Warum gibt es zwölf Noten in einer Oktave?

Diese Frage auf math.se ähnelt der Frage, die Sie stellen, und die Antworten enthalten viele Details:

Mathematischer Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten in einem Klavier?

Was hier vor sich geht, ist ein äußerst praktischer mathematischer Zufall: Einige der Potenzen von 2 ^ (1/12) sind zufällig gute Annäherungen an Verhältnisse kleiner Ganzzahlen, von denen es genug gibt, um westliche Musik zu spielen.

Kommentare

• Ich denke grundlegender, (3/2) ^ 12 (129.75) liegt nahe an einer Zweierpotenz (128). Somit haben die Quinten auf einer 12-Noten-Skala mit gleichem Temperament ein Verhältnis von 1,498: 1 (ideal wäre 1,5: 1), was näher an der Perfektion liegt als für jede andere vernünftige Anzahl von Noten.
• Ich ‚ habe Diskussionen über 19-TET (19-Ton-Temperament) gelesen, bei denen eine diatonische Skala fünf “ große “ Intervalle von 3/19 Oktave und zwei “ kleine “ Intervalle von 2/19 Oktave. Eine solche Skala wäre für eine normale Musiknotation zugänglich, wenn man z.B. C # und Db sind 1/3 Schritt voneinander entfernt. Die größte Seltsamkeit wäre, dass Schlüsselsignaturen mit bis zu neun scharfen oder flachen Stellen unterschiedlich sind (anstatt C # / Db, F # / Gb und B / Cb als Paare von klangähnlichen Schlüsselsignaturen zu haben).
• Ich denke, dieses Zitat trifft die Frage nicht zu oder erklärt sie nicht. Hier gibt es keinen Zufall. Es ist konstruktionsbedingt.
• @ggcg Dass die gleich temperierte n-Ton-Skala aus Frequenzverhältnissen von 2 ^ (j / n) für ganzzahlige Werte von j besteht, ist konstruktionsbedingt. Dass 2 ^ (7/12) und 2 ^ (5/12) gute Annäherungen an 3/2 und 4/3 sind und dass es keine ähnlich guten Annäherungen dieser Verhältnisse bei 11- oder 13-Ton-Temperament gibt, ist a Tatsache. Und kein Zufall – es bezieht sich auf den fortgesetzten Bruchteil des Basis-2-Logarithmus von 3. Dass 2 ^ (4/12) eine anständige Annäherung an 5/4 ist, ist jedoch, soweit ich sehen kann, ein Zufall. Besondere Eigenschaften der Zahl 12 sorgen dafür, dass das 12-Ton-Temperament einigermaßen gut funktioniert.

Zwei Punkte, die möglicherweise nicht vollständig beantwortet wurden.

• Warum ist C-Dur die Referenzskala für natürliche Töne?

  Die angelsächsische Notation verdunkelt die Geschichte ein wenig. Die Tradition der Kirchenmusik führte in Italien (kurz nach Frankreich und Spanien) dazu, Noten der Referenz-Hauptskala nach herkömmlichen Silben zu benennen: Ut Re Mi Fa Sol La Si (dies entspricht CDEFGAB ) stammt aus den lateinischen Texten eines sehr bekannten Stücks dieser Zeit. Die letztere Einzelbuchstaben -Notation nimmt einen anderen Ausgangspunkt, aber der Referenzcharakter der C-Dur-Tonleiter ist in allen Ländern des Abendlandes erhalten geblieben, selbst wenn Sie Hinweise auf Notationen und Tastaturen finden, die andere Notizen als Referenz verwenden. Einer der Haupteinflüsse war der Bau von Tasteninstrumenten (insbesondere der Kirchenorgel). Das aktuelle Tastaturlayout ist ein Kompromiss zwischen der typischen Breite der Hände beim Spielen des Ut (jetzt meistens Do oder C ) Hauptskala leicht und Zugriff auf alle Halbtöne und einige andere Dinge. Andere Designs waren nicht so erfolgreich.

