Was bedeutet der Exponentialterm in der Fourier-Transformation?

Es ist ein komplexes Exponential, das sich für immer auf dem komplexen ebenen Einheitskreis dreht:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Sie können sich die Fourier-Transformation als Berechnung vorstellen Korrelation zwischen $ f (t) $ und einem komplexen Exponential jeder Frequenz, wobei verglichen wird, wie ähnlich sie sind. Komplexe Exponentiale wie diese haben die schöne Qualität, dass sie zeitlich sein können. verschoben durch Multiplikation mit einer komplexen Anzahl von Einheiten Magni tude (ein konstantes komplexes Exponential). Wenn das Fourier-Transformationsergebnis bei einer bestimmten Frequenz eine nicht reelle komplexe Zahl ist, kann das komplexe Exponential dieser Frequenz mit dieser komplexen Zahl multipliziert werden, um sie zeitlich zu verschieben, so dass die Korrelation zu $ f (t) $ wird maximiert.

Wenn Sie nicht gerne darüber nachdenken Imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen und Funktionen. Alternativ können Sie sich das komplexe Exponential in der FT als Kurzform vorstellen, um sowohl eine Sinuswelle als auch eine Cosinuswelle (mit derselben Frequenz) zu einer einzigen Funktion zusammenzufügen, für die weniger Kreide an der Tafel erforderlich ist Schreiben.

Ob es sich um die Fourier-Transformation oder die Laplace-Transformation oder die Z-Transformation usw. handelt, das Exponential ist die -Eigenfunktion von linearen und zeitinvarianten (LTI) Operatoren . Wenn eine Exponentialfunktion von „Zeit“ in einen LTI eingeht, kommt ein Exponential wie es (aber skaliert durch den Eigenwert) heraus. was der F.T. Dabei wird eine allgemeine Funktion in eine Summe dieser Exponentiale zerlegt. Dies kann anhand der inversen Fourier-Transformation gesehen werden.

Die Fourier-Transformation:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

konvertiert eine Funktion in ein Integral harmonischer Funktionen. Sie können sich diese als Sünden und Kosinus vorstellen, weil $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Die Fourier-Transformation als kontinuierliche Form der Fourier-Reihe, die jedes periodische Signal in eine Summe anderer realer periodischer (harmonischer) Signale umwandelt:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

In der Fourier-Transformation können Sie sich die Koeffizienten $ a_n $ und $ vorstellen b_n $ geht über die Werte einer stetigen Funktion. Um den Vergleich weiter zu führen, gibt es eine komplexe Version der Reihe:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Kommentare

• Versuchen Sie, sich an eine unabhängige Variable zu halten, entweder $ t $ oder $ x $, aber nicht beide. Versuchen Sie außerdem, ein besseres Wort als ‚ Hearken ‚ zu finden, das nicht ‚ ist Dies ergibt hier keinen Sinn.
• Sie vermissen auch $ \ omega $ in den Argumenten der Sinuskurven und der Exponentialfunktion: $ \ cos (n \ omega t) $ usw.
• @MattL. Benötige ich $ \ omega $? Die Fourier-Transformation hat $ e ^ {i \ omega t} $, aber in der Reihe tritt “ $ n $ “ an die Stelle von $ \ omega $. Ist ‚ das nicht richtig?
• Nein, $ \ omega = 2 \ pi / T $, wobei $ T $ die Periode von $ f (t) ist. $, dh wenn $ T = 2 \ pi $ ist, benötigen Sie $ \ omega $.
• Ok. Ich verstehe, was Sie meinen.

Betrachten Sie den Fall $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Dann

$$ F (\ omega) = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limitiert _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Wenn $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , beide Integranden schwingen um Null und die Integrale sind effektiv Null.Die einzigen Ergebnisse ungleich Null sind

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limitiert _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

, was häufig als $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ ausgedrückt wird big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

In Worten, z Jeder gegebene Wert des Arguments $ \ omega $ , der $ e ^ {- i \ omega t} $ Faktor übersetzt die Komponente von $ f (t) $ mit dieser Häufigkeit in $ 0 $ und alle anderen Komponenten weg von Null. Dann erzeugt das unendliche Integral ein Maß für die Stärke der Komponente bei $ 0 $ .

Beachten Sie, dass wenn $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , dann $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Dies bedeutet tatsächlich, dass das Vorzeichen von $ \ omega_0 $ eindeutig aus der Funktion $ e ^ {i \ abgeleitet werden kann omega_0 t} $ . Es kann nicht aus $ \ cos (\ omega_0 t) $ abgeleitet werden, da es trigonometrisch identisch ist mit $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Die Fourier-Transformation behandelt diese Mehrdeutigkeit, indem sie sowohl bei $ \ omega = \ omega_0 $ als auch bei $ \ omega = Antworten ungleich Null gibt – \ omega_0 $ . Das bedeutet nicht, dass $ \ cos (\ omega_0 t) $ beide Frequenzen enthält, da $ \ omega_0 $ kann nur einen Wert haben. Die richtige Interpretation ist, dass $ e ^ {i \ omega_0 t} $ mehr Informationen enthält, nicht weniger als $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Die Formel $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ sieht nach weiteren Informationen aus, ist jedoch eine Stornierung von Informationen.

Kommentare

• “ Das bedeutet nicht $ cos (\ omega_0 t) $ enthält beide Frequenzen, da $ \ omega_0 $ nur einen Wert haben kann. “ Nein. Der Cosinus ist die Summe zweier komplexer reiner Töne entgegengesetzter Frequenzen (zwei unterschiedliche Werte). Was Sie ‚ nicht sagen können, ist das Zeichen von $ \ omega_0 $. Beides ist eine gültige Interpretation, ähnlich der Auswahl einer Quadratwurzel. Konventionell werden Frequenzen für reelle Töne mit realem Wert als positiv betrachtet.
• @Cedron – Betrachten Sie eine Funktion $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Und $ \ \ daher \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Sollte wir schließen daraus, dass $ x ^ 2 $ mehr als nur eine Funktion auf der reellen Zahlenlinie ist? Es besteht heimlich aus zwei komplexen Funktionen? Wenn ja, welche zwei? … weil ich $ f (x) $ genauso gut hätte definieren können wie $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Dies ist nicht ‚ t über Funktionszerlegung. Sie hätten genauso leicht $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ für ein ebenso spezielles Argument sagen können. Der Ausdruck “ enthält beide Frequenzen. “ steht im Kontext der FT (in diesem Fall kontinuierlich). Wenn $ cos $ nur eine Frequenz hätte, gäbe es nur einen Wert ungleich Null im Spektrum.
• Ich halte ‚ nicht für sinnvoll, darüber zu streiten, wie viele Frequenzen, die ein allgemeines Signal enthält, ohne sich darüber einig zu sein, was “ vernünftige “ Zerlegung in periodische Funktionen bedeutet. Eine Frequenz ist dann nur ein Kurzausdruck für eine periodische Komponente einer Frequenz . Eine vernünftige Zerlegung umfasst beispielsweise keine Komponenten, die sich vollständig gegenseitig aufheben, oder Komponenten, die identisch sind.
• @Olli – Vielen Dank für die redaktionelle Hilfe bei meinen Deltas. Ich dachte, dass es ‚ nicht ganz richtig aussieht, aber ich habe ‚ nicht verstanden, warum.