Auf der Seite Answers.com zur Planck-Länge sehe ich zwei fast gleiche Formeln für die Planck-Länge, die sich nur durch die Verwendung von h und hbar unterscheiden. Die Konstanten sind jedoch die gleichen, und mein Rechner gibt die richtige Antwort für hbar anstelle von h, sodass die erste Verwendung von h wahrscheinlich hbar bedeuten sollte. Warum verwendet das Oxford Dictionary (und mein Lehrbuch!) Nicht stattdessen hbar?
UPDATE: Die Gleichung (aus dem Oxford Dictionary?), Von der ich gesprochen habe, verwendet h: 
und die Gleichung aus Wikipedia, die hbar verwendet, aber dieselbe Konstante für die Planck-Länge angibt: 
Kommentare
- Planck-Einheiten sind sowieso Dinge in der Größenordnung. Da wir ' keine Theorie von haben Quantengravitation, wir ' kennen ihre genaue Energieskala nicht, daher ist unser Wissen über solche Dinge nur auf die Skalen genau, die wir durch Dimensionsanalyse erhalten können. Die Multiplikation mit reinen Zahlen ist nicht ' wird dies nicht ändern. Die Verwendung von $ \ hbar $ anstelle von $ h $ entspricht genau ' right ' so oder so. Natürlich verwendet fast jede Quantenmechanik $ \ hbar $, daher würde es mehr ' Sinn machen ', um letzteres zu verwenden.
Beantworten Sie
die Seite „answers.com“, die Sie verwenden Das erwähnte verwendet die folgende Formel: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Beachten Sie, dass der Nenner den Faktor $ 2 \ pi $ enthält – also $ h / 2 \ pi $ kann wie das übliche $ \ hbar $ vereinfacht werden. Wahrscheinlich konnten sie dieses Zeichen nicht eingeben oder wollten Terminologie und Symbole vermeiden, die nur Physikern bekannt sind. Auf der Seite answers.com gibt es jedoch keinen numerischen Fehler. Die obige Definition entspricht jedenfalls $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Dies ist die übliche „nicht reduzierte“ Planck-Länge. Die gleiche Formel finden Sie in Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Numerisch sind es $ 1,6 \ mal 10 ^ {- 35} $ Meter. (Update: Das Oxford Dictionary of English hat eine falsche Formel – sie haben $ 2 \ pi $ weggelassen und vergessen, auch $ h $ zu kreuzen. Aber sie bedeuten eindeutig die gleiche Planck-Länge.) Manchmal verwenden die Leute auch den „reduzierten“ Planck Länge, die in gewissem Sinne ausgefallener und „professioneller“ ist: $$ L_ {Planck, reduziert} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Beachten Sie, dass $ 8 \ pi $ im Zähler kann auch mit $ \ hbar $ zusammengeführt werden, um $ 4h $ zurückzugewinnen. Die reduzierte Planck-Länge ist also (aufgrund der Quadratwurzel) doppelt so hoch wie die falsche Planck-Länge, die Sie erhalten würden, wenn Sie $ h $ anstelle von $ verwenden würden \ hbar $. Aber was ist der wahre Grund, warum $ 8 \ pi $ dort hinzugefügt wurde?
Der Grund, warum $ 8 \ pi G $ anstelle von $ G $ erscheint, ist, dass $ 8 \ pi G $ in gewissem Sinne natürlicher ist eine Konstante als $ G $: Diese Diskussion ist analog zur Behandlung von $ 4 \ pi $ in der Elektrodynamik. Die Konstante $ 8 \ pi G $ ist natürlich, weil die Einstein-Hilbert-Aktion $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The ist Der natürlichste Koeffizient wäre $ 1/2 $ anstelle von $ 1/16 \ pi G $, was es natürlich macht, $ 8 \ pi G = 1 $ zu setzen. Die reduzierte Planck-Länge ist etwas länger (ungefähr fünfmal) – weniger extrem klein. Noch häufiger sprechen Teilchenphysiker über die Planck-Energie und die reduzierte Planck-Energie, die nahe an $ 10 ^ {19} $ bzw. $ 10 ^ {18} $ GeV liegen.
Die Konvention für die Konstante $ G $ wurde ursprünglich von Newton gewählt, der die Gravitationskraft als $ GMm / r ^ 2 $ schreiben wollte. Nun, es wäre natürlicher, den Faktor $ 4 \ pi $ oder $ 8 \ pi $ im Nenner $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $ zu haben. Sie können sehen, dass $ \ Gamma $ einfach $ \ Gamma = 8 \ pi G $ ist, und es wäre natürlich, $ \ Gamma $ gleich eins zu setzen.
Ich hoffe, dass ich es nicht habe um zu erklären, warum $ \ hbar $ für erwachsene Physiker natürlicher ist als $ h $. Die „Laien“ -Versionen der Formeln mögen mit $ h $ einfacher sein – aber sie befassen sich mit Wellenlängen usw. Erwachsene Physiker wissen, dass die Wellenlänge des Sinus ist proportional zu $ 2 \ pi $. Und die grundlegendsten Gleichungen, wie die Schrödinger-Gleichung oder die Kommutatoren von $ [x, p] $, haben eine einfachere Form in Bezug auf $ \ hbar $ als $ h $ von Natürlich.
Zurück zu $ G $: Die Leute mussten die Konvention wählen, wie $ G $ in höheren Dimensionen normalisiert werden soll. Die übliche Konvention, wie oben implizit verwendet, ist, dass die Einstein-Hilbert-Aktion immer den Koeffizienten $ 1/16 \ pi G $ hat. Dies impliziert, dass in $ D $ Raumzeitdimensionen die Kraft nicht $ GMm / r ^ {D-2} $ ist, sondern einige $ D $ -abhängige numerische Koeffizienten enthält.
Best Wünsche Lubos
Kommentare
- Vielen Dank Lubos! Ich verstehe, dass es den reduzierten Planck geben sollte ' s konstant dort auf die eine oder andere Weise (mit hbar oder mit h über 2 pi).Ich sehe jedoch eine Diskrepanz zwischen der Gleichung von Wikipedia ' und der Gleichung von Oxford dict ', da ich ' habe die anzuzeigende Frage aktualisiert.
- Vielen Dank für das Update, falscher Benutzername. Das Oxford Dictionary hat einen Fehler – sie haben vergessen, das $ h $ zu streichen, entweder wegen unzureichender Schriftarten oder wegen inkompetenter Autoren, haha.
Antwort
Dies muss mit Satzproblemen zusammenhängen. Natürliche (Planck) Einheiten haben hbar = 1, nicht h = 1.