Bisher haben wir in unserer Vorlesung die Erstellungsoperatoren $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ im definiert Auf diese Weise haben wir gesagt:
Jemand hat Ihnen einen antisymmetrischen oder symmetrischen N-Teilchen-Zustand gegeben, und jetzt versetzt $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ ein anderes Teilchen in den Zustand n, so dass wir enden mit einem symmetrischen / antisymmetrischen N + 1-Teilchenzustand. Diese Interpretation ist mir irgendwie klar in dem Sinne, dass diese $ a ^ {\ dagger}, a $ -Operatoren die umständlichen Slater-Determinanten vermeiden und so weiter. Trotzdem haben wir es immer noch mit genau definierten symmetrisierten / antisymmetrisierten Produktzuständen zu tun, die um einen Zustand erweitert oder reduziert werden und hinter dieser Notation verborgen sind.
Jetzt haben wir auch Feldoperatoren in QM um $ definiert \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {alle Zustände}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Wir sagten, dass sie ein Partikel an Position $ r $ erzeugen . Irgendwie ist mir nicht klar, was dies bedeutet:
Ein Partikel an einer exakten Position $ r_0 $ im QM zu erstellen, würde bedeuten, dass wir jetzt einen zusätzlichen Zustand $ \ psi_i (r) = \ delta haben (r-r_0) $ in unserer Slater-Determinante. Ich bezweifle, dass dies die Idee dahinter ist. Da die $ a_i ^ {\ dagger} $ -Operatoren auf den $ N $ -Partikelzustand einwirken und auf $ N + 1 $ Partikelzustände abgebildet werden, muss dies auch für $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ gelten . Trotzdem habe ich Schwierigkeiten, das Ergebnis zu interpretieren.
Wenn etwas unklar ist, lassen Sie es mich bitte wissen.
Antwort
Die $ \ psi_i $ in Ihrer Summe müssen keine Delta-Funktionen sein. Sie können sich zum Beispiel vorstellen, dass es sich um Energieeigenfunktionen handelt $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$. Wenn Sie also ein Teilchen bei $ r $ erstellen, erhalten Sie eine Überlagerung aller möglichen Wege Ein Teilchen kann sich bei $ r $ befinden (in dieser speziellen Basisauswahl): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {komplexe Zahlen}} | i \ rangle $$ wobei $ | 0 \ rangle $ der Vakuumzustand (oder der Grundzustand, wenn Sie möchten) und $ | i \ rangle $ der Fock-Zustand mit einem Teilchen im n-ten Modus. Sie können sich diese Gleichung so vorstellen, dass für jedes $ i $ $ \ psi_i ^ * (r) $ die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist, um das Teilchen an der Position $ r $ zu finden, wenn Sie wissen, dass es sich im Zustand $ i $ befindet.
Kommentare
- Die Interpretation der Erstellung einer Überlagerung aller möglichen Wege, wie ein Partikel an die Position $ r $ gelangen kann, erscheint mir sinnvoll. Ich meine, wenn wir Sie richtig verstanden haben, erzeugen wir ein Teilchen in einem beliebigen Eigenzustand und suchen nach der Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich dieses Teilchen an der Position $ r $ befindet. Was ich ' nicht sehe, ist, wie dieser Begriff mit der tatsächlichen Erzeugung eines Teilchens an Position $ r $ zusammenhängt. Wenn Sie darüber nachdenken, dann sind dies zwei verschiedene Dinge. Könnten Sie versuchen zu erklären, was wir mit diesem Feldoperator modellieren möchten?
- Es hängt wirklich vom Kontext ab. Die Interpretation " Partikel " ist nicht immer geeignet. Im Allgemeinen können Sie sich diese Operatoren als das Erzeugen / Vernichten von Quantenzuständen vorstellen. Im Kontext von QFT sind diese Zustände tatsächlich (normalerweise) Teilchenzustände und $ | 0 \ rangle $ der Zustand ohne Teilchen und damit die Terminologie. In NRQM ist dies jedoch häufig nicht der Fall, und der Vakuumzustand " " ist in diesem Fall nur der Grundzustand des Systems . Sie " erstellen " / " zerstören " gibt in dem Sinne an, dass sie einen bestimmten Fock-Raum mit einem zusätzlichen / weniger Zustand dieser bestimmten Art in einen anderen senden.
Antwort
Betrachten Sie es als einen Basiswechsel. $ a_i ^ \ dagger $ erzeugt ein Partikel im Zustand $ | i \ rangle $. Nun kann dieser Zustand $ | i \ rangle $ in Form der Positionszustände $ | r \ rangle $ als $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ geschrieben werden Das Erzeugen eines Partikels in diesem Zustand entspricht somit dem Erzeugen eines Partikels in einer Überlagerung des Positionszustands mit dem entsprechenden Gewicht $ \ psi_i (r) $. Entsprechend kann ein in $ | r \ rangle $ lokalisiertes Teilchen so beschrieben werden, dass es sich in einer Überlagerung des Zustands $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ befindet und somit ein Teilchen erzeugt im Zustand $ | r \ rangle $ wird der Operator $ \ psi ^ \ dagger (r) $ durch den Operator $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $ definiert.
Kommentare
- Entschuldigung, aber diese Antwort ist sehr verwirrend. Sie scheinen über Positionen zu summieren. Beachten Sie, dass die Position nicht diskret ist! Daher habe ich ernsthafte Probleme, Ihre $ | r \ rangle $ ' s zu verstehen.
- @TobiasHurth: dass ' s nur Notationen (denken Sie an eine diskretisierte Version des Raums). Aber ich habe gerade zu Integral gewechselt, wenn Sie sich dadurch besser fühlen.