Warum ist Kraft ein Vektor?

Ähm … Sie beginnen mit einem Objekt bei ruhen Sie sich aus und bemerken Sie, dass es sich in verschiedene Richtungen bewegt, wenn Sie darauf in verschiedene Richtungen drücken? Beachten Sie dann, dass Sie mehr als zwei (drei für planare Geometrien und vier für vollständige 3D-Geometrien) nicht kolineare Kräfte anordnen können, um sich gegenseitig aufzuheben (hoffentlich haben Sie in Ihrer Klasse eine Krafttabellenübung durchgeführt und dies selbst getan).

Die Demonstration eines bereits in Bewegung befindlichen Objekts ist etwas weniger offensichtlich, aber Sie können die Ideen hier nehmen und verallgemeinern.

In gewissem Sinne ist dies so offensichtlich, dass es schwer zu beantworten ist weil fast alles, was Sie mit Kräften tun, von ihrer Vektornatur Gebrauch macht.

Kommentare

• Es ist nur für Menschen offensichtlich die an Vektoren gewöhnt sind. Nach einer Weile gewöhnt man sich so sehr daran, dass es verwirrend war zu lernen. Man vergisst, was man getan hat und wusste es ‚ zu diesem Zeitpunkt nicht macht es Anfängern schwer, die Dinge gut zu erklären. EG safeshere ‚ Der Kommentar ist korrekt. Aber jemand, der sich fragt, warum Kraft ein Vektor ist, wird sich auch fragen, warum Dynamik ist. Ich erinnere mich an ng verwirrt, dass kinetische Energie eine offensichtliche Richtung hat, aber es ist kein ‚ kein Vektor.
• Kinetische Energie hat keine Richtung. Der Impuls eines Objekts hat eine Richtung. Ein 500 g-Objekt, das sich mit 2 m / s in der positiven x-Richtung bewegt, hat nicht den gleichen Impuls wie ein 500 g-Objekt, das sich mit 2 m / s in der negativen x-Richtung bewegt, aber beide haben die gleiche kinetische Energie.
• @BillN mmesser314 ist sich dessen bewusst, aber es ist ein häufig genug auftretendes Missverständnis unter Intro-Schülern (insbesondere den nachdenklicheren). Er kritisiert die Vorstellung, dass “ aussehen, dass dies eine Richtung hat. “ ist ein gutes Werkzeug, um Studenten die Möglichkeit zu geben, Vektoren von Nichtvektoren zu unterscheiden. Ich bin anderer Meinung, weil ich mich ‚ lieber mit der Frage der kinetischen Energie befassen möchte, als einführenden Schülern eine abstraktere Definition des ‚ vector ‚, aber es ist ein erwägenswerter Punkt.
• @dmckee Ja, ich habe mich heute mit der Hand durch Biot-Savart bewegt, um zu erklären, warum die Strömung, $ I $, isn ‚ ta Vektor, aber $ d \ vec {\ ell} $ ist. Ich würgte fast, während ich murmelte. 🙂 Das ‚ ist für mich immer noch ein nicht zufriedenstellender Vektor, aber ich halte meine Nase und gehe weiter.
• @BillN Ich denke, dass Ihr KE-Beispiel ist Ein gutes Beispiel dafür, warum dies für einige Neulinge in der Physik schwierig sein kann. Ich finde es ‚ ist nicht unbedingt offensichtlich, dass KE keine Richtungskomponente hat, bis Sie ‚ einige Experimente durchgeführt haben, die zeigen, dass es eine gibt Skalar “ Energie „, auf die es sich zu achten lohnt.

Vektoren sind Dinge, die sich wie kleine Pfeile hinzufügen. Pfeile geben dem Schwanz eine Spitze.

Die Anzahl der Steine ist kein Vektor. 2 Steine + 2 Steine = 4 Steine.

Verschiebung ist ein Vektor. Wenn Sie sich 2 Fuß nach links und 2 Fuß nach links bewegen, haben Sie sich 4 Fuß bewegt. Zwei Pfeile mit einer Länge von 2 Fuß nach links und einer Spitze zum Schwanz entsprechen einem Pfeil mit einer Länge von 4 Fuß nach links.

