Hier ist eine Rechteckwelle, die von der Fourier-Reihenperspektive dargestellt wird: 
Die obigen Koeffizienten zeigen, dass eine Rechteckwelle nur aus ihren ungeraden Harmonischen besteht.
Aber hier unten befindet sich eine Rechteckwelle dargestellt durch Fourier-Transformationsperspektive: 
Das obige Diagramm zeigt, dass a Die Rechteckwelle besteht aus allen Frequenzen, nicht nur aus den Harmonischen. Die Darstellung ist kontinuierlich.
Wenn ich die FFT einer Rechteckwelle betrachte, sieht sie aus wie die Fourier-Transformation, die kontinuierlich ist.
Serie und Transformation geben unterschiedliche Interpretationen einer Rechteckwelle. Warum ist das so?
Kommentare
- Die Fourier-Transformation einer Rechteckwelle existiert nur als Impulszug und kann nicht wie gezeigt dargestellt werden. Was Sie haben, ist eine diskrete Fourier-Transformation einer Folge von Zahlen, die eine andere Folge von Zahlen ist. (Dass Sie die DFT über den FFT -Algorithmus berechnet haben und sie als FFT bezeichnen, spielt hier keine Rolle). Die Folge von Zahlen, die die DFT ist, hat nicht die Darstellung, die Sie gezeigt haben: Es sollte eine Folge von Punkten sein, ähnlich dem Diagramm der Fourier-Reihen-Koeffizienten Grafikprogramm hat " die Punkte verbunden " ist unglücklich.
- Ich weiß es nicht so gut. aber woraus besteht dann eine Rechteckwelle? das ist die Frage. macht eine 1kHz Rechteckwelle in Freq. Domäne enthalten eine Komponente bei 999 Hz oder besteht nur aus ungeraden Harmonischen von 1 kHz. Warum unterscheiden sie sich, wenn wir Serien und FFT betrachten?
- Ich habe keine Ahnung, wie Sie den Fall annehmen, dass die beiden angezeigten Spektren unterschiedlich sind.
- @ robertbristow-johnson eins ist kontinuierlich der andere ist diskret. Wenn Sie einem kontinuierlichen Diagramm folgen, könnte u für ein 1-Hz-Rechtecksignal schließen, dass es eine 1,1-Hz-Komponente gibt, die größer als 3-Hz-Komponente ist. das wäre falsch. Das kontinuierliche Diagramm ist falsch, das sehen Sie in einem Bereich.
- Sie denken, dass das zweite Diagramm die kontinuierliche Fourier-Transformation einer Rechteckwelle darstellt ???
Antwort
Die Fourier-Reihenexpansion einer Rechteckwelle ist in der Tat die Summe von Sinus mit ungeraden ganzzahligen Multiplikationen der Grundfrequenz. Als Antwort auf Ihren Kommentar enthält eine 1-kHz-Rechteckwelle nicht eine Komponente mit 999 Hz, sondern nur ungerade Harmonische von 1 kHz.
Die Fourier-Transformation gibt an, welche Frequenzkomponenten in einem bestimmten Signal vorhanden sind. Da das Signal in diesem Fall periodisch ist, können sowohl die Fourier-Reihe als auch die Fourier-Transformation berechnet werden, und sie sollten uns dieselben Informationen mitteilen. Die Fourier-Transformation einer kontinuierlichen periodischen Rechteckwelle besteht aus Impulsen in jeder Harmonischen, die in der Fourier-Reihenexpansion enthalten sind. Vielleicht hilft dieses Bild aus Oppenheims Signalen und Systemen .
Die eigentliche Fourier-Transformation sind nur die Impulse. Die gepunktete Linie ist eine Sinc-Funktion, die für diese Frage nicht gilt, aber die Vorstellung vermittelt, dass diese Transformation vorliegt etwas, das mit der Transformation eines Rechteckimpulses (dh eines nicht periodischen Signals) zu tun hat, der zufällig ein Sinc ist.
Um es mathematisch auszudrücken:
- Die Fourier-Reihe Koeffizienten sind $$ \ frac {\ sin (k \ omega_0 T)} {k \ pi} $$
- Die Fourier-Transformation ist $$ \ sum \ limit_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ frac {2 \ sin (k \ omega_0 T)} {k} \ delta (\ omega – k \ omega_0) $$
Die Serienkoeffizienten und die Fourier-Transformation sind also das gleiche, außer dass es einen Proportionalitätsfaktor von $ 2 \ pi $ gibt und Sie im ersten Fall Balken zeichnen (da die Koeffizienten keine Funktion beschreiben, sind sie nur Zahlen), aber im zweiten haben Sie Impulse ( weil die F. Unsere Transformation ist eine Funktion.
Kommentare
- Ich verstehe nicht, ob eine 1-kHz-Rechteckwelle in Wirklichkeit keine 999-Hz-Komponente hat. Aber im Oszilloskop 999Hz Komponente größer als 3kHz Komponente. Ich verstehe es nicht.
- Nein, eine rein 1-kHz-Rechteckwelle hat ' keine 999-Hz-Komponente.
- Versuchen Sie, einem Oszilloskop eine Rechteckwelle zuzuführen, und überprüfen Sie die FFT. Sie könnten überrascht werden. Deshalb habe ich diese Frage gestellt.
- Nun, in Wirklichkeit sind Funktionsgeneratoren nicht ideal. Sie haben Rauschen und Rechteckwellen sind eigentlich nicht quadratisch. Wenn also die Welle, die Sie messen, nicht ' nicht viel Amplitude hat, würde das Rauschen des Generators und des Oszilloskops selbst die Messung stören (auch die FFT-Funktion von Oszilloskopen neigt dazu ein schlechtes Werkzeug für präzise Messungen sein) und dann könnten Komponenten von 3, 5 oder 7 kHz im Vergleich sehr klein werden.Das könnte erklären, was Sie bekommen.