Warum hängt GPS von der Relativitätstheorie ab?

Die vom GPS vorhergesagte Fehlergrenze für die Position beträgt $ 15 \ text {m} $. Das GPS-System muss also die Zeit mit einer Genauigkeit von mindestens $ 15 \ text {m} / c $ einhalten, was ungefähr $ 50 \ text {ns} $ entspricht.

Also entspricht $ 50 \ text {ns} $ Fehler in der Zeitmessung bis $ 15 \ text {m} $ Fehler bei der Entfernungsvorhersage.
Daher entspricht für $ 38 \ text {μs} $ Fehler bei der Zeitmessung $ 11 \ text {km} $ Fehler bei der Entfernungsvorhersage.

Wenn wir keine Korrekturen mit GR auf GPS anwenden, wird ein $ 38 \ text {μs} $ -Fehler in der Zeitmessung pro Tag eingeführt.

Sie können dies selbst überprüfen, indem Sie die folgenden Formeln verwenden:

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … Die Uhr läuft relativ langsam, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … Die Uhr läuft aufgrund der schwachen Schwerkraft relativ schneller.

$ T_1 $ = 7 Mikrosekunden / Tag

$ T_2 $ = 45 Mikrosekunden / Tag

$ T_2 – T_1 $ = 38 Mikrosekunden / Tag

Verwenden Sie die in dieses sehr guten Artikels angegebenen Werte.

Und für Gleichungen siehe HyperPhysics .

Stephen Hawking hat also Recht! 🙂

Kommentare

• Ist $ R $ der Radius der Erde oder der Umlaufradius?
• Aber was ‚ Für GPS relevant ist der Unterschied zwischen Zeitstempeln von verschiedenen Satelliten, richtig? Und da sie sich auf derselben Höhe befinden, sollten sie zeitlich um den gleichen Betrag verschoben sein, sodass die Unterschiede grundsätzlich dieselben sein sollten wie ohne Relativitätstheorie. Ich meine, es spielt keine Rolle, wie groß der Fehler in den Uhren nach einem Tag ist, da der Lokalisierungsfehler nicht kumulativ ist, weil die Satelliten ‚ Uhren ‚ driften nicht voneinander weg.
• Wie in angegeben,

Es gibt den Artikel der Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html was ziemlich gut erklärt, warum die Uhren auf einem GPS-Satelliten jeden Tag um etwa 38 Mikrosekunden schneller sind. Der Artikel behauptet dann, dass eine Nichtkompensation dieser 38 Mikrosekunden pro Tag dazu führen würde, dass ein GPS um etwa 11 km pro Tag ausgeschaltet wäre. Es ist eindeutig unbrauchbar und behauptet, dass dies (die Tatsache, dass wir die 38 Mikrosekunden kompensieren müssen, um GPS zum Laufen zu bringen) ein Beweis für die allgemeine Relativitätstheorie ist.

Das Problem ist, dass die Uhren tatsächlich um 38 Mikrosekunden ausgeschaltet sind pro Tag und allgemeine Relativitätstheorie ist alles in Ordnung, wir müssten es nicht wirklich kompensieren.Das GPS in Ihrem Auto oder Ihrem Telefon hat keine Atomuhr. Es hat keine Uhr, die präzise genug ist, um mit GPS zu helfen. Es wird nicht gemessen, wie lange es gedauert hat, bis das Signal von Satellit A zu GPS gelangt. Es wird die Differenz zwischen dem Signal von Satellit A und dem Signal von Satellit B (und zwei weiteren Satelliten) gemessen. Dies funktioniert, wenn die Uhren schnell sind: As Solange sie alle genau gleich schnell sind, erzielen wir immer noch die richtigen Ergebnisse.

Das heißt, fast. Satelliten stehen nicht still. Wenn wir uns also auf eine Uhr verlassen, die 38 Mikrosekunden pro Tag schnell ist, führen wir die Berechnungen basierend auf der Position eines Satelliten durch, der 38 Mikrosekunden pro Tag abweicht. Der Fehler ist also nicht (Lichtgeschwindigkeit mal 38 Mikrosekunden mal Tage), sondern (Geschwindigkeit des Satelliten mal 38 Mikrosekunden mal Tag). Dies sind ungefähr 15 cm pro Tag. Nun, Satellitenpositionen werden einmal pro Woche korrigiert. Ich hoffe, niemand glaubt, wir könnten die Position eines Satelliten für lange Zeit fehlerfrei vorhersagen.