Wenn Sie sich 2 Fuß nach links und 2 Fuß nach rechts bewegen, sind Sie zum Start zurückgekehrt. Dies ist das gleiche und überhaupt nicht bewegend. Auf diese Weise können Sie keine Steine hinzufügen.

Kraft fügt sich wie folgt hinzu. Zwei kleine Kräfte links entsprechen einer großen Kraft links. Gleiche Kräfte links und rechts entsprechen keiner Kraft. Dies ist warum Kraft ein Vektor ist.

Bearbeiten – Die Kommentare werfen einen Punkt auf, den ich beschönigt habe. Dieser Punkt wird normalerweise nicht eingeführt, wenn Vektoren eingeführt werden.

Mathematiker definieren einen Vektor als Dinge, die sich wie kleine Pfeile verhalten, wenn sie addiert und mit Skalaren multipliziert werden. Physiker fügen eine weitere Anforderung hinzu. Vektoren müssen bei Koordinatensystemtransformationen invariant sein.

Ein kleiner Pfeil existiert unabhängig davon, wie Sie ihn betrachten. Ein kleiner Pfeil ändert sich nicht, wenn Sie sich drehen, sodass er jetzt nach vorne zeigt. Entsprechend ändern sich kleine Pfeile nicht, wenn Sie den Pfeil so drehen, dass er nach vorne zeigt.

Dies liegt daran, dass der Raum homogen und isotrop ist. Es gibt keine speziellen Orte oder Richtungen im Raum, die Sie oder einen Pfeil verändern würden, wenn Sie an einen neuen Ort oder eine neue Ausrichtung verschoben würden. (Wenn Sie sich von der Erdgravitation entfernen, ist dies anders. Wenn dies wichtig ist, müssen Sie auch die Erde bewegen.)

Im Gegensatz dazu ist ein Skalar eine einzelne Zahl, die sich bei Koordinatensystemtransformationen nicht ändert. Die Anzahl der Steine ist ein Skalar.

Die Koordinaten, die eine Vektoränderung beschreiben, wenn das Koordinatensystem geändert wird. Die linke Komponente eines Vektors ist kein Skalar.

Es gibt einen mathematischen 1-D-Vektorraum parallel zur linken Koordinate eines Vektors. Wenn Sie das Koordinatensystem drehen, kann es parallel zu der Vorwärtskomponente sein. Ein Physiker würde nicht sagen, dass es sich um einen Vektorraum handelt.

Kommentare

• Was Sie erklärt haben, stimmt auch mit einem signierten Skalar überein. Sie sollten ein “ forward “ oder “ up Bewegung, um es klarer zu machen.
• @RalfKleberhoff – Richtig. Sie sprechen einen guten Punkt an.
• @RalfKleberhoff Wie ist ein vorzeichenbehafteter Skalar kein Vektor in einer einzelnen Dimension? Ja wirklich. Das hat mich immer verwirrt. Es scheint viel, viel mehr mit Vektoren als mit Skalaren gemeinsam zu haben.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Gute Frage. Ich habe meine Antwort aktualisiert, um sie zu adressieren.

Ein kleiner Trottel: force is nicht ein Vektor. Wie der Impuls ist es ein Covector oder One-Form und eine Kovariante. Sie können dies auf verschiedene Arten sehen:

• aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit: Kraft ist eine lineare Funktion, die infinitesimale Verschiebungen $ \ delta \ mathbf {x} $ (ein Vektor) auf infinitesimale Änderungen in abbildet Energie $ F \ delta \ mathbf {x} $ (ein Skalar) und damit per Definition ein Covektor.
• Newtons zweites Gesetz $ F = ma $: Beschleunigung ist ein Vektor, der durch die Masse „indexsenkt“ wird, um Kraft zu geben.
• konservative Kräfte ergeben sich aus dem Differential $ F = -dV $ und das Differential einer Funktion ist eine Einform (Kovariante).

