Was ist die Fermi-Oberfläche ? Ich hoffe, diese Frage ist für dieses Forum nicht zu elementar und entschuldige mich im Voraus, falls dies der Fall ist.

Lassen Sie mich meine Verwirrung erklären. Ich glaube, ich habe ein Gefühl für das Fermi-Level. Ich kann es zum Beispiel als den charakteristischen Parameter $ \ mu $ in der Fermi-Dirac-Verteilung der Energieniveaus für die Elektronen im System verstehen: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignoriert im Moment andere physikalische Interpretationen. Somit ist es das einzigartige Energieniveau, das die Wahrscheinlichkeit 1/2 hat, besetzt zu werden.

Die Definition der Fermi-Oberfläche wird andererseits üblicherweise als „Isofläche von Zuständen mit Energie“ angegeben gleich der Fermi-Ebene „im dreidimensionalen Raum der Wellenvektoren $ k $ , zum Beispiel in diesem Wikipedia-Artikel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Mit anderen Worten, es werden die $ k $ so dass $$ E (k) = \ mu. $$ So weit, so gut. Das Problem ist, ich verstehe nicht ganz, was $ E (k) $ ist.

Eine Situation scheint einfach zu sein, nämlich ein Fermi Gas identischer Teilchen. Dann $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ und die Fermi-Oberfläche ist eine Kugel Wir befinden uns in einem unendlichen periodischen Potential, dem üblichen idealisierten Modell für die Bloch-Theorie. Dann kommen die Lösungen für die Schrödinger-Gleichung in der Form $$ \ psi_ {kn} (r) = e heraus ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ wobei $ u_ {kn} $ eine periodische Funktion und $ n $ ist ein diskreter Index für Energieniveaus. Mit anderen Worten, für jeden Wellenvektor $ k $ ,

es gibt viele Energieniveaus $ E_n (k) $ .

Also die Gleichung für die Die Fermi-Oberfläche würde tatsächlich so aussehen wie $$ E_n (k) = \ mu. $$ Meine Frage lautet daher Welches Energieniveau ist das $ E (k) $ , das bei der Definition der Fermi-Oberfläche auftritt? Vielleicht gibt es eine Fermi-Oberfläche für jedes Level $ n $ ? (Angenommen, die Ebenen variieren kontinuierlich über den Impulsraum, sodass wir die Ebenen für unterschiedliche $ k $ konsistent indizieren können.)

Wenn ich könnte Wenn ich meine Verwirrung etwas genauer erläutere, verstehe ich die Definition in dieser Antwort auf diese Frage nicht ganz:

Was ist die Fermi-Oberfläche und warum ist dieses Konzept in der Metallforschung so nützlich?

Es wird angegeben, dass

„Die Fermi-Oberfläche ist einfach die Oberfläche im Impulsraum, an der im Grenzbereich der Null-Wechselwirkungen alle Fermionzustände mit (Kristall-) Impuls $ | k | < | k_F | $ sind belegt und alle Zustände mit höherem Impuls sind leer. „

Zum einen, wie oben erwähnt, für jeden Impuls $ k $ ist eine unendliche Folge von Fermionzuständen. Das andere Problem ist, dass ich nicht sicher bin, ob die obige Aussage eine eindeutige Oberfläche definiert, selbst wenn ich irgendwie einen Fermionzustand $ auswählen konnte \ psi (k) $ für jeden $ k $ , auf den sich die Anweisung bezieht. (Ich müsste ein Bild zeichnen, um diesen Punkt zu erklären, für den ich nicht die Kompetenz habe.)

Kommentare

  • Die Fermi Die Oberfläche wird bei einer Temperatur von absolut Null definiert, also nehmen Sie die Grundzustandslösungen $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Und in einem Festkörper betrachten Sie die Zustände innerhalb eines ( Wigner-Seitz) -Einheitszelle.
  • Lemon: Ich finde das auch ziemlich verwirrend. Ihre Aussage wäre also ‚ Die Fermi-Oberfläche ist die Menge von $ k $ so dass $ E_0 (k) = \ mu $, ‚ wobei $ E_0 (k) $ die niedrigste Energie mit dem Impuls $ k $ ist. Aber dann in einem Festkörper, in dem viele von Wenn die unteren Energiebänder gefüllt sind, gibt es viele Elektronen über dem Fermi-Niveau. Dies scheint nicht mit dem üblichen Bild übereinzustimmen.
  • Jon Custer: Ich denke, Sie ‚ bezieht sich auf die Tatsache, dass jedes der $ u_ {kn} $ durch seine Werte in einer Zelle bestimmt wird. Das ‚ ist wahr. Aber es gibt keine Zustände, die gerecht sind konz in eine Zelle aufgenommen. (Die $ u_ {kn} $ sind periodisch.) Auf jeden Fall sehe ich ‚ nicht, wie dies die Frage beantwortet.So wie Sie es formulieren, klingt es wie ‚ für jedes $ k $, es gibt ein eindeutiges $ \ psi_ {kn} $, das in einer Zelle konzentriert ist, und seine Energie ist was Wir verwenden, um die Fermi-Oberfläche zu definieren. ‚ Dies ‚ klingt aus verschiedenen Gründen nicht richtig.