Zurück zur ursprünglichen Annahme, dass der Fehler ohne Kompensation 11 km pro Tag betragen würde: Die Satellitenuhren werden mit einem Faktor von knapp 1 multipliziert, damit sie mit der richtigen Geschwindigkeit fahren. Aber das würde nicht funktionieren. Der Effekt, der 38 Mikrosekunden pro Tag erzeugt, ist nicht konstant. Wenn der Satellit über einen Ozean fliegt, ist die Schwerkraft geringer. Die Satellitengeschwindigkeit ändert sich ständig, weil der Satellit nicht auf einem perfekten Kreis um eine perfekt runde Erde aus perfekt homogenem Material fliegt. Wenn GR einen Fehler von 11 km pro Tag unkompensiert erzeugt, ist es ziemlich unvorstellbar, dass eine einfache Multiplikation von Die Taktrate wäre gut genug, um dies zu reduzieren und GPS nutzbar zu machen.

Kommentare

• Schön. Aber das muss ich aus philosophischer Sicht sagen Die Position eines Experimentators, einer Maschine, die es den Bedienern ermöglicht, sich die Haare auszureißen (was GPS ohne GR tun würde), funktioniert ‚ erst, wenn diese Verhaltensweisen verstanden sind (was passieren würde) als jemand GR erfand, um die Anomalie zu erklären). Aber das ‚ ist ein philosophischer Punkt.
• Dies ist die einzig richtige Antwort auf dieser Seite. GPS war ein wichtiger Beweis dafür GR, weil wir die Geschwindigkeit von Uhren im Orbit mit denen auf der Erde vergleichen können. Die Genauigkeit des GPS-Systems ist jedoch nicht ‚ hängt nicht davon ab, ob die Satelliten die genaue Zeit einhalten. Solange sie dieselbe Zeit behalten, funktioniert das System.
• Tatsächlich ist GPS ein schlechter “ Beweis “ von GR aus dem von Ihnen angegebenen Grund. gnasher hat die richtige Antwort – Einstein-Feldgleichungen werden im GPS überhaupt nicht verwendet (stellen Sie sich vor, dass die Zahlenkalkulation und die erforderliche Computerleistung all diese Energie verschwenden – ganz zu schweigen von dem zusätzlichen Gewicht der Satelliten – insbesondere vor einigen Jahrzehnten)
• ‚ Es ist wahr, dass das einzige, was zur Bestimmung der Position des GPS-Empfängers relativ zu den Satelliten erforderlich ist, ist, dass die Satellitenuhren synchronisiert werden und die Übertragungsgeschwindigkeit gleich ist. Aber das ‚ ist relativ zu den Satelliten. Der Benutzer möchte, dass der GPS-Empfänger berechnet, wo er sich auf der Erde befindet. Dabei muss berücksichtigt werden, wo sich die Satelliten im Orbit befinden und wie sich die Erde gedreht hat. Das ‚ ist der Grund, warum die Satellitenuhren mit Uhren am Boden synchronisiert werden müssen und warum sie angepasst werden, um sie synchron zu halten.
• @ MC9000: Niemand jemals behauptet, dass die Einstein-Feldgleichungen von den GPS-Satelliten ‚ Computern im laufenden Betrieb gelöst werden. Die Geometrie der Raumzeit in der Nähe der Erde wird durch die Schwarzschild-Raumzeit gut genug angenähert, so dass ein erneutes Lösen der Feldgleichungen nicht erforderlich ist. Insbesondere wird die Zeitdilatation in Schwarzschild durch ziemlich einfache Formeln beschrieben, so dass zunächst keine umfangreiche Zahlenkalkulation erforderlich wäre.

Dies erfahren Sie in der hervorragenden Zusammenfassung hier ausführlich: Was sagt uns das globale Positionierungssystem über Relativitätstheorie?

Kurz gesagt:

1. Allgemeine Relativitätstheorie sagt diese Uhren voraus in einem höheren Gravitationsfeld langsamer werden. Dies ist die Uhr an Bord der GPS-Satelliten, die schneller „klickt“ als die Uhr auf der Erde.
2. Außerdem Spezielle Relativitätstheorie sagt voraus, dass eine sich bewegende Uhr langsamer ist als die stationäre. Dieser Effekt verlangsamt also die Uhr im Vergleich zu dem auf der Erde.