Der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Covektor ist möglicherweise nicht sinnvoll, wenn Sie „Ich fange gerade erst an, etwas über Physik zu lernen, und im Moment kann es für praktische Berechnungen ausreichen, zu wissen, dass Kräfte wie Vektoren“ Spitze an Schwanz „hinzugefügt werden können. Aber es ist etwas, worauf Sie achten sollten, wenn Ihr Verständnis reift: Wie bei der Dimensionsanalyse ist es hilfreich, mathematisch genau zu verfolgen, was Ihre physischen Objekte sind, um ein tieferes Verständnis aufzubauen und Fehler zu erkennen.

Kommentare

• Ich denke, dies ist ein nützlicher Kommentar, da er zeigt, dass “ dies die natürlichste Art ist, über Gewalt nachzudenken “ ist in der Tat nicht unbedingt wahr. Covectors sind ganz natürliche Dinge und Sie können sich einen Lehrplan vorstellen, der sowohl mit ihnen als auch mit Vektoren funktioniert. Es ist eine Tradition unseres Bildungssystems, dass wir dies nicht (zumindest explizit) tun.
• @FrancisDavey Ich würde eher sagen, dass die Tradition darin besteht, dass wir erst viel zu spät zwischen Vektoren und Konvektoren unterscheiden und nenne sie einfach alle Vektoren. (Ich habe ‚ die Unterscheidung erst explizit gelernt, als ich die allgemeine Relativitätstheorie oder möglicherweise die Quantenmechanik mit BHs und Kets genommen habe. ‚ ve war im ersten linearen Algebra-Kurs explizit, wo sie als Spalten- und Zeilenvektoren auftraten, aber es war nicht ‚ nicht explizit.)
• Keine Abwertung wert, aber definitiv keine Gegenstimme wert. Ich ‚ bin nicht begeistert von dieser “ wie Dinge die “ Definition dessen, was a ausmacht, transformieren “ Vektor „. Die mathematische Definition eines Vektors ist viel einfacher: Vektoren sind Mitglieder eines Vektorraums – eines Raums, der mit zwei Operationen ausgestattet ist, die acht einfachen Axiomen gehorchen. Nach dieser Definition sind Kräfte (in der Newtonschen Mechanik) Vektoren.
• @DavidHammen Ein “ -Vektor “ kann entweder 1) einen Tangentenvektor bedeuten dh ein Element des Tangentenbündels (oder allgemeiner die (0,1) -Stensoren einer Tensoralgebra) oder 2) ein Element eines allgemeinen Vektorraums. Wenn wir in der Physik “ vector “ sagen, meinen wir normalerweise “ (tangentialer) Vektor „: ‚ würde keine Skalare, Funktionen, 2-Tensoren oder Covektoren “ Vektoren „, obwohl technisch alle Elemente eines Vektorraums sind. Beachten Sie, dass per Definition # 2 sogar das OP ‚ s “ einen Vektor oder Skalar erzwingt “ ist eine bedeutungslose Frage!
• All diese Dinge sind echte Vektoren. Wir nennen ‚ normalerweise keine Vektoren , da ‚ normalerweise keine nützliche Funktion ist. Wenn Sie ‚ eine andere Definition des “ -Vektors “ verwenden, sollte dies buchstabiert werden .

Die Beschleunigung transformiert sich wie ein 3-Vektor unter Rotationen (Gruppe O (3)).

Die Beschleunigung transformiert sich unter Rotationen und Boosts wie ein 4-Vektor (Lorentz-Gruppe O (3,1)).

Die Beschleunigung kann durchaus Teil einer größeren Struktur sein (z. B. 2-Index-Tensor) ) unter einer größeren Gruppe von Transformationen, einschließlich Rotationen, Boosts, Dehnungen und Translationen.

Mein Punkt ist, wenn Sie sagen, dass Beschleunigung (oder Kraft) ein 3-Vektor (oder etwas anderes) ist, müssen Sie Geben Sie an, für welche Gruppe von Transformationen. Beispiel: „Beschleunigung transformiert sich wie ein 3-Vektor unter Rotationen“, und deshalb nennen wir es einen 3-Vektor.