  Sie müssen auch wissen, dass die Theoretisierung und Standardisierung der Musik mindestens bis zum 19. Jahrhundert unter der Schirmherrschaft der Kirchen (orthodox, katholisch, reformiert, …) erfolgte, die auf Einheitlichkeit drängten. Im neunzehnten Jahrhundert wurde die Stimmung, der Musikunterricht und die Dominanz des Klaviers als Referenz- und Kompositionsinstrument noch stärker standardisiert und internationalisiert. Die letzten drei Jahrhunderte haben die meisten unterschiedlichen Traditionen (in Bezug auf Skalen, Modi, Stimmung) in Europa nach und nach unterdrückt oder in Vergessenheit geraten lassen.Heutzutage wird Menschen, die etwas über Musik lernen, als Beweis für die C-Dur-Tonleiter als Grundlage der Musiktheorie und die Moll-Tonleiter beigebracht, und seine Varianten werden nicht immer fair behandelt.

• Warum ist das so? gibt es einen Halbton zwischen E & F und B & C und nicht anderswo?

  Es gibt mehrere Skalen / Modi außerhalb der Dur-Tonleiter mit einer unterschiedlichen Anzahl von Noten, wobei die Halbtöne nicht zwischen der 3. und 4. Note und zwischen der 7. und 8. Note liegen. Zum Beispiel die drei Moll-Skalen (harmonisch, aufsteigend, absteigend), aber auch dorian , phrygian können Sie einen Enzyklopädie-Artikel darüber lesen.

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• Tatsächlich kommen nur ut bis la direkt aus der Hymne, die nur von C bis A reicht, aber das war seit dem System in Ordnung die diese Silben verwendeten, umfassten überlappende Sechs-Noten-Skalen, die Hexachorde genannt wurden; Diese Silben wurden neben den Buchstabennamen der Sieben-Noten-Skala verwendet, die ihnen vorausgegangen zu sein scheint. Ut wurde auf F, C oder G angewendet. Si wurde später hinzugefügt, als das Hexachord-System zusammenbrach und die Silben auf die Sieben-Noten-Skala angewendet wurden. Die Hauptskala existierte zu diesem Zeitpunkt jedoch nicht wirklich, da es nur vier authentische Modi und ihre plagalen Gegenstücke gab.

Ein Fünftel ist das kleinste Nicht-Oktav-Konsonantenintervall mit einem Frequenzverhältnis von 3: 2. Wenn Sie anfangen, reine Quinten zu stapeln, beträgt das erste Ergebnis, das den gestapelten Oktaven (2: 1) ziemlich nahe kommt, 12 Quinten, was sich als 531441: 4096 herausstellt, im Gegensatz zu 128: 1 für 7 Oktaven. Das ist so nah wie möglich an einer vernünftigen Anzahl von Noten pro Oktave. Wenn Sie also nach einer Tonalität suchen, die aus gestapelten Oktaven und fast perfekten Quinten besteht, ist eine Zwölftonteilung so ziemlich das, was Sie erreichen werden

Dies dient auch einigen anderen Intervallen (z. B. Haupt- und Nebendrittel), jedoch schlechter als Fünftel. „Mean Tone Temperament“ versucht, eine Reihe von großen Dritteln rein zu machen, auf Kosten mehrerer anderer Intervalle, und einige Drittel klingen schlechter, und „gut temperierte Stimmung“ erhält mehrere reine Fünftel und einige nette Drittel im Austausch gegen etwas unangenehmeres Fünftel.

Im Laufe der Jahrtausende hat die Stimmung ihren Fokus von reinen Dritteln auf reine Fünftel geändert und sich schließlich darauf festgelegt, nur die Oktaven rein zu machen und den Rest der Skala um ein gleich temperiertes Fünftel herum aufzubauen, was dazu führte 12 gleich temperierte Halbtöne.

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• das war eine sehr gute Erklärung. Danke. Ich bin immer noch daran interessiert, die Oktaven in verschiedene Halbtöne aufzuteilen und mit den Ergebnissen zu spielen. Ich frage mich, ob die 12-Halbton-Oktave vor dem Aufkommen von “ Musik, wie wir sie kennen, “ gut klang oder ob es etwas ist von einem erworbenen Geschmack, in welchem Fall alternative Aufschlüsselungen der Oktave angepasst werden könnten, wie im Fall von westlicher gegen indischer gegen ostasiatischer Musik.

