Dies ist eine Antwort mit geringer Genauigkeit und dennoch einfach

Hier können Sie nur die radiale Ausrichtungskonfiguration der Planeten berechnen.

Wenn Sie eine Annäherung wünschen, sagen wir, Sie approximieren die Position der Planeten Als Zeiger in einer Uhr könnten Sie die Mathematik auf folgende Weise berechnen.

Angenommen, $ \ theta_i $ ist der Anfangswinkel für den Planeten $ i $ zum Zeitpunkt $ t_0 $ – gemessen von einem beliebigen, aber festen Wert Position, und $ l_i $ ist die Länge des Jahres – in Tagen – für den Planeten $ i $.

Dann wird dieses Gleichungssystem wieder gelöst:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Von hier aus würden Sie dann einfach den chinesischen Restsatz anwenden.

Wenn Sie das Minimum x finden, erhalten Sie den Winkel, den der Planet, der bei $ t_0 $ den Winkel $ \ theta_i = 0 $ hatte, zurückgelegt hätte, bis eine Ausrichtung -Konfiguration erreicht wurde. EIN Wenn Sie die Erde als den genannten Planeten wählen, teilen Sie diesen Winkel durch eine vollständige Umdrehung ($ 360 ^ {o} $) und Sie erhalten die Anzahl der Jahre, in denen diese Konfiguration erreicht werden kann – aus der Konfiguration $ t_0 $.

Die unterschiedlichen $ \ theta_i $ in Grad für alle Planeten am 01. Januar 2014 – Sie können dies als Ihr $ t_0 $ verwenden:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Erde & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptun & \ quad 334.90 \ end {align}

Quelle

Die unterschiedlichen $ l_i $ in Tagen für alle Planeten:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Erde & \ quad 365,26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptun & \ quad 60189 \ end {align}

Schließlich unter Annäherung an ganzzahlige Werte und unter Verwendung von this Online-Löser für das Gleichungssystem Die Antwort lautet $ x = 4.0384877779832565 \ mal 10 ^ {26} $, geteilt durch $ 360 ^ {o} $ ergibt ungefähr $ 1.1218 \ mal 10 ^ {24} \ quad \ text { Jahre} $$

Bearbeiten 1

Gerade gefunden diese Site , mit der Sie vielleicht herumspielen möchten. Es ist eine interaktive Flash-Anwendung mit der genauen Position der Planeten.

Ich weiß auch, dass alle Informationen von dieser NASA-Seite und das ist so genau, wie Sie es bekommen können, aber es ist für mich jetzt einfach unverständlich. Ich werde versuchen, es später zu überarbeiten, wenn ich Zeit finde.

Auch Dieses Buch von Jean Meeus mit dem Titel Astronomische Algorithmen behandelt alle grundlegenden Gleichungen und Formeln – es hat jedoch nichts mit Programmieralgorithmen zu tun.

Bearbeiten 2

Sehen Da Sie ein Programmierer sind, könnte es sich für Sie lohnen, die oben erwähnte NASA-Site zu besuchen. Auf die Daten aller Planeten kann sogar über $ \ tt {telnet} $ zugegriffen werden.Oder diese Sourceforge-Site , auf der Implementierungen für viele der in dem oben ebenfalls erwähnten Buch beschriebenen Gleichungen vorhanden sind.

Kommentare

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funktioniert in Kommentaren genauso. Ich denke, Ihr Ansatz ist der beste, den Sie ohne übermäßige Simulationen erreichen können. Sie müssen lediglich die tatsächlichen Daten einfügen. Das war der Teil, der mich gezögert hat, eine Antwort zu geben.
• @Gerald Oh, ich dachte, das Markup für Gleichungen hat in Kommentaren nicht funktioniert ‚. Ja, mir ‚ fehlen die Daten, insbesondere $ \ theta_i $. Ich werde die verschiedenen $ l_i $ -Informationen hinzufügen.
• Wie könnte dieses Solarsystem die genauen relativen Positionen der Planeten anzeigen, wenn ihre Abstände von der Sonne nicht korrekt sind? Es könnte die Position jedes Planeten relativ zur Sonne isoliert korrekt anzeigen und somit gut für diese Frage sein, aber nicht zum Finden von Konjunktionen.
• @LocalFluff Das ist wahr. Dies gibt nur eine Antwort auf radiale Ausrichtungskonfigurationen. Bearbeitet.
• Diese Antwort enthält mehrere Fehler. Wenn ich alle Ziffern in Ihren Tabellen verwende (was bedeutet, dass in Centidgrees und Centidays konvertiert wird), erhalte ich tatsächlich $ x \ ca. 1.698 \ times10 ^ {42} $ (vom selben Online-Tool), was $ 1.29 \ times10 ^ {33 entspricht } $ yr. Ich ‚ weiß nicht, wie Sie den niedrigeren Wert erhalten haben, aber ich vermute stark, dass Sie einige Ziffern weggelassen haben. Zweitens zeigt dies, dass beim Hinzufügen weiterer Ziffern die Lösung gegen unendlich tendiert: Die richtige Antwort lautet: Radiale Ausrichtung tritt niemals auf . Schließlich ist die Annahme, dass die Planeten ‚ Umlaufbahnen dieser einfachen Bewegung folgen, nur falsch .