Kommentare

• Bei dieser Frage ging es eindeutig um die Newtonsche Physik, die der Autor ‚ nicht vollständig versteht. Sie ‚ stoßen auf Bestimmungen aus viel komplizierteren Bereichen der Physik (die der Autor möglicherweise nicht einmal benötigt). Es ist ‚ das Äquivalent von jemandem, der nach dem Gesetz von Bernoulli ‚ fragt, und Sie bitten ihn, anzugeben, ob die Flüssigkeit viskos ist. Bitte erläutern Sie die von Ihnen verwendeten Begriffe und passen Sie den technischen Grad an die Frage an.
• @CodyP Überhaupt nicht! Nun, vielleicht ist die Gruppentheorie hier etwas höher als nötig, aber … Die Definition eines Vektors hängt eng damit zusammen, wie sich die Größe unter der Rotation von Koordinaten verhält. Die Tatsache, dass wir diese Idee vereinfachen, um “ Größe und Richtung “ ‚ nicht zu entfernen die Bedeutung des Verständnisses der Rotation von Koordinatensystemen und was ‚ invariant ist und was ‚ nicht. Das mag fortgeschritten sein, aber das ‚ ist für die Beantwortung des OP unerlässlich. Auf der Ebene von Kleppner und Kalenkow sollte die Person in eine umfassendere Definition von Vektoren und Koordinatenrotationen eingeführt werden.
• @CodyP Fragen zu Stack Exchange-Sites sind nicht ‚ t nur für das OP. Sie sind auch eine dauerhafte Ressource für spätere Besucher. Antworten mit unterschiedlichem Niveau sind wünschenswert, obwohl es unwahrscheinlich ist, dass Gary die Akzeptanz des OP ‚ erhält.
• Richtig, aber ‚ ist immer noch wertvoll, um Ihre Zielgruppe zu verstehen und Begriffe wie Boosts, Tensor oder sogar “ Gruppe von Transformationen „. Analog dazu können Sie in einer Frage zum Gesetz von Bernoulli ‚ über die Auswirkungen der Viskosität sprechen. Ohne Sorgfalt klingt dies jedoch eher pedantisch und verwirrend als hilfreich und klar.
• @CodyP stimmt, aber vielleicht überprüft OP eines Tages ihre Fragen und versteht diese

Die wirkliche Antwort ist meiner Meinung nach nicht einige zugrunde liegende philosophische Argumente darüber, was eine Kraft ist. Die wirkliche Antwort ist, dass das Denken an Kraft als Vektor Ihnen ein Modell gibt, das das wichtigste Kriterium für jedes Modell erfüllt: Es stimmt überein Es ist auch schön und einfach, was ein zusätzlicher Bonus ist.

Wenn Sie Kräfte als Vektoren betrachten, können Sie Vorhersagen darüber treffen, was passiert, wenn Sie Experimente durchführen, insbesondere Experimente, bei denen Sie mehrere anwenden Kräfte auf einmal. Stellen Sie zum Beispiel eine Kiste auf Eis und ziehen Sie mit Seilen mit darin eingebetteten Federschuppen daran, um die Größe aller Kräfte zu messen s beteiligt. Messen und notieren Sie alle Kräfte und ihre Richtungen, stellen Sie sich Kräfte als Vektoren vor und berechnen Sie die resultierende Kraft, die auf die Kiste wirkt, die Ihnen eine Vorhersage ihrer Beschleunigung geben sollte. Messen Sie dann die tatsächliche Beschleunigung. Die beiden sollten sich innerhalb eines Irrtums einig sein.

Menschen haben lange Zeit solche Experimente durchgeführt, sowohl mehr als auch weniger anspruchsvoll, und bisher haben wir nichts gefunden, was darauf hindeutet, dass das Denken an Kräfte als Vektoren das falsche Ergebnis liefert Kräfte als Vektoren liefern höchstwahrscheinlich genaue Ergebnisse, wenn wir das nächste Mal auch eine Vorhersage berechnen müssen.