Wenn zwei Noten zusammen gespielt werden, klingen sie nur dann angenehm, wenn ihre Wellenkurven alle paar Zyklen zusammenkommen. Wir nennen sie harmonisch klingend.

Wenn die Wellenkurven nie zusammenkommen oder nicht innerhalb weniger Zyklen, klingen sie nicht übereinstimmend.

Wellenkurven kommen nur zusammen, wenn Die beiden Frequenzen sind Vielfache voneinander. Wenn beispielsweise eine Frequenz 200 Zyklen pro Sekunde und die andere 600 Zyklen pro Sekunde beträgt, stimmen ihre Schallkurven genau dreimal pro Sekunde überein und sie klingen harmonisch.

Indem Sie jede Oktave in 12 Intervalle unterteilen, maximieren Sie die Anzahl der angenehm klingenden Notenpaare. Dies liegt daran, dass die Zahl 12 durch mehr kleine Zahlen teilbar ist als jede andere Zahl unter 60. Sie ist durch 1,2,3,4 und 6 teilbar. Die Zahl 60 würde angenehmere Kombinationen ermöglichen (1,2,3, 4 und 5), aber es wäre lächerlich, eine Oktave in 60 Intervalle zu unterteilen.

In der modernen westlichen Musik werden also 12 Intervalle verwendet. Das bietet die maximale Anzahl an angenehm klingenden Kombinationen, um Harmonie zu schaffen.

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• Ich sehe ‚ nicht, warum die Teiler hier wichtig sind. Denn zum Beispiel hat der gleich temperierte Triton ein Frequenzverhältnis von 2 ^ (6/12), was eine der schlechtesten Annäherungen (im Vergleich zur reinen Intonation) in der Skala ist, während das perfekte vierte (2 ^ (5/12)) eines von ist das Beste (siehe den Link in der Antwort von Matthew ‚). Noch ein kleiner Kommentar: Wenn eine Frequenz 200 Hz und eine andere 600 Hz beträgt, sind sie unter der Annahme, dass sie ‚ synchronisiert sind, 200 Mal pro Sekunde in derselben Phase, dh jeden dritten Zyklus des schneller.
• Die Frequenzen ‚ müssen nicht ein Vielfaches voneinander sein. Sie müssen ein kleines gemeinsames Mutiple teilen. Siehe meine Antwort hier .
• 60 Halbtöne pro Oktave! Das ist ein ausgezeichnetes Experiment: D
• @nonpop ist richtig. Wenn wir die Oktave in n gleiche Intervalle teilen, ist es für n nicht wichtig, viele Faktoren zu haben. 16et hat keine brauchbare Annäherung an ein perfektes Fünftel. 30et hat keine besseren Intervalle als die von 15et, dessen bestes Fünftel 18 Cent breit ist (12et ‚ s ist 2 Cent schmal). Andererseits haben einige gleiche Temperamente mit hervorragenden Intervallen Primzahlen n, zum Beispiel 19et, 31et und 53et.
• Ja, ich stimme @nonpop zu. Diese Antwort ist falsch. Keines der 12TET-Intervalle “ stimmt “ überein. Die gerechte Abstimmung bietet eine perfekte Ausrichtung, verursacht jedoch andere Probleme. Der 12TET ist ein Kompromiss. Ich ‚ kenne Leute mit perfekter Tonhöhe, die behaupten, dass ALLE 12TET-Intervalle dissonant klingen.

Der Grund ist DAS GEHIRN. Das Gehirn mag Frequenzen, die einfache Proportionen haben. Es denkt, sie gehören zusammen. Sie sollten sich zuerst wirklich fragen, warum es Oktaven gibt.

Nun, die Oktave repräsentiert eine Verdoppelung / Halbierung von Hertz (Zyklen pro Sekunde).

Midi Middle C ist also 256 Hz, und wenn Sie Ihre Computernummern kennen, werden Sie “ Beachten Sie, dass die nächsten Oktaven C bei 512, 1024, 2048 usw. liegen und die unteren Oktaven bei 128, 64 und (pimpen Sie Ihre Fahrt) 32.

Erdbeben treten übrigens auf bei ungefähr 11 Hertz.

