Warum ist die Schwerkraft der Erde ' an den Polen stärker?

Der Punkt ist, dass wenn wir die Erde mit einem abgeflachten Ellipsoid approximieren, die Erdoberfläche ist eine Äquipotentialfläche , $ ^ 1 $ siehe z dieser Phys.SE-Beitrag.

Da der polare Radius kleiner als der äquatoriale Radius ist, muss die Dichte der Äquipotentialflächen an den Polen größer sein als am Äquator.

Oder gleichwertig muss die Feldstärke $ ^ 2 $ $ g $ an den Polen größer sein als am Äquator.

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$ ^ 1 $ Beachten Sie, dass sich das Potenzial hier auf die kombinierte Wirkung von Gravitations- und Zentrifugalkräften bezieht. Wenn wir ein wenig Wasser auf eine Potentialausgleichsfläche gießen, gibt es keine bevorzugte Strömungsrichtung.

$ ^ 2 $ In ähnlicher Weise bezieht sich die Feldstärke, bekannt als little $ g $ , auf die kombinierte Wirkung von Gravitations- und Zentrifugalkräften, auch wenn $ g $ häufig (beiläufig und etwas irreführend) als Gravitationskonstante auf der Erdoberfläche bezeichnet wird.

Kommentare

• Funktioniert das Argument “ Sie sind näher am Massenschwerpunkt „?
• Schön. Obwohl in der Antwort niemals der Begriff “ Fliehkraft verwendet wird, „, in dem ‚ impliziert ist das Argument, weil das Äquipotential ein Äquipotential im rotierenden Rahmen ist.
• @Floris – Das Argument, dass “ Sie näher am Massenschwerpunkt “ funktioniert irgendwie, wobei irgendwie sorta in diesem Fall ungefähr 3/2 (im Gegensatz zu eins) bedeutet. Etwa 2/3 der Reduktion am Äquator ist darauf zurückzuführen, dass sich der Äquator 21 km weiter vom Erdmittelpunkt entfernt befindet. Das andere 1/3 ist direkt auf die Zentrifugalkraft zurückzuführen (und natürlich ist das erste 2/3 indirekt auf die Zentrifugalkraft zurückzuführen).
• @DavidHammen – Ich denke, dass in meinen Büchern “ Schwerkraft “ ist nur die Anziehungskraft zwischen zwei massiven Objekten; Die Kraft, die eine Masse auf der Erdoberfläche erfährt, wird sowohl in der Entfernung als auch in der Drehung moduliert, aber nur die erstere ist “ Schwerkraft “ in meine Bücher. Da OP erklärte, er verstehe den Rotationsteil, schlug ich wirklich vor, mich auf den einfachsten Weg zu konzentrieren, den zweiten Teil zu formulieren.
• Ich denke, Lubos hat vor langer Zeit eine Antwort geschrieben, die etwas erklärt, warum Gravitation aufgrund des Äquators Ausbuchtung ist anders als man naiv denken würde. Ich ‚ werde sehen, ob ich diese Antwort ausgraben kann.

Viele Orte geben an, dass die Schwerkraft der Erde an den Polen aus zwei Gründen stärker ist als am Äquator:

1. Die Zentrifugal Kraft hebt die Schwerkraft minimal auf, mehr am Äquator als an den Polen.
2. Die Pole sind aufgrund der äquatorialen Ausbuchtung näher am Zentrum und haben daher ein stärkeres Gravitationsfeld.

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TL; DR-Version: Es gibt drei Gründe. In der Größenordnung

1. sind die Pole näher aufgrund der äquatorialen Ausbuchtung zum Erdmittelpunkt. Dies stärkt die Gravitation an den Polen und schwächt sie am Äquator.

2. Die äquatoriale Ausbuchtung verändert die Gravitation der Erde schwächt die Gravitation an den Polen und verstärkt sie am Äquator.

3. Die Erde dreht sich, sodass ein erdgebundener Beobachter eine Zentrifugalkraft sieht Dies hat keine Auswirkung auf die Pole und schwächt die Gravitation am Äquator.

