Warum ist Erwartung dasselbe wie das arithmetische Mittel?

Informell definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die relative Häufigkeit der Ergebnisse einer Zufallsvariablen – Der erwartete Wert kann als gewichteter Durchschnitt dieser Ergebnisse (gewichtet mit der relativen Häufigkeit) betrachtet werden. In ähnlicher Weise kann der erwartete Wert als das arithmetische Mittel einer Menge von Zahlen angesehen werden, die genau proportional zu ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit erzeugt werden (im Fall einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist dies seitdem nicht „t genau wahr“ Bestimmte Werte haben eine Wahrscheinlichkeit von $ 0 $.

Die Verbindung zwischen dem erwarteten Wert und dem arithmetischen Mittel ist am deutlichsten mit einer diskreten Zufallsvariablen, bei der der erwartete Wert

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

wobei $ S $ der Abtastraum ist. Angenommen, Sie haben eine diskrete Zufallsvariable $ X $, so dass:

$$ X = \ begin {case} 1 & \ mbox {mit Wahrscheinlichkeit} 1/8 \\ 2 & \ mbox {mit Wahrscheinlichkeit} 3/8 \\ 3 & \ mbox {mit Wahrscheinlichkeit} 1/2 \ end {Fällen} $$

Das heißt, die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ und $ P (X = 3) = 1/2 $ Formel oben, der erwartete Wert ist

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Betrachten Sie nun Zahlen, die mit Frequenzen erzeugt wurden, die genau proportional zur Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion sind – zum Beispiel die Menge der Zahlen $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – zwei $ 1 $ s, sechs $ 2 $ s und acht $ 3 $ s. Nehmen Sie nun das arithmetische Mittel dieser Zahlen:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

und Sie können sehen, dass es genau dem erwarteten Wert entspricht.

Kommentare

• Wäre ‚ dies nicht besser zu veranschaulichen, wenn der einfachere Satz von {1,2,2,2,3,3,3,3} verwendet würde? Der Ausdruck zeigt Arithmetik Der Mittelwert dieser Menge ist identisch mit dem Ausdruck, der den Erwartungswert dieser Variablen anzeigt (wenn Sie die gewichteten Produkte in einfache Summen umwandeln).
• Re: “ Die Der Ausdruck, der das arithmetische Mittel dieser Menge zeigt, ist identisch mit dem Ausdruck, der den Erwartungswert dieser Variablen zeigt (wenn Sie die gewichteten Produkte in einfache Summen umwandeln). “ – Ja @Dancrumb, das war der ganzer Punkt 🙂

Die Erwartung ist der Durchschnittswert oder Mittelwert einer Zufallsvariablen, keine Wahrscheinlichkeit Verteilung. Als solche ist es für diskret e Zufallsvariablen Der gewichtete Durchschnitt der Werte, die die Zufallsvariable annimmt, wobei die Gewichtung gemäß der relativen Häufigkeit des Auftretens dieser einzelnen Werte erfolgt. Für eine absolut kontinuierliche Zufallsvariable ist es das Integral der Werte x multipliziert mit der Wahrscheinlichkeitsdichte. Beobachtete Daten können als Werte einer Sammlung unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen angesehen werden. Der Stichprobenmittelwert (oder die Stichprobenerwartung) ist definiert als die Erwartung der Daten in Bezug auf die empirische Verteilung für die beobachteten Daten. Dies macht es einfach zum arithmetischen Durchschnitt der Daten.

Kommentare

• +1. Guter Fang bezüglich: “ Die Erwartung ist der Durchschnittswert oder Mittelwert einer Zufallsvariablen, keine Wahrscheinlichkeitsverteilung „. ‚ habe diesen subtilen Missbrauch der Terminologie nicht bemerkt.

Achten wir genau auf die Definitionen:

Der Mittelwert ist definiert als die Summe einer Sammlung von Zahlen geteilt durch die Anzahl der Zahlen in der Sammlung. Die Berechnung wäre „für i in 1“ bis n (Summe von x sub i) geteilt durch n. „

Der erwartete Wert (EV) ist der langfristige Durchschnittswert der Wiederholungen des Experiments, das er darstellt. Die Berechnung wäre“ für i in 1 bis n, Summe des Ereignisses x sub i mal seiner Wahrscheinlichkeit (und die Summe aller p sub i muss = 1 sein). „

Im Fall eines fairen Würfels ist es leicht zu erkennen, dass die Mittelwert und EV sind gleich. Mittelwert – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 und EV wären:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = Summe (p * x) = 3,50

Aber was wäre, wenn der Würfel nicht „fair“ wäre? Ein einfacher Weg, einen unfairen Würfel herzustellen, wäre das Bohren Ah ole in der Ecke am Schnittpunkt der Flächen 4, 5 und 6.Nehmen wir weiter an, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 4, 5 oder 6 auf unserem neuen und verbesserten krummen Würfel zu würfeln, jetzt 0,2 beträgt und die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2 oder 3 zu würfeln, jetzt 0,133 beträgt. Sie ist dieselbe Würfel mit 6 Gesichtern, eine Zahl auf jedem Gesicht und der Mittelwert für diesen Würfel ist immer noch 3,5. Nach mehrmaligem Würfeln dieses Würfels beträgt unser EV jetzt 3,8, da die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse nicht mehr für alle Ereignisse gleich sind. p

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = Summe (p * x) = 3,80

Wieder sei „s“ Seien Sie vorsichtig und kehren Sie zur Definition zurück, bevor Sie zu dem Schluss kommen, dass eine Sache immer „dieselbe“ wie die andere sein wird. Schauen Sie sich an, wie ein normaler Würfel aufgebaut ist, bohren Sie ein Loch in die anderen 7 Ecken und sehen Sie, wie sich die Elektrofahrzeuge ändern – viel Spaß.

Bob_T

Der einzige Unterschied zwischen „Mittelwert“ und „Erwartungswert“ besteht darin, dass der Mittelwert hauptsächlich für die Häufigkeitsverteilung und die Erwartung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet wird. Bei der Häufigkeitsverteilung besteht der Probenraum aus Variablen und deren Häufigkeit. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht der Probenraum aus Zufallsvariablen und ihren Wahrscheinlichkeiten. Jetzt wissen wir, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Variablen im Probenraum = 1 sein muss. Hier liegt der grundlegende Unterschied. Der Nennerterm für die Erwartung ist immer = 1. (d. h. Summation f (xi) = 1) Es gibt jedoch keine derartigen Einschränkungen für die Summation der Häufigkeit (was im Grunde die Gesamtzahl der Einträge ist).