Jede Gesellschaft beginnt mit der Oktave. „Cos 1/2. Verstanden?

(Ich schlage vor, dass die 2. Wiener Schule übrigens die Oktave aufgibt und auch die Instrumente stimmt. Niether macht für sie keinen Sinn. Der aktuelle Stand der Dinge mit Oktaven und Stimmen und dergleichen sind reine Heuchelei. Lass es los, Jungs! Auch Partituren. Und in der Öffentlichkeit spielen. Niemand kommt sowieso.)

Hh HHm …

Wie man teilt die Oktave?

Wenn wir sie auf C beginnen und in 3 teilen (was ein schönes gehirnfreundliches Verhältnis ist), erhalten wir eine schöne 3-Noten-Skala:

C, E. , G #, C

Wie wäre es, es in vier zu teilen:

C, Eb, F #, A, C

„Das ist schön“, sagt das Gehirn, „aber es ist zu SYMMETRISCH. Beide Skalen scheinen für immer und ewig zu bestehen, ich kann nicht sagen, was was ist. Ich weiß! Warum mischen und passen Sie die Proportionen nicht an, damit sie etwas ungleichmäßiger sind? Dann kann ich die Bassnote herausfinden. „

Und so wurde das“ Proto Major Thingy „geboren:

C, E, G, C

und das „Proto Minor Thingy“:

C, Eb, G, C

„Warte einen Moment Bit „, sagt das Gehirn,“ Sie haben eine Notiz verpasst, nicht wahr? „.

“ Wo? „

“ Zwischen G und C bin ich mir ziemlich sicher, dass Sie hatte etwas zwischen G und C „.

C, E, G, A, C?

“ Thas NICE! Rock and Rollish. Dann mach weiter, was ist mit dem anderen? „“

C, Eb, G, Bb, C?

„Hey, was ist mit dem Bb?“ Das haben wir noch nie gehört. Was für ein Verhältnis ist das? „

“ Es ist 10/12. „

“ Sie meinen 5/6. Okay. Spielen Sie es noch einmal. „

C, Eb, G, Bb, C

„Kay, das ist bluesig. Gut! Aber es ist 70.000 Jahre her und es gibt eine Menge armer Bastarde, die sich um die Landschaft drehen und von Säbelzahntigern und dergleichen zerkleinert und gekaut werden. Lotta Beerdigungen. Mucho Traurigkeit. Wie Trump heutzutage sollten Sie wissen! Brauchen Sie Abwechslung. „

“ Permutationen? „

“ Zeig es mir. „

C, D, E, G, A, C
C, D, E. , G, Bb, C r, C, Eb, F, G, Bb, C r, C, Eb, F, G, A, C

„Wie hoch ist der F-Anteil? „

“ 4/3 „

“ Großartig! Ich mag das. 5 Notizen. Geben wir ihm einen ausgefallenen griechischen Namen. Tart es ein bisschen auf. Penta …? “

„Tonic?“.

„Das ist wunderbar“.

„Ich habe nur Spaß gemacht. Weißt du, zu wörtlich …“

“ Nevermind. Es ist großartig. Wir werden mit Pentatonic gehen. Mehr! Wir brauchen mehr! Jetzt gibt es Häuptlinge, Lehmhütten, Schmuck „

“ Ich brauche ein paar Regeln „.

“ Kay. Ähm … behalte das kleine Drittel oder das große Drittel und das fünfte wo es ist, und bewege einfach die anderen herum … Ich weiß, so: bewege den siebten nach oben, den sechsten nach unten, den vierten nach oben und den zweiten nach unten! „

C, D, E, G, A, C r, C, D, E, G, Ab, C r, C, D, E, G, Bb, C r, C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C r, C, Eb, F #, G, Bb, C r, C, Eb, F, G, A, C r, C, Eb, F #, G, A, C C, Db, E, G, A, C C, Db, E, G, Ab, C C, Db, E, G, Bb, C C, Db, E, G, B, C

„Hey, wenn wir sie alle überlagern, erhalten wir 12 Unterteilungen der Oktave! Genial!“

C. , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

„Deshalb werde ich das Gehirn genannt, Sohn. Oh, und du.“ Ich bin willkommen. „

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• Ich schätze den Humor (ganz oben in meiner Gasse), aber es kann für diese Site etwas übertrieben sein. Was tun Sie meinen mit “ das C in 3 teilen? “
• @GeneralNuisance Bedeutet wahrscheinlich, dass die Oktave in drei gleiche Teile geteilt wird.
• Tatsächlich beträgt das mittlere C bei gleichem Temperament 261,63 Hz.
• Ich glaube nicht, dass die Prämisse solide ist.

