Was ist der Unterschied zwischen Phasenverzögerung und Gruppenverzögerung?

Erstens sind die Definitionen unterschiedlich:

• Phasenverzögerung: (das Negative von) Phase geteilt durch Frequenz
• Gruppenverzögerung: (das Negative von) Erste Ableitung von Phase gegen Frequenz

In Worten, die bedeutet:

• Phasenverzögerung: Phasenwinkel an diesem Punkt in der Frequenz
• Gruppenverzögerung: Änderungsrate der Phase um diesen Punkt in der Frequenz.

Wann Sie das eine oder andere verwenden, hängt wirklich von Ihrer Anwendung ab. Die klassische Anwendung für Gruppenverzögerungen sind modulierte Sinuswellen, beispielsweise AM-Radio. Die Zeit, die das Modulationssignal benötigt, um durch das System zu gelangen, wird durch die Gruppenverzögerung und nicht durch die Phasenverzögerung angegeben. Ein weiteres Audiobeispiel könnte eine Kick-Drum sein: Dies ist meistens eine modulierte Sinuswelle. Wenn Sie also bestimmen möchten, um wie viel die Kick-Drum verzögert (und möglicherweise zeitlich verschmiert) wird, ist die Gruppenverzögerung die richtige Art, sie zu betrachten.

Kommentare

• “ Absolute Phase zu diesem Zeitpunkt in der Frequenz “ Würde ‚ nicht nur “ Phase “ genannt werden?
• Ich meinte “ absolut “ im Vergleich zu “ relativ „, aber ich sehe, dass dies mit dem “ Absolutwert “ verwechselt werden kann. Ich ‚ werde es bearbeiten
• einen letzten wichtigen Unterschied: Die Phasenverzögerung bei einer Frequenz $ f $ ist die Zeitverzögerung der Phase des quasi-sinusförmigen Signals der Frequenz $ f $, das durch das Filter geleitet wird. Die Gruppenverzögerung ist die Zeitverzögerung der Hüllkurve oder “ Gruppe “ der Quasi-Sinuskurve.

Sie messen nicht beide Wie stark eine Sinuskurve verzögert ist. Die Phasenverzögerung misst genau das. Die Gruppenverzögerung ist etwas komplizierter. Stellen Sie sich eine kurze Sinuswelle mit einer Amplitudenhüllkurve vor, die so ein- und ausgeblendet wird, beispielsweise ein Gaußscher multipliziert mit einer Sinuskurve Diese Hüllkurve hat eine Form, und insbesondere hat sie eine Spitze, die das Zentrum dieses „Pakets“ darstellt. Die Gruppenverzögerung gibt an, um wie viel diese Amplitudenhüllkurve verzögert wird, insbesondere um wie viel die Spitze dieses Pakets wird sich bewegen.

Ich denke gerne darüber nach, indem ich zur Definition der Gruppenverzögerung zurückkehre: Es ist die Ableitung der Phase. Die Ableitung gibt Ihnen eine Linearisierung der Phasenantwort an diesem Punkt. Mit anderen Worten, bei einer bestimmten Frequenz sagt Ihnen die Gruppenverzögerung ungefähr, wie sich die Phasenantwort der benachbarten Frequenzen auf die Phasenantwort an diesem Punkt bezieht. Denken Sie nun daran, wie wir eine amplitudenmodulierte Sinuskurve verwenden. Die Amplitudenmodulation nimmt die Spitze der Sinuskurve und führt Seitenbänder bei benachbarten Frequenzen ein. In gewisser Weise gibt Ihnen die Gruppenverzögerung Informationen darüber, wie die Seitenbänder relativ zu dieser Trägerfrequenz verzögert werden, und das Anwenden dieser Verzögerung ändert die Form der Amplitudenhüllkurve in irgendeiner Weise.

Die verrücktes Ding? Kausalfilter können eine negative Gruppenverzögerung haben!Nehmen Sie Ihren Gaußschen Wert multipliziert mit einer Sinuskurve: Sie können eine analoge Schaltung so erstellen, dass beim Senden dieses Signals die Spitze der Hüllkurve im Ausgang vor dem Eingang erscheint. Dies scheint ein Paradoxon zu sein, da der Filter so aussieht muss in die Zukunft „sehen“. Es ist definitiv seltsam, aber eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass der Filter bereits über genügend Informationen verfügt, um vorauszusehen, was passieren wird, da der Umschlag eine sehr vorhersehbare Form hat. Wenn eine Spitze in die Mitte des Signals eingefügt würde, würde der Filter dies nicht vorhersehen. Hier ist ein wirklich interessanter Artikel dazu: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Kommentare

• Wenn Sie “ Bild a … “ sagen, wäre ein tatsächliches Bild wirklich hilfreich hier.