Wie Sie sehen, wirken in diesem Fall die beiden Effekte in die entgegengesetzte Richtung, aber ihre Die Größe ist nicht gleich, daher heben Sie sich nicht gegenseitig auf.

Nun ermitteln Sie Ihre Position, indem Sie das Zeitsignal einer Reihe von Satelliten vergleichen. Sie befinden sich in unterschiedlicher Entfernung von Ihnen und es dauert dann andere Zeit, bis das Signal Sie erreicht.Daher unterscheidet sich das Signal von „Satellit A sagt jetzt, dass es 22:31:12 ist“ von dem, was Sie „Satellit B im gleichen Moment ) hören. Aus der Zeitdifferenz des Signals und Wenn Sie die Satellitenpositionen kennen (Ihr GPS weiß das), können Sie Ihre Position auf dem Boden triangulieren.

Wenn Sie die unterschiedlichen Taktraten nicht kompensieren, ist die Entfernungsmessung falsch und die Positionsschätzung kann Hunderte betragen oder Tausende von Metern oder mehr entfernt, wodurch das GPS-System im Wesentlichen unbrauchbar wird.

Der Effekt der Gravitationszeitdilatation kann sogar sein gemessen werden, wenn Sie von der Erdoberfläche zu einer Umlaufbahn um die Erde gelangen. Da GPS-Satelliten die Zeit messen, die die Nachrichten benötigen, um Sie zu erreichen und zurückzukehren, ist es wichtig, die Echtzeit des Signals zu berücksichtigen dauert, um das Ziel zu erreichen.

Kommentare

• GPS-Signale kehren nicht zum Satelliten zurück, sondern nur zum Empfänger AFAIK …
• Aber der Hauptpunkt gilt immer noch, und es vergeht mehr Zeit auf der Uhr von Satellite ‚ als auf Ihrer Uhr zurück auf der Erde in Bezug auf einen von Ihnen.
• Interessanterweise wird die allgemeine Relativitätstheorie per se nicht für Berechnungen für GPS-Systeme verwendet. Vielmehr ist ein netter kleiner Trick mit spezieller Relativitätstheorie (Anwenden einer Reihe von Lorentz-Transformationen in infinitesimalen Schritten) das, was er tut. Dies stellt sich als ausreichend genau und rechnerisch viel einfacher heraus.
• Sie können die Zeitdilatation erkennen, indem Sie nur ein paar Tage in den Bergen verbringen. leapsecond.com/great2005/index.htm
• @endolith: … wenn Sie eine Atomuhr mitbringen!

Ich glaube nicht, dass GPS “ von der Relativität abhängt “ in dem Sinne, dass eine technologische Zivilisation, die niemals eine spezielle / allgemeine Relativitätstheorie entdeckt hat, kein funktionierendes GPS-System herstellen kann. Sie können die Uhr in einem Satelliten immer mit Uhren am Boden vergleichen und passen Sie die Rate an, bis sie nicht mehr synchron sind, unabhängig davon, ob Sie verstehen, warum sie nicht mehr synchron sind. Tatsächlich synchronisieren sie sie empirisch, nicht indem sie blind einer theoretischen Berechnung vertrauen.

Die Frage, was passieren würde, wenn die Uhren (aus irgendeinem Grund) um 38 μs / Tag verschoben würden, ist seltsam kontrafaktisch, weil dies darauf hindeutet niemand unterhält das System, in welchem Fall es vermutlich schnell verschiedenen anderen Problemen nicht-relativistischen Ursprungs erliegen würde. Wenn jemand einige Teile des Systems synchron hält, müssten Sie wahrscheinlich angeben, welche Teile. Zum Beispiel, wenn die Satelliten ihre Positionen in Bezug auf einen Trägheitsrahmen, der sich mit dem Erdmittelpunkt bewegt, genau kennen, aber die Ausrichtung des Die Erde wird aus der Tageszeit berechnet, dann hätten Sie einen akkumulierten Positionsfehler von 38 μs Erdrotation oder ein paar Zentimeter am Äquator pro Tag. Wenn die Satelliten jedoch ihre Position in Bezug auf einen korotierenden Referenzrahmen genau kennen, wäre der Fehler viel kleiner.