Für westliche Musik waren die Griechen die Ersten Finden Sie heraus, welche Mathematik auf natürliche Weise in den Obertönen der Harmonischen auftritt, die von Hörnern und anderen Blasinstrumenten erzeugt werden. Die Griechen verwendeten die gleichen mathematischen Verhältnisse (Goldener Schnitt) für Saiten. Pythagoras erfand die pythagoreische Stimmung von (3: 2) perfekten Quinten und Oktaven (2: 1), um natürlich vorkommenden harmonischen Obertönen zu entsprechen. Später erfanden die Griechen 7 Modalskalen, die auf pythagoreischer Stimmung basierten. Sieben Modi mit acht Noten in einer Skala. Diese Skalen waren ionisch, dorisch, phrygisch, lydisch, mixolydisch, äolisch und locrisch. Wir verwenden immer noch Ionian (Major) und Aeolian (Minor). Der Fehler bei natürlichen Harmonischen besteht darin, dass die Oktaven zwischen den einzelnen Modi leicht voneinander abweichen. Aristoxenus erfand im 4. Jahrhundert v. Chr. Die 12 Töne zwischen den Oktaven, um zu versuchen, zwischen jeder Note das gleiche Verhältnis zu verwenden. Später wurden Keys erfunden, um diese 12 Töne als Basis für jede Skala zu verwenden. Das Problem war, dass diese Tasten von Natur aus leicht voneinander entfernt sind. Um dies zu lösen, J.S. Bach förderte in den frühen 1700er Jahren die Verwendung der Tempered Scale. Er glich die natürlich vorkommende Lücke zwischen jedem der zwölf Halbtöne aus. Blechblasinstrumente im Barock hatten eine Tüte mit unterschiedlich großen Gaunern, die für jede Tonart, in der sie auftraten, angepasst werden konnten Saiteninstrumente mussten auch bei jedem Tastenwechsel neu gestimmt werden. Durch Verwendung der temperierten Skala konnte ein Performer zwischen allen verschiedenen Tasten wechseln, ohne sie neu zu stimmen.

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• Okay, gute Geschichte, aber warum hat sich Aristoxenus für 12 statt für 13 oder 11 entschieden?
• Aristoxenus wollte das gleiche Verhältnis von 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html erklärt die Mathematik dahinter.
• Das sollten Sie dann in Ihrer Antwort erklären.
• Diese Antwort enthält viele falsche Aussagen. Der Goldene Schnitt erscheint im Allgemeinen nicht in Harmonie. Die griechischen Modi enthielten weder Ionisch noch Äolisch (und die griechischen Modi sind nicht die gleichen wie die, die wir heute unter diesen Namen lernen. Die griechischen Namen wurden im Mittelalter auf vier dieser Modi angewendet, während Äolisch, Ionisch und Locrisch später entwickelt wurden. Es gibt 7 verschiedene Tonhöhen in einer Skala, nicht 8. Das Temperament wurde lange vor Bach erfunden, und das von Bach bevorzugte Temperament war nicht gleich. Messing-Gauner haben nichts mit Temperament zu tun, und die Saiten mussten nicht bei jedem Schlüsselwechsel neu abgestimmt werden.

Ein einfaches Bild ist manchmal besser als eine große Erklärung, daher würde ich auch empfehlen, die Grafiken in diesem Link zu überprüfen. Sie können beispielsweise mit der Maus über das 10edo zum 19edo fahren, um die Unterschiede zwischen verschiedenen Abteilungen zu erkennen: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (sehen Sie sich nur die stärksten Konsonanzen an: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 und 3/5 – 5 / 3, der Rest des Diagramms ist im Vergleich wirklich nicht wichtig.)