Antwort

Alles, was Sie sagen, ist korrekt. Die Fermi-Oberfläche ist definiert als die Menge von Punkten $ k $, so dass $ E_n (k) = \ mu $ für jedes Band $ n $ ist. Typischerweise sind die Bänder jedoch relativ weit voneinander entfernt und überlappen sich nicht in der Energie, wie folgt:

Bild eingeben Beschreibung hier

Wie wir sehen können, liegen die Banden 1 und 3 vollständig über oder vollständig unter dem chemischen Potential $ \ mu $ und sind daher für die Bestimmung der Fermi-Oberfläche irrelevant ( Tatsächlich sind diese Banden bei niedrigen Temperaturen für alle physikalischen Phänomene ziemlich irrelevant – nur Banden in der Nähe des chemischen Potentials sind physikalisch wichtig. Deshalb können Sie in der Praxis davonkommen, nur darüber nachzudenken ein oder zwei Banden und alle anderen völlig ignorierend – und wenn es eine Fermi-Oberfläche gibt (dh das chemische Potential schneidet eine Bande (n)), ist eine Bande fast immer genug.

Komplizierter / ungewöhnlicher Bei Systemen müssen Sie jedoch mehrere Bänder im Auge behalten. Manchmal können sich Bänder berühren oder kreuzen, und es können lustige Dinge passieren, wenn Sie das chemische Potenzial genau auf cr einstellen Ossing Point. Noch ungewöhnlicher ist, dass zwei Bänder einen ganzen endlichen Energiebereich teilen können – z. zwei Kosinuskurven, die vertikal um einen winzigen Betrag verschoben sind. Aber diese Fälle sind sehr selten – für die meisten alltäglichen Materialien sitzt $ \ mu $ höchstens in einer Band und Sie brauchen sich darüber keine Sorgen zu machen. (Tatsächlich suchen / kreieren professionelle Physiker gerne ungewöhnliche Materialien, bei denen das chemische Potenzial besteht sitzt direkt an einer Bandkreuzung, genau weil solche Systeme nicht so theoretisch gut verstanden sind, also gibt es mehr zu lernen.)

Übrigens besteht die 1-D-Oberfläche in 1-D wie in der obigen Darstellung nur aus isolierten Werten von $ k $, in 2-D ist sie normalerweise eine geschlossene Kurve in der Ebene $ k_x $ – $ k_y $ und in 3-D ist es normalerweise eine geschlossene Oberfläche, wie eine Kugel. Manchmal kann die Fermi-Oberfläche tatsächlich aus zwei (oder mehr) Kugeln bestehen, wobei eine in der anderen und die gefüllte “ Fermi-Meer „für das relavante Band liegt dazwischen . Dieses Phänomen wird als“ Fermi-Oberflächenverschachtelung „bezeichnet. Wenn Sie jedoch nur etwas über Fermi-Oberflächen lernen, müssen Sie sich darüber keine Sorgen machen komplizierte Situationen für eine lange Zeit.

Kommentare

  • Danke für die klare Antwort. Übrigens habe ich ‚ jetzt gesammelt, dass das Wort ‚ band ‚ verwendet wird auf zwei verschiedene Arten in der Festkörperphysik. Das Wort, das Sie hier verwenden, bezieht sich nur auf ein Energieniveau. Es gibt aber auch die Vorstellung eines Bandes als eine im Wesentlichen kontinuierliche Verteilung der Energieniveaus, zwischen denen ‚ Lücken liegen. ‚ Ich denke das war ein großer Teil meiner Verwirrung. Korrigieren Sie mich, wenn ich ‚ falsch liege.
  • @MinhyongKim Ein “ Band “ ist definiert als eine einzelne Kurve $ E_n (k) $ für einen gegebenen Wert von $ n $. (Ich denke, es ist etwas irreführend, ‚ zu nennen, dass ein “ Energieniveau „, weil Die Funktion ist im Allgemeinen nicht konstant, daher werden Werte über ein ganzes endliches Intervall von Energien angenommen.) Menschen missbrauchen gelegentlich die Terminologie und verwenden auch das Wort “ band “ bezieht sich auf das Energieintervall, über das sich die Funktion erstreckt – dh die Impulsabhängigkeit kollabiert. Sie ‚ haben Recht, dass dies das ist, woran die Leute denken, wenn sie über “ Bandlücken sprechen. “ Aber die beiden Sinne von “ band “ sind wirklich fast identisch …
  • .. Der einzige Unterschied besteht darin, ob Sie die Abhängigkeit von $ k $ verfolgen oder nur den Bereich der Funktion ‚ berücksichtigen.
  • Vielen Dank für die weitere Erklärung. Aber es scheint mir etwas wichtig, die beiden Sinne zu unterscheiden. Wenn das Wort ‚ band ‚ im Sinne einer elektronischen Bandstruktur verwendet wurde, dann ist die Gleichung $ E_n (k) = \ mu $ wäre ‚ selbst für einen festen Wert von $ n $ nicht genau definiert. Dies war eines der sehr verwirrenden Dinge für einen Neuling wie mich. Auf jeden Fall nochmals vielen Dank!