Wir lernen also, Kräfte als Vektoren zu betrachten, weil sie funktionieren. Und dann können Philosophen über streiten warum es funktioniert, normalerweise indem es in den Kontext eines größeren Bildes gestellt wird, das auch dem Test von Experimenten standgehalten hat.

Davon abgesehen gibt es natürliche Möglichkeiten, um auf die Idee zu kommen, sogar zu berücksichtigen , dass Kraft ein Vektor ist. Insbesondere hat jede Kraft eine Richtung und eine Größe. Wie in anderen Kommentaren ausgeführt, bedeutet dies nicht unbedingt, dass es sich um eine Kraft handeln muss Vektor (kinetische Energie hat eindeutig eine Richtung und eine Größe, wird aber normalerweise nicht als Vektor betrachtet). Es reicht jedoch aus, zu fragen, ob es sich möglicherweise um einen Vektor handelt, und Experimente um diese Hypothese herum zu entwerfen.

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• Änderungen der kinetischen Energie sind skalar. Es gibt keine absolute kinetische Energie; Wenn eine absolute kinetische Energie als Vektor angegeben wird, wird sie als relativ zu einem Referenzrahmen verstanden und gibt im Wesentlichen die Energiemenge an, die umgewandelt würde, wenn sich das gegebene Objekt relativ zu diesem Rahmen nicht mehr bewegen würde. Es kann nicht einfach als Vektor behandelt werden; Zum Beispiel addieren zwei gleiche Massen, die sich in entgegengesetzten Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zum Referenzrahmen bewegen, keine kinetische Energie von Null.
• @Kaz Ihre “ Kein absoluter “ -Kommentar gilt jedoch auch für die Dynamik, so dass ‚ kein guter Grund ist, da sich die Dynamik als nützlich erwiesen hat etwa als Vektor. Außerdem addieren “ zwei gleiche Massen, die sich in entgegengesetzten Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zum Referenzrahmen bewegen, nicht zur kinetischen Energie Null “ Ich sehe das Problem nicht ‚. Die kinetische Energie wird zur inneren Energie, wenn Sie die beiden Objekte als ein System betrachten. Das Problem tritt auf, wenn Sie zu einem sich bewegenden Referenzrahmen wechseln. In diesem Fall wird der kinetische Summenenergievektor ungleich Null. Das ist keine gute Vektortransformationseigenschaft.
• (Natürlich wird sie ungleich Null. Nur müde. Das eigentliche Problem ist, dass der Vektor ungleich Null von den internen Eigenschaften des Systems abhängt. Sind die beiden Objekte gleich groß und bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit oder ist ein Objekt größer und langsamer? Dies wirkt sich auf den transformierten Energievektor aus. “ „.)

Ich hatte diese Frage auch schon früher und verbrachte gut 5 Stunden damit. Die Erklärung dafür ist letztendlich nur, dass die Verschiebung wie ein Vektor wirkt. Und die Beschleunigung als doppelte Ableitung wirkt auch wie eine. Warum wirkt die Verschiebung wie ein Vektor? Nun, es folgt den Regeln der Trigonometrie und Verschiebungen in eine Richtung sind unabhängig von der Verschiebung senkrecht dazu. Daher definieren wir Vektorkonzepte, um dieses Verhalten zu erfassen. Warum folgt die Verschiebung den Regeln der Trigonometrie? Nun, dies wurde mehr oder weniger durch Beobachten als Ableiten festgestellt. Die grundlegendste Grundlage für alles in der Mathematik ist schließlich auch Beobachtung und Logik.

Um das Drollige herauszuholen der Weg: Sie wissen, dass Kraft ein Vektor aus seiner Definition ist.

Um zu demonstrieren, dass dies wirklich der Fall ist, führen Sie Experimente durch: Befestigen Sie zunächst drei Federwaagen (wie sie die Fischer zum Wiegen von Fischen verwenden) an derselben Stelle aneinander und ziehen Sie an den anderen Enden der skaliert horizontal in Winkeln von 120 Grad mit gleicher Kraft ungleich Null F. Die Konfiguration ist in der schönen ASCII-Grafik unten dargestellt, und Sie können anhand der Messwerte auf jeder Skala feststellen, dass die Kräfte gleich sind.