Die richtige Antwort lautet „ nie “ für mehrere Gründe dafür. Zuerst , wie in Florins Kommentar ausgeführt, sind die Umlaufbahnen des Planeten nicht koplanar und können daher möglicherweise nicht ausgerichtet werden , selbst wenn jeder Planet willkürlich in seiner Umlaufbahn platziert werden könnte. Zweitens , selbst eine reine radiale Ausrichtung findet niemals statt, weil die Perioden des Planeten nicht vergleichbar sind – ihre Verhältnisse sind keine rationalen Zahlen. Schließlich entwickeln sich die Planetenbahnen über Zeitskalen von Millionen von Jahren, hauptsächlich aufgrund ihrer gegenseitigen Gravitation ziehen. Diese Entwicklung ist (schwach) chaotisch und daher für sehr lange Zeit unvorhersehbar.

Die falsche Antwort von Harogaston nähert sich im Wesentlichen den Umlaufzeiten durch die Die nächsten entsprechenden Zahlen ergeben eine sehr lange Zeit (obwohl er dies nur um den Faktor 10 ^ {16} $ falsch verstanden hat).

Eine viel interessantere Frage (und vielleicht die, an der Sie tatsächlich interessiert waren ) ist, wie oft sich die 8 Planeten nahezu radial ausrichten . Hier könnte „ fast “ einfach „ innerhalb von $ 10 ^ \ circ $ aus Sicht der Sonne “ bedeuten. Bei einer solchen Gelegenheit richtet sich die gegenseitige Anziehungskraft der Planeten aus und führt daher zu stärkeren Änderungen der Umlaufbahn als der Durchschnitt.

Jede Schätzung der gemeinsamen Periode von mehr als zwei Planeten (dh nach wie viel Zeit richten sie sich wieder ungefähr in heliozentrischer Länge aus?) hängt sehr stark davon ab, wie viel Abweichung von der perfekten Ausrichtung akzeptabel ist.

Wenn die Periode des Planeten $ i $ $ P_i $ ist und wenn die akzeptable Abweichung in der Zeit $ b $ ist (in den gleichen Einheiten wie $ P_i $), dann ist die kombinierte Periode $ P $ von Alle $ n $ -Planeten sind ungefähr $$ P \ ungefähr \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$. Wenn Sie also die akzeptable Abweichung um den Faktor 10 verringern, erhöhen Sie die gemeinsame Periode um den Faktor 10 $ ^ {n-1} $, was für 8 Planeten ein Faktor von 10.000.000 ist. Es ist also sinnlos, eine gemeinsame Periode anzugeben, wenn Sie nicht auch angeben, wie viel Abweichung akzeptabel war. Wenn die akzeptable Abweichung auf 0 abfällt (um eine „perfekte Ausrichtung“ zu erreichen), steigt die gemeinsame Periode auf unendlich. Dies entspricht Mehrere Kommentatoren „Aussagen, dass es keine gemeinsame Periode gibt, weil die Perioden nicht angemessen sind.

Für die von Harogaston aufgelisteten Perioden“, \ \ prod_i P_i \ ca. 1,35 \ times10 ^ 6 $, wenn die $ P_i $ werden in julianischen Jahren von jeweils 365,25 Tagen gemessen, sodass der übliche Zeitraum in Jahren ungefähr $$ P \ ungefähr \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ beträgt, wenn $ b $ auch in Jahren gemessen wird. Wenn die Perioden auf den nächsten Tag angenähert sind, dann $ b \ ca. 0,00274 $ Jahre und $ P \ ca. 1,2 \ mal 10 ^ {24} $ Jahre. Wenn die Perioden auf den nächsten 0,01 Tag angenähert sind, dann $ b \ ca. 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ und $ P \ ca. 1,2 \ times10 ^ {38} $ Jahre.

Die Ableitung der obigen Formel lautet wie folgt:

Approximieren Sie die Planetenperioden durch Vielfache einer Basiseinheit $ b $: $ P_i \ ca. p_i b $ wobei $ p_i $ ist eine ganze Zahl. Dann ist die gemeinsame Periode höchstens gleich dem Produkt aller $ p_i $. Dieses Produkt wird immer noch in Einheiten von $ b $ gemessen; wir müssen mit $ b $ multiplizieren, um zu den ursprünglichen Einheiten zurückzukehren beträgt die gemeinsame Periode ungefähr $$ P \ ungefähr b \ prod_i p_i \ ungefähr b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Die obige Ableitung berücksichtigt nicht, dass $ p_i $ gemeinsame Faktoren haben könnte, so dass die Ausrichtung früher erfolgt, als $ \ prod_i p_i $ vorschlägt. Ob jedoch zwei $ p_i $ gemeinsame Faktoren haben oder nicht, hängt stark von der gewählten Basisperiode $ b $ ab, sodass es sich effektiv um eine Zufallsvariable handelt und die globale Abhängigkeit von $ P $ von $ b $ nicht beeinflusst. P. >

Wenn Sie die akzeptable Abweichung in Winkel und nicht in Zeit ausdrücken, erhalten Sie wahrscheinlich Antworten, die von der Größe der akzeptablen Abweichung als abhängen stark wie für die obige Formel.