Grundsätzlich zeigt es deutlich, dass die 12-Noten-Division die einzige ist, die die Verhältnisse 3/2 und 4/3 ergibt (die wichtigsten *** nach der Oktave) fast rein. Und die Drittel / Sechstel (Verhältnisse mit der Zahl “ 5 „, Die nächstwichtigsten ***) sind auch nicht so schlecht. Keine andere Division durch eine angemessene Anzahl von Noten, 10 bis 19, kann sich dem auch nur geringfügig nähern Dies ist mathematisch bemerkenswert und der Grund, warum wir 12 Noten und nicht 13, 11 usw. verwenden.

** (“ 1/3 “ bedeutet nur ein 4/3-Verhältnis mit 2 Oktavenverschiebungen. Es ist genau so, wie sie ursprünglich die Zahlen darstellen.)

*** (Ich meine, wenn Ihr Gehirn Musik leicht erkennen und sich daran erinnern möchte, brauchen Sie eher eine große Menge von Fünfteln, Vierteln und Dritteln, um mehr oder weniger in Einklang zu sein Musikalische Architektur, sogar melodisch, ansonsten sind es meist dissonante Klänge, die zu Geräuschen führen und für Ihr Gehirn schwer zu merken sind …)

Aufgrund Ihres Wortlauts der Frage würde ich sagen, dass es beabsichtigt ist. Es ist kein Zufall, dass 12 Halbschritte eher in eine Oktave als in 11 oder 13 passen. Obwohl sich die Details ändern können, wenn man nur eine Stimmung annimmt, werde ich die Annahme einer gleich temperierten Stimmung erklären. Zunächst sollten Sie wissen, dass es ein Kontinuum von Frequenzen und damit Tonhöhen zwischen zwei beliebigen Noten gibt. Durch Jahrhunderte des Experimentierens haben wir uns auf eine bestimmte Auswahl von Tonhöhenkombinationen für die westliche diatonische Skala konzentriert. Die Noten in einer Skala spiegeln wider, was den Ohren für eine bestimmte Kultur gefällt. Im Laufe der Zeit standardisierten Westler den Halbschritt, indem sie die Oktave unter Verwendung der Beziehung

f_octave = 2 * f_tonic

in 12 Schritte aufteilten. Sie legten die Einschränkung fest, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Halbschritte die sein sollte egal wo Sie anfangen,

f_1 / 2 = r * f_tonic (dies wäre eine kleine Sekunde)

, da wir die Anzahl von 1/2 Schritten von Tonic auf Tonic erzwingen Wenn die Oktave 12 ist, erhalten wir die Beziehung

r ^ 12 = 2 oder r = 2 ^ (1/12)

IMO. Einige Beiträge hier stellen den Wagen vor das Pferd. Mit der obigen Definition eines Halbtons können Sie nicht nachweisen, dass die Oktave nur 12 Halbtöne hat. Vielmehr fragen Sie, wie hoch das Verhältnis sein muss, um sicherzustellen, dass eine Oktave 12 enthält.

Zu diesem Zweck gibt es alle möglichen alternativen Chromatizismen, die versuchen, N gleiche Schritte in einer Oktave zu platzieren. Diese ergeben die Abstimmungsgleichung

r = 2 ^ (1 / N)

Es gibt ein 24 TET, das 24 gleiche Viertelschritte in einer Oktave enthält. Und Sie könnten absolut eine Skala mit

r = 2 ^ (1/13)

oder einer anderen Wurzel von 2 erstellen. Natürlich wären dies NICHT 1/2 Schritte in der traditioneller Sinn des Begriffs. Jetzt ist die Frage, wie wir dorthin gekommen sind, eine längere Geschichte. Vor dem 12TET-Stimmen hat die Just-Dur-Tonleiter mit 8 Noten (einschließlich Oktave) mehr als 5 Vorzeichen. Sie können dies googeln und Wiki-Artikel zu diesem Thema finden, aber ich glaube, es gab nur Skalen mit bis zu 17 unabhängigen Noten in der Oktave. Obwohl alle aufeinanderfolgenden Noten wahrscheinlich ein leicht unterschiedliches Verhältnis haben. Daher nicht wirklich ein halber Schritt. Was Sie einen halben Schritt nennen, hängt davon ab, wie Sie den Begriff gelernt haben.