Ich habe oft gelesen, dass Metalle, die Fermi-Flüssigkeiten sind, einen spezifischen Widerstand haben sollten, der mit der Temperatur variiert, wie $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Ich denke, der $ T ^ 2 $ -Teil ist der Widerstand aufgrund von Elektronen-Elektronen-Wechselwirkungen und der konstante Term ist auf Verunreinigungsstreuung zurückzuführen.
Ist vorhanden ein einfaches Argument, um dies zu zeigen? Oder könnten Sie mich auf eine nette Referenz verweisen?
Außerdem scheint es, dass für Elektronen-Elektronen-Wechselwirkungen, um einen endlichen spezifischen Widerstand einzuführen, eine gewisse Umklapp-Streuung erforderlich ist (um die galiläische und translatorische Invarianz zu brechen). Ist das richtig? Welche dieser Symmetrien (galiläisch oder translatorisch) muss gebrochen werden?
Kommentare
- Ich suche nach einer besseren Antwort, aber mein einfaches Verständnis ist wie folgt: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Und $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ definiert das Fermi-Flüssigkeitsverhalten.
- Die $ T ^ 2 $ -Skalierung erfordert sowohl Umklapp- als auch Elektronen-Elektronen-Streuung. Tatsächlich ist eine $ O (kT) $ -Nähe der Fermi-Oberfläche für Quasiteilchen an den Wechselwirkungen beteiligt, die die Skalierung implizieren, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Das ‚ habe ich auch gedacht, aber woher kommt der Umklapp?
- Hat jemand gute Referenzen die Berechnung des Umklapp-Effekts in der Fermi-Flüssigkeitstheorie?
- Es gibt einige einfache “ Phasenraum “ Argumente die $ T ^ 2 $ Abhängigkeit zu motivieren; Sind Sie auf sie gestoßen, @jjj?
Antwort
Wie die Elektron-Elektron-Wechselwirkung zu einem $ T führt Die Abhängigkeit von {{2} $ kann erklärt werden, indem die Einschränkungen der Elektronen-Elektronen-Streuung durch Impulserhaltung und das Ausschlussprinzip verstanden werden.
Betrachten Sie die Fermi-Oberfläche eines Elektronengases in 3D. Die Fermi-Oberfläche ist eine Kugel mit dem Radius $ k_ {f} $. Bei endlichen Temperaturen besetzen Elektronen Zustände außerhalb der Fermi-Oberfläche, die durch die Fermi-Dirac-Gleichung bestimmt werden und durch eine Hülle außerhalb der Fermi-Kugel mit einem Radius gekennzeichnet sind, der proportional zur Temperatur ist. Es gibt daher leere Zustände innerhalb der Fermi-Kugel innerhalb einer Hülle mit demselben Radius.
Wenn wir Elektronen-Elektronen-Wechselwirkungen bei kleinen Wechselwirkungsstärken einschalten, können wir dies als Streuung von Elektronen zwischen diesen Zuständen im obigen nicht wechselwirkenden Bild betrachten. Elektronen, die Fermionen sind, können nur Zustände besetzen, die bereits nicht besetzt sind, und gleichzeitig die Impulserhaltung befriedigen. Wir müssen also zwei Elektronen, die sich beide auf den Schalen mit einem Radius proportional zu T befinden, auf beiden Seiten der Oberfläche des Radius $ k_ {f} $ auswählen, damit man in einen leeren Zustand außerhalb von $ k_ streuen kann {f} $ Oberfläche und die andere in einen leeren Zustand in der Shell innerhalb der $ k_ {f} $ Oberfläche. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, zwei solcher Elektronen aufzunehmen, proportional zu $ T ^ 2 $.
Da der Beitrag zum spezifischen Widerstand proportional zur Wahrscheinlichkeit dieser Streuereignisse ist, führen diese Wechselwirkungen zu einem $ T ^ 2 $ Abhängigkeit des spezifischen Widerstands.
Es gibt strengere Argumente, aber ich denke, dies ergibt ein intuitives Bild, das im Zusammenhang mit schwachen Wechselwirkungen und niedrigen Temperaturen gültig ist.
Antwort
Oder könnten Sie mich auf eine nette Referenz verweisen?
Die Details hinter der folgenden Antwort finden Sie im folgenden arXiv-Dokument (und den darin enthaltenen Referenzen) arXiv: 1109.3050v1 .
Gibt es ein einfaches Argument, um dies zu zeigen?
Es scheint nicht, aber ich kann Folgendes sagen. Die Leitfähigkeit aufgrund von Elektron-Elektron-Kollisionen ist im Allgemeinen gegeben durch: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ wobei $ \ sigma $ die elektrische Leitfähigkeit ist, $ n $ die Elektronenzahldichte ist, $ e $ die Grundladung
Für eine Landau-Fermi-Flüssigkeit kann die durchschnittliche Relaxationsrate für Elektronen auf einer Fermi-Oberfläche wie folgt angegeben werden: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ wobei $ \ alpha $ die Effizienz der Impulsübertragung auf das Ionengitter als dimensionslose Größe ist, die $ \ alpha $ < 1 erfüllt, $ k_ {B} $ ist die Boltzmann-Konstante , $ \ hbar $ ist die Planck-Konstante , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ ist die Übergangswahrscheinlichkeit für unelastische Streuung.
Zitiert aus dem oben genannten arXiv-Artikel:
Die Tatsache, dass ein Festkörper keine vollständige Translationssymmetrie besitzt, hat wichtige Konsequenzen. Bereits 1937 demonstrierte Baber einen Mechanismus für den endlichen spezifischen Widerstand in einem Zweibandmodell, bei dem $ s $ -Elektronen durch eine abgeschirmte Coulomb-Wechselwirkung von schwereren $ d $ -Löchern gestreut werden … Einband-Umklapp-Prozesse ermöglichen die Impulsübertragung auf das Kristallkoordinatensystem …
wobei Umklapp-Prozesse auf elektronen- Phonon und / oder Phonon-Phonon-Streuung in einem Gitter. Die Autoren zeigen auch, dass der Begriff in den spitzen Klammern wie folgt integriert werden kann: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ rechts)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ wobei $ \ lambda _ {\ tau} $ ein dimensionsloser Parameter ist, der die in polaron wirksame Interaktion beschreibt -Polaronstreuung und $ \ epsilon_ {F} * $ ist die Fermi-Energie der Polaronen. Nach einer kleinen Algebra können wir zeigen, dass: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F. } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Somit ist der spezifische Widerstand proportional zu $ \ eta \ propto T ^ {2} $.