 F / / F ----- o \ \ F 

Sie werden auch feststellen, dass der Befestigungspunkt in der Mitte stationär bleibt, dh die Nettokraft ist Null.

Wenn F ein Skalar wäre, wäre es unmöglich, genau 3 Nicht-Null-Fs in welcher Reihenfolge auch immer zu addieren oder zu subtrahieren und als Ergebnis 0 zu erhalten.

Nun, da Sie wissen, dass Kraft kein Skalar ist, Sie würden dann versuchen, einen Weg zu finden, um die drei Fs zu Null zu addieren, und Sie bemerken, dass Sie genau das erhalten können, wenn Sie die Richtung jeder Feder mit jedem F koppeln:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Sie würden dann weitere Experimente in verschiedenen Aufbauten durchführen und feststellen, dass in jedem Fall die Behandlung der Kraft als Skalar gepaart mit einer Richtung das richtige Ergebnis liefert, an welchem Punkt Sie Ich würde mich berechtigt fühlen zu sagen: Für Berechnungszwecke hat Kraft sowohl eine Größe als auch eine Richtung .

Ein Vektor hingegen ist nichts anderes als eine mit einer Richtung gepaarte Größe. Sie haben also experimentell gezeigt, dass innerhalb der Messgrenzen

Es hängt von der Art von ab Ihre Herangehensweise und Ihre Interpretation des Wortes „Vektor“. Konzeptionell ist ein räumlicher Vektor ein mathematisches Objekt, mit dem Größen eingekapselt werden, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben. Wenn Sie eine Kraft auf etwas ausüben, hängt das Nettoergebnis der Bewegung dieses Objekts nicht nur davon ab, wie stark Sie es drücken, sondern auch von der Richtung, in die Sie es drücken. Daher ist es erforderlich, Kräfte auf eine Weise zu modellieren, die erforderlich ist die Richtungskomponente berücksichtigt. Dies gilt in drei Dimensionen genauso wie in einer. Dies ist die einfachste Art, darüber nachzudenken.

Aus mathematischer Sicht ist dies, wie Sie bereits erwähnt haben, in der Definition enthalten.

„Wir haben unsere Diskussion auf eindimensionale Bewegung konzentriert. Es ist natürlich anzunehmen, dass sich Kraft bei dreidimensionaler Bewegung wie Beschleunigung wie ein Vektor verhält. „- (Einführung an die Mechanik) Kleppner und Kolenkow.

Newton selbst machte die vektorielle Natur der Kräfte zur ersten und zweiten Folge seiner drei Bewegungsgesetze:

Folgerung I:
Ein Körper aus zwei zusammengefügten Kräften beschreibt die Diagonale eines Parallelogramms in der gleichen Zeit, in der er die Seiten beschreiben würde, durch diese Kräfte auseinander .

Folgerung II:
Und daher wird die Zusammensetzung einer direkten Kraft AD aus zwei beliebigen schrägen Kräften AC und CD und im Gegenteil die Auflösung einer direkten Kraft erklärt AD in zwei schräge Kräfte AC und CD: Welche Zusammensetzung und Auflösung von der Mechanik reichlich bestätigt werden.

Kurz gesagt, Kräfte sind kartesische Vektoren im mathematischen Sinne von dem, was einen Vekt ausmacht oder.

Die Ableitung dieser Folgerungen in der Principia ist eher verdächtig. Newtons zweites Gesetz befasst sich mit der Nettokraft auf das Objekt, während Newtons drittes Gesetz darauf eingeht, wie einzelne Kräfte paarweise auftreten. Aber wie kann man diese einzelnen Kräfte mit der Nettokraft in Beziehung setzen? Im Gegensatz zu Kleppner und Kolenkow machen andere Texte einen besseren Job. Die Aussage, dass Kräfte Vektoren sind, ist tatsächlich Newtons viertes Bewegungsgesetz.

