Beispiel. Gibt es eine Verknüpfungsmethode? Wir haben die Integration in einem realen Beispiel nie verwendet, nur um das PDF zu definieren und das PDF für verschiedene Distributionen abzurufen.
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Die Beispiele in meinem In einem Lehrbuch mit Standardproblemen der Gammaverteilung heißt es, die Werte für $ F (x; \ alpha) $ in Tabelle A.4 des Anhangs nachzuschlagen. Als ich nachschaute, fehlte Tabelle A.4, was mich wirklich enttäuscht. Gibt es welche? Standard-Gamma-Verteilungstabellen online, die ich ausdrucken und mit der Aufgabe abgeben kann? Ich habe Wolfram Alpha überprüft, aber sie hatten keine. Casio hat etwas , aber ich bin mir nicht sicher, wie die Form- und Skalierungsparameter lauten.
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Diese Tabelle gefunden. Vor dem Buch stand Tabelle A.5 direkt nach A.3, weshalb ich dachte, dass A.4 fehlt. Ich ging in die Bibliothek, um zu sehen, ob sie vorhanden sind hatten das gleiche Lehrbuch, und jemand hatte den gesunden Menschenverstand (den ich nicht hatte), um in den hinteren Teil des Buches zu schauen, und da war es. Es wird keine weitere Hilfe benötigt.
Kommentare
- Sie müssen nach Teilen wiederholt integrieren beginnend mit $ u = y ^ {\ alpha-1} $ und $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ und $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Jedes Mal, wenn Sie dies tun, erhalten Sie ein Integral mit einem kleineren Exponenten für $ y $. Wenn $ \ alpha $ eine Ganzzahl ist, können Sie den Vorgang abschließen. Wenn $ \ alpha $ keine Ganzzahl ist, sind die Dinge komplizierter.
- @dilip Sie sollten Ihren Kommentar als Antwort posten.
- @DilipSarwate, es gibt keine geschlossene Lösung für $ \ alpha $ nicht ganzzahlig, dieses cdf ist dann die unvollständige Gammafunktion .
- Und ich bezweifle stark, dass die Integration nach Teilen das Ziel war der Übung.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4 weibl.% 2C+24 weibl.
Antwort
Wie von Wahrscheinlichkeitslogik vorgeschlagen, wird mein Kommentar in eine Antwort konvertiert.
Sie müssen nach Teilen wiederholt integrieren, beginnend mit $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ und unter Verwendung von $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Da $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, jedes Mal, wenn Sie eine Teilintegration durchführen, Sie wird ein Integral mit einem kleineren e erhalten xponent für $ y $ auf der rechten Seite. Wenn $ \ alpha $ eine Ganzzahl ist (wie in diesem speziellen Fall), können Sie den Prozess mit einem $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $ beenden. Wenn $ \ alpha $ keine Ganzzahl ist, sind die Dinge komplizierter, da es keinen allgemeinen Ausdruck in geschlossener Form für $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ gibt, wobei $ 0 < \ gamma < 1 $. Wie von Xi „an festgestellt, ist das cdf die unvollständige Gammafunktion, und seine numerischen Werte wurden tabellarisch aufgeführt.
Wenn die Integration nach Teilen nicht ist, ist der Punkt dieser Übung, wie vorgeschlagen In Elvis Kommentar möchten Sie möglicherweise überprüfen, ob Ihr Professor möchte, dass Sie den Wert einer Gamma-Zufallsvariablen als Ankunftszeit in einem Poisson-Zufallsprozess betrachten und das Problem unter diesem Gesichtspunkt lösen.
Kommentare
- Gibt es eine Online-Tabelle für verschiedene Werte von x und alpha? Mein Lehrbuch enthält nur Tabellen für normale Standardkurven und t-Verteilungen. Ich habe versucht, nach einer zu suchen, aber stattdessen zu viele Chi-Quadrat-Tabellen gefunden.
- Ich kenne ' keine Online-Tabelle, aber MATLAB berechnet Werte für Sie und ich nehme an, dass R oder Mathematica oder Wolfram Alpha oder Maple oder … etc dasselbe tun würden.