Für diejenigen, die den Unterschied hier immer noch nicht kalkulieren können, ist ein einfaches Beispiel

Nehmen Sie eine lange Übertragungsleitung mit einem einfachen quasi-sinusförmigen Signal mit einer Amplitudenhüllkurve, $ a (t) $ , an ihrem Eingang

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Wenn Sie dieses Signal bei der Übertragung messen Zeilenende, $ y (t) $ , könnte irgendwo so aussehen:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph) i) \ big) \\ \ end {align} $$

wobei $ \ phi $ die Phasendifferenz von Eingabe zu ist Ausgabe.

Wenn Sie möchten, wie viel Zeit dafür benötigt wird, dauert die -Phase der Sinuskurve $ \ sin (\ omega t) $ Übertragung von Eingabe zu Ausgabe, dann $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ ist Ihre Antwort in Sekunden.

Wenn Sie möchten, wie viel Zeit darin benötigt wird, benötigen Sie den Umschlag , $ a (t) $ , der sinusförmigen Übertragung von der Eingabe zur Ausgabe, dann $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ ist Ihre Antwort in Sekunden.

Die Phasenverzögerung ist nur die Laufzeit für eine einzelne Frequenz während der Gruppenverzögerung ist ein Maß für die Amplitudenverzerrung, wenn ein Array mit mehreren Frequenzen angewendet wird.

Ich weiß, dass dies eine hübsche ist alte Frage, aber ich habe nach einer Ableitung der Ausdrücke für Gruppenverzögerung und Phasenverzögerung im Internet gesucht. Es gibt nicht viele solcher Ableitungen im Internet, daher dachte ich, ich würde das, was ich gefunden habe, teilen. Beachten Sie auch, dass diese Antwort eher eine mathematische als eine intuitive Beschreibung ist. Intuitive Beschreibungen finden Sie in den obigen Antworten geht:

Betrachten wir ein Signal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

und übergeben Sie dies über einen LTI System mit Frequenzgang

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Wir haben die Verstärkung des Systems als Einheit betrachtet, weil wir daran interessiert sind zu analysieren, wie das System die Phase des Eingangssignals und nicht die Verstärkung verändert. Angesichts der Tatsache, dass die Multiplikation im Zeitbereich der Faltung im Frequenzbereich entspricht, ist die Fourier-Transformation des Eingangssignals gegeben durch

$$ X (j \ omega) = {1 \ über 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

entspricht

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Daher hat der Ausgang des Systems ein Frequenzspektrum, das durch

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ über 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Um die inverse Fourier-Transformation des obigen Ausdrucks zu finden, müssen wir die genaue analytische Form für $ \ phi (\ omega) $ . Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass der Frequenzinhalt von $ a (t) $ nur die Frequenzen enthält, die signifikant niedriger sind als die Trägerfrequenz $ \ omega_0 $ . In diesem Szenario kann das Signal $ x (t) $ als amplitudenmoduliertes Signal angesehen werden, wobei $ a (t ) $ repräsentiert die Hüllkurve des Hochfrequenz-Cosinussignals. Im Frequenzbereich enthält $ B (j \ omega) $ jetzt zwei schmale Frequenzbänder, die auf $ \ omega_0 $ zentriert sind und $ – \ omega_0 $ (siehe obige Gleichung).Dies bedeutet, dass wir eine Taylor-Reihenerweiterung erster Ordnung für $ \ phi (\ omega) $ verwenden können.

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

wobei $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Wenn Sie dies einstecken, können Sie die inverse Fourier-Transformation der ersten Hälfte von $ B (j \ omega) $ berechnen als

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Ersetzen von $ \ omega – \ omega_0 $ für $ \ omega „$ , dies wird

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega „)) e ^ {j ((\ omega“ + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega „$$

, was zu

$$ a (t + \ beta) \ vereinfacht frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Einfügen der Ausdrücke für $ \ alpha $ und $ \ beta $ , dies wird

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Ähnlich die andere Hälfte von Die inverse Fourier-Transformation von $ B (j \ omega) $ kann durch Ersetzen von $ \ omega_0 $ erhalten werden von $ – \ omega_0 $ . Wenn man feststellt, dass $ \ phi (\ omega) $ für echte Signale eine ungerade Funktion ist, wird dies zu

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Also Wenn wir die beiden addieren, erhalten wir $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Beachten Sie die Verzögerungen im Umschlag $ a (t) $ und das Trägerkosinussignal. Die Gruppenverzögerung $ (\ tau_g) $ entspricht der Verzögerung in der Hüllkurve, während die Phasenverzögerung $ (\ tau_p) $ entspricht der Verzögerung im Träger.

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Die Phasenverzögerung eines Filters ist die Zeitverzögerung, die jede Frequenzkomponente beim Durchlaufen der Filter erleidet (wenn ein Signal aus mehreren Frequenzen besteht.)

Die Gruppe Verzögerung ist die durchschnittliche Zeitverzögerung des zusammengesetzten Signals, das bei jeder Frequenzkomponente auftritt.