Eine Handwellenantwort (z. B. Kleppner und Kolenkow) besteht darin, diese Kräfte zu beanspruchen wirken offensichtlich als Vektoren und bewegen sich dann weiter. Eine nicht-handwellige Antwort besteht darin, axiomatisch zu behaupten, dass Kräfte Vektoren sind, und dann weiterzugehen. Es gibt einen subtilen, aber signifikanten Unterschied zwischen diesen beiden Antworten. Die Handwellenantwort lässt die Schüler verwirrt. Die axiomatische Behauptung lädt die Schüler ein, das Axiom in Frage zu stellen. Der nächste Schritt besteht natürlich darin, zu testen, ob das Axiom in einer Laborumgebung gilt.

Tatsächlich handelt es sich um eine physikalische Kraft kein Vektor. Es ist eine Linie in 3D. Eine Linie mit einer Größe. Eine physikalische Kraft enthält die folgenden Eigenschaften:

• Richtung, $ \ mathbf {e} $
• Ein Punkt irgendwo entlang der Linie, $ \ mathbf {r} $
• Größe, $ F $

Um eine physikalische Kraft mit einem Vektor zu beschreiben, kombinieren Sie die Größe und die Richtung zu $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ ein einzelner Vektor. Es fehlen jedoch noch die Informationen, die zur Beschreibung einer physischen Kraft erforderlich sind.

Sie benötigen auch einen Ort (den Anwendungspunkt oder die Aktionslinie, wie sie genannt wird). Hier haben Sie die Wahl zwischen einem tatsächlichen Punkt $ \ mathbf {r} $ oder dem entsprechenden Moment über den Ursprung $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Wenn Sie Letzteres auswählen, können Sie den Punkt mit $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | wiederherstellen \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Der Kraftvektor, mit dem Sie vertraut sind, wird häufig verwendet, da er den Vektoralgebra-Regeln entspricht.

• Das Hinzufügen erfolgt nach Komponente $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Die Skalierung erfolgt durch die Komponente $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Die Positionen zweier Brennpunkte addieren sich jedoch nicht wie Vetore.

Um physikalische Kräfte mit Vektoren darzustellen, benötigen Sie 6 Komponentengrößen, die aufgerufen werden Schrauben $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$, die den Regeln der linearen Algebra folgen und tragen die Positionsinformationen in ihnen, die die richtigen geometrischen und algebraischen Ergebnisse liefern.

Kommentare

• Ist dies die n-te Definition einer Kraft “ vector „?
• Lesen Sie diesen Beitrag zum die Definition eines Schraubenvektors.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, was passieren würde, wenn Kraft nicht ein Vektor.

Beachten Sie zunächst Folgendes:

Die Gesetze der Physik sind im Raum unveränderlich. Ein Objekt verhält sich genauso, wenn es von einer Kraft in Paris oder Peking angegriffen wird.

Außerdem stellen wir fest:

Die Gesetze der Physik sind bei räumlicher Rotation unveränderlich. Wenn Sie einen Fußball treten, wird er von Ihnen entfernt, unabhängig davon, ob Sie es sind nach Westen oder Osten ausgerichtet.

Stellen Sie sich nun vor, wir üben eine Kraft auf einen Ball aus, der auf einem Tisch ruht. Nehmen wir an, wir beobachten Folgendes:

Der Ball beginnt mit einer Geschwindigkeit von 1 m / s nach Osten zu rollen.

Warten Sie. Woher kam „Osten“? Warum rollt der Ball nicht nach Westen? Daher schließen wir natürlich:

Es müssen einige zusätzliche Informationen in der. Enthalten sein Kraft, die wir auf den Ball ausgeübt haben.

Diese zusätzlichen Informationen sind Richtung .

Nach Newtons 2. Bewegungsgesetz ist die auf einen Körper wirkende Kraft proportional zur Änderungsrate des Impulses und liegt in der Richtung, in die die Kraft wirkt wird angewandt. Aus der Aussage können Sie nun ersehen, dass die Kraft eine Größe und eine Richtung hat. Daher ist es ein Vektor. Sie können es sogar als Punktprodukt aus Masse (Skalar) und Beschleunigung (Vektor) sehen, das Ihnen einen Vektor gibt.