Antwort

Die Fermi-Oberfläche ist die Oberfläche im wechselseitigen Raum (die Dual des realen Raums, in dem Sie leben) Abgrenzung der fermionisch besetzten Zustände von den fermionisch unbesetzten bei Nulltemperatur.Es handelt sich also eher um eine Momentum-Konstruktion ($ k $) als um eine Energiekonstruktion.

Die Logik lautet wie folgt: Versuchen Sie, alle eine bestimmte Anzahl von Fermionen zusammenzusetzen. Da sie dem Pauli-Ausschlussprinzip folgen, können Sie diese Fermionen nicht so verpacken, wie Sie es möchten. Jedes Mal, wenn im Impulsraum Platz für einen Zustand ist, kann nur eine Fermion diesen leeren Raum einnehmen. Sie müssen also anfangen, die Fermionen zu stapeln. Es hat eine vollständige Analogie zum Füllen eines Bücherregals mit Büchern: Sie müssen die nächste Zeile verwenden, wenn die vorherige voll ist. Sie können kleinere Intervalle zwischen den Rohdaten verwenden, die Größe der einzelnen Rohdaten vergrößern, … Wenn Sie zu viele Bücher haben, können Sie die nächste Rohdaten verwenden. Dies ist nichts anderes als die Verwendung des nächsten Impulszweigs in Ihrer Dispersionsbeziehung (wie Sie es nennen) $ k_n (E) $). Wenn Sie die letzte Fermion in Ihr fermionisches Bücherregal legen, wird der entsprechende Impulszustand als Fermi-Impuls bezeichnet, die entsprechende Energie als Fermi-Energie, … und die Oberfläche von iso- $ k $ am Fermi-Impuls wird die Fermi-Oberfläche genannt.

Nur wenige Bemerkungen

  • Es wird niemals eine unendliche Anzahl von Zweigen geben, die zum Ausfüllen eines endlichen verwendet werden. em> Anzahl der Fermionen in den Dispersionsrelationen (die Bandstruktur des Materials, wenn Sie dies bevorzugen).

  • Es besteht kein Widerspruch in der Annahme, dass die Fermi-Oberfläche mehrere Blätter aufweist. Selbst auf Wikipedia haben Sie bereits ein Beispiel für eine Fermi-Oberfläche mit Elektronen- und Lochtaschen

  • Das Konzept der Fermi-Oberfläche kommt aus dem Begriff der (Fermi-Dirac) -Statistik, wenn Sie eine endliche Anzahl von Partikeln zu behandeln haben (in einer alten Terminologie ist es ein zweites quantisiertes Problem), während die Bandstruktur das vollständige Spektrum der verfügbaren Zustände für einen ist Teilchen (in der alten Terminologie ist es ein erstes quantisiertes Problem) in einem periodischen Potential. Der einfache Weg, von einem zum anderen zu gelangen, ist die Nutzung des chemischen Potentials, das die Anzahl der Partikel pro Energiezustand festlegt (genauer gesagt die Energiemenge, die erforderlich ist, um dem thermodynamischen System ein Partikel hinzuzufügen).

  • Die Fermi-Oberfläche ist ein besonders nützliches Konzept, um einige Transporteigenschaften (Elektro-, Wärme-, … Transporte) für Materialien mit einfachen Bandstrukturen wie reine Metalle und dotierte Halbleiter zu verstehen. Wenn die Fermi-Oberfläche zu kompliziert wird, wird es schwierig, eine Intuition daraus zu ziehen. Ich denke, dies ist der Kern des Missverständnisses des Konzepts in Ihrer Frage.

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