Siehe http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html für ein Diagramm von $ P $ als Funktion von $ b $ für alle Planeten einschließlich Pluto.

BEARBEITEN:

Hier ist eine Schätzung mit akzeptabler Abweichung in Bezug auf den Winkel . Wir möchten, dass alle Planeten innerhalb eines Längengrads der Breite $ δ $ liegen, der auf dem Längengrad des ersten Planeten zentriert ist, dem Längengrad von Der erste Planet ist frei. Wir gehen davon aus, dass sich alle Planeten in koplanaren Kreisbahnen um die Sonne in die gleiche Richtung bewegen.

Weil die Planeten “ Perioden sind nicht angemessen, alle Längenkombinationen der Planeten treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Die Wahrscheinlichkeit $ q_i $, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Länge des Planeten $ i > 1 $ innerhalb des auf der Länge des Planeten 1 zentrierten Breitensegments $ δ $ liegt, ist gleich zu $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Die Wahrscheinlichkeit $ q $, dass sich die Planeten 2 bis $ n $ alle innerhalb desselben Längengrads befinden, der auf Planet 1 zentriert ist, beträgt dann $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Um diese Wahrscheinlichkeit in eine zu übersetzen Im Durchschnitt müssen wir schätzen, wie lange alle Planeten jedes Mal ausgerichtet sind (auf $ δ $), wenn sie alle ausgerichtet sind.

Die ersten beiden Planeten, die ihre gegenseitige Ausrichtung verlieren, sind die schnellsten und langsamsten der Planeten. Wenn ihre Synodenperiode $ P _ * $ ist, sind sie für ein Intervall $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ ausgerichtet und dann für einige Zeit nicht ausgerichtet, bevor sie wieder ausgerichtet werden Jede Ausrichtung aller Planeten dauert also ungefähr ein Intervall $ A $, und alle diese Ausrichtungen zusammen decken einen Bruchteil $ q $ aller Zeiten ab. Wenn der durchschnittliche Zeitraum, nach dem eine weitere Ausrichtung aller Planeten erfolgt, $ P $ ist, dann wir müssen $ qP = A $ haben, also $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Wenn es nur zwei Planeten gibt, dann ist $ P = P _ * $ unabhängig von $ δ $, was wie erwartet ist.

Wenn es viele Planeten gibt, ist der schnellste Planet viel schneller als der langsamste, also ist $ P _ * $ nahezu gleich der Umlaufzeit des schnellsten Planeten.

Auch hier ist die Schätzung für die durchschnittliche Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ausrichtungen sehr empfindlich gegenüber der gewählten Abweichungsgrenze (wenn mehr als zwei Planeten beteiligt sind), daher ist es sinnlos, eine solche kombinierte Periode anzugeben Wenn Sie nicht auch erwähnen, welche Abweichung zulässig war.

Es ist auch wichtig zu bedenken, dass (wenn es mehr als zwei Planeten gibt) diese (nahezu) Ausrichtungen von allen nicht regelmäßig auftreten Intervalle.

Lassen Sie uns nun einige Zahlen eingeben. Wenn Sie möchten, dass alle 8 Planeten auf 1 Längengrad ausgerichtet sind, entspricht die durchschnittliche Zeit zwischen zwei solchen Ausrichtungen ungefähr $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ Umlaufbahnen des schnellsten Planeten. Für das Sonnensystem ist Merkur mit einer Zeitspanne von ungefähr 0,241 Jahren der schnellste Planet. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Ausrichtungen aller 8 Planeten innerhalb eines Längengrads beträgt ungefähr 5 × 10 ^ {14} $ Jahre.

Wenn Sie bereits mit einer Ausrichtung innerhalb von 10 Längengraden zufrieden sind, entspricht die durchschnittliche Periode zwischen zwei solchen Ausrichtungen ungefähr $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ Umlaufbahnen von Merkur. Das sind ungefähr 500 Millionen Jahre.

Was ist die beste Ausrichtung, die wir in den kommenden 1000 Jahren erwarten können? 1000 Jahre sind ungefähr 4150 Umlaufbahnen von Quecksilber, also $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ca. 4150 $, also $ δ \ ca. 90 ° $. In einem zufällig ausgewählten Intervall von 1000 Jahren gibt es durchschnittlich eine Ausrichtung aller 8 Planeten innerhalb eines Segments von 90 °.

Technisch gesehen besteht der wahre Weg, den Zeitraum zwischen der Ausrichtung aller 8 Planeten zu ermitteln, darin, die LCM aller 8 ihrer Jahreslängen zu ermitteln.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Ich verstehe, dass dies eine grobe Schätzung ist, da diese auf die nächste ganze Zahl gerundet sind, aber es gibt eine gute Idee von der Anzahl der Tage, die es dauern würde.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. So viele Jahre.

Kommentare

• Dies scheint die gleiche Methode zu sein, wie sie in beschrieben ist. ‚ s answe r .