Lassen Sie uns sehen, wie die beiden Erklärungen in der Frage mit der Beobachtung verglichen werden.Die folgende Tabelle vergleicht, was ein sphärisches Schwerkraftmodell ohne Zentrifugalbeschleunigung für die Gravitationsbeschleunigung auf Meereshöhe am Äquator ($ g _ {\ text {eq}} $) und am Nordpol ($ g _ {\ text {p}} $) vorhersagt. gegen die Werte, die unter Verwendung der gut etablierten Somigliana-Schwerkraftformel $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda berechnet wurden } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Fehler} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Dieses einfache Modell funktioniert qualitativ. Es zeigt, dass die Gravitation am Nordpol höher ist als am Äquator. Quantitativ ist dieses einfache Modell nicht sehr gut. Der Unterschied zwischen der Gravitation am Nordpol und dem Äquator wird fast um den Faktor zwei überbewertet.

Das Problem ist, dass dieses einfache Modell den Gravitationseinfluss der äquatorialen Ausbuchtung nicht berücksichtigt. Eine einfache Möglichkeit, sich diese Ausbuchtung vorzustellen, besteht darin, dass sie am Äquator eine positive Masse hinzufügt, an den Polen jedoch eine negative Masse, um eine Nettomassenänderung von Null zu erzielen. Die negative Masse am Pol verringert die Gravitation in der Nähe des Pols, während die positive Masse am Äquator die äquatoriale Gravitation erhöht. Genau das hat der Arzt befohlen.

Mathematisch gesehen erzeugt diese Bewegung von Massen ein Quadrupolmoment im Schwerefeld der Erde. Ohne auf die Details der sphärischen Harmonischen einzugehen, wird dem Term ein Term hinzugefügt, der $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ entspricht Gravitationskraft, wobei $ \ lambda $ der geozentrische Breitengrad und $ J_2 $ die zweite dynamische Form der Erde ist. Das Hinzufügen dieses Quadrupolterms zur obigen Tabelle ergibt Folgendes:

$ \ begin {matrix} \ text {Menge} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Fehler} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Diese einfache Ergänzung des Quadrupols ergibt jetzt eine sehr gute Übereinstimmung.

Die Zahlen, die ich oben verwendet habe:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, der Gravitationsparameter der Erde abzüglich des atmosphärischen Beitrags.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, der äquatoriale Radius der Erde (mittlerer Gezeitenwert).

• $ 1 / f = 298.25231 $, die Abflachung der Erde (mittlere Flut) Wert).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, die Erdrotation Rate.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, der zweite dynamische Formfaktor der Erde.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, Gravitation auf Meereshöhe am Äquator.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, was den beobachteten Unterschied zwischen der Gravitation am Äquator und den Polen widerspiegelt.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, das Quadrat der Exzentrizität der Figur von die Erde.

Diese Werte stammen hauptsächlich aus Groten, „Grundparameter und aktuelle (2004) beste Schätzungen der Parameter von allgemeiner Relevanz für Astronomie, Geodäsie und Geodynamik. “ Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , wobei der Standard-Gravitationsparameter geändert wurde, um die Masse der Atmosphäre auszuschließen. Die Erdatmosphäre hat einen Gravitationseffekt auf den Mond und auf Satelliten, aber nicht so sehr auf Menschen, die auf der Erdoberfläche stehen.

Kommentare

• Re “ Die Pole liegen aufgrund des Erdmittelpunkts näher zur äquatorialen Ausbuchtung. Dies stärkt die Gravitation an den Polen und schwächt sie am Äquator. “ : Dies würde nicht wahr sein, wenn die Erde eine gleichmäßige Massenverteilung hätte .
• @PeterMortensen – Das ist falsch. Selbst wenn die Erde eine gleichmäßige Dichte hätte, wäre die Gravitationsbeschleunigung am Pol um einen Faktor von etwa $ 1 + \ frac 1 5 f $ größer als die am Äquator, wobei $ f $ der Abflachungsfaktor ist. Siehe Verteilung der Gravitationskraft auf einen nicht rotierenden abgeflachten Sphäroid .
• Es ‚ ist wirklich hilfreich, um all dies an einem Ort zu haben; Ich habe den Ernst der Lage nie wirklich erkannt, bis ich alles auf einmal durchgearbeitet habe.

