Das Einheitsschritt-Signal, definiert als
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
bietet je nach Art des Ansatzes drei mögliche Lösungen für die Darstellung der Fourierdomäne. Diese sind wie folgt:
- Der weit verbreitete Ansatz (Oppenheim Textbook) – Berechnen der Fourier-Transformation der Einheitsschrittfunktion aus der Fourier-Transformation der Signum-Funktion.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier-Transformation berechnet aus der Z-Transformation der Einheitsschrittfunktion (siehe Proakis-Lehrbuch, Algorithmen und Anwendungen für die digitale Signalverarbeitung , Seiten 267, 268, Abschnitt 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fourier-Transformation, berechnet durch Aufteilen in gerade und ungerade Funktionen – gefolgt von Proakis Textbook (siehe Proakis Textbook, <) em> Algorithmen und Anwendungen für die digitale Signalverarbeitung , Seite 618, Abschnitt 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Die 2. Darstellung kann ignoriert werden, da es sich nicht um eine gut erzogene Funktion handelt. Die Ansätze von Proakis und Oppenheim sind jedoch gleichermaßen gültig (sie erweitern die Fourier-Transformation um Impulse im Frequenzbereich). Die Verwirrung ist jedoch, dass sie unterschiedliche Lösungen bieten.
Gibt es einen Fehler in meinem Verständnis? oder vermisse ich einen entscheidenden Punkt? Bitte helfen Sie mir, dies und das richtige Formular zu verstehen, das in allen Anwendungen verwendet werden kann. (Ich fand heraus, dass der Oppenheim-Ansatz zur Ableitung der Kramers-Kronig-Beziehungen und der Proakis-Ansatz zur Ableitung der Hilbert-Transformation verwendet wird.)
Antwort
Beachten Sie, dass der erste Ausdruck die Fourier-Transformation des kontinuierlichen Einheitsschritts $ u (t) $ ist, sodass er nicht auf die zeitdiskrete Schrittfolge $ u [anwendbar ist. n] $. Außerdem sind sowohl der zweite als auch der dritte Ausdruck korrekt und identisch, wenn Sie berücksichtigen, dass der zweite Ausdruck bei ganzzahligen Vielfachen von $ 2 \ pi $ keine Gültigkeit beansprucht.
If Wir lassen Winkelfrequenzen bei Vielfachen von $ 2 \ pi $ weg, der dritte Ausdruck wird
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
, was mit dem zweiten Ausdruck identisch ist.
Kommentare
- Vielen Dank! Ja, der zweite und dritte sind aber gleichwertig im dritten haben sie Zusammensetzung, indem sie den Impuls an den Polen einbeziehen. Vielen Dank für die Klarstellung
Antwort
Wie Matt sagte, sind die zweite und dritte Definition bis auf der Teil mit Impuls. Der Impuls ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) berücksichtigt den DC-Wert von $ u [n] $ . Ohne diesen Begriff (dh die zweite Definition) ist es tatsächlich die FT von $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Wir haben $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Und daher hat die FT von $ u [n] $ den zusätzlichen Begriff, um die Hinzufügung von $ \ frac {1 zu berücksichtigen } {2} $ . Außerdem wird die diskrete Zeit FT (oder DTFT) von $ u [n] $ korrekt als $ U (e ^) geschrieben {j \ omega}) $ .
Die erste Definition, $ U (j \ omega) $ , ist die „kontinuierliche Zeit“ „FT (oder CTFT) von $ u (t) $ (nicht $ u [n] $ ) und unterscheidet sich daher von den beiden anderen Definitionen.