Hier „Ein einfaches Argument, das keine Kenntnisse über ausgefallene Dinge wie Äquipotentiale oder rotierende Referenzrahmen erfordert. Stellen Sie sich vor, wir könnten die Erde allmählich schneller und schneller drehen. Irgendwann würde es auseinander fliegen. In dem Moment, in dem es auseinander zu fliegen begann, würde es passieren, dass die Teile der Erde am Äquator eine Umlaufgeschwindigkeit hätten. Wenn Sie sich in der Umlaufbahn befinden, erleben Sie eine scheinbare Schwerelosigkeit, genau wie die Astronauten auf der Raumstation.

An einem Punkt am Äquator also die scheinbare Beschleunigung der Schwerkraft $ g $ (dh was Sie messen in einem an der Erdoberfläche befestigten Labor) geht auf Null zurück, wenn sich die Erde schnell genug dreht. Durch Interpolation erwarten wir, dass der Effekt des tatsächlichen Spins darin besteht, $ g $ am Äquator im Verhältnis zu dem Wert zu verringern, den er hätte, wenn sich die Erde nicht drehen würde.

Beachten Sie, dass dieses Argument automatisch erfolgt berücksichtigt die Verzerrung der Erde weg von der Sphärizität. Die abgeflachte Form ist nur ein Teil der Interpolation zwischen Sphärizität und Auflösung.

Sie ist an den Polen unterschiedlich. Egal wie schnell Sie die Erde drehen, ein Teil der Erde am Nordpol wird sich niemals in der Umlaufbahn befinden. Der Wert von $ g $ ändert sich aufgrund der Änderung der Erdform, aber dieser Effekt muss relativ schwach sein, da er niemals zum Auseinanderbrechen führen kann.

Der Unterschied in der Beschleunigung des freien Falls zwischen Polen und Äquator hat zwei Faktoren. Ich werde sie einzeln diskutieren.

An den Polen werden die gemessen Die Gravitationsbeschleunigung beträgt 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Am Äquator beträgt die gemessene Gravitationsbeschleunigung 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Angesichts des äquatorialen Radius der Erde und der Rotationsrate der Erde können Sie berechnen, wie viel Zentripetalbeschleunigung erforderlich ist, um sich mit der Erde zusammen zu drehen, wenn Sie befinden sich am Äquator. Das ergibt 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Diese erforderliche zentripetale Beschleunigung (am Äquator) geht auf Kosten der tatsächlichen Gravitationsbeschleunigung am Äquator.

So können wir rekonstruieren, wie hoch die äquatoriale Gravitationsbeschleunigung auf einem Himmelskörper mit der gleichen Größe und Dichte und äquatorialen Ausbuchtung wie die Erde sein würde, jedoch nicht rotierend.

Echte Gravitationsbeschleunigung: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Es gibt also immer noch einen Unterschied von 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Dieser verbleibende Unterschied ist auf die Abflachung der Erde zurückzuführen: Am Äquator sind Sie weiter vom Erdanziehungszentrum entfernt als an den Polen. P. >

Der Punkt ist, ob alle Effekte berücksichtigt wurden. Mathe würde zusammenfassen, dass der Effekt von mehr Masse unter Ihren Füßen immer noch geringer ist als der Effekt der Entfernung vom Massenmittelpunkt.

Eine andere Ansicht ist. Am Äquator gibt es eine Ausbuchtung in Ihrer Nähe. Aber von allen anderen Seiten der Erde ist die Ausbuchtung weit von dir entfernt. Vergleichen Sie mit der Stange, dass alle Ausbuchtungen gleich weit von Ihnen entfernt sind, die den Unterschied