Was ist ein AMDF?

Ich habe das Wort „Formula“ mit „AMDF“ noch nie gesehen. Mein Verständnis der Definition von AMDF ist

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ ist die interessierende Nachbarschaft in $ x [n] $ . Beachten Sie, dass Sie nur nicht negative Terme zusammenfassen. Also $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Wir nennen „ $ k $ “ die „Verzögerung“ . Klar, wenn $ k = 0 $ , dann $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Auch wenn $ x [n] $ ist periodisch mit Periode $ P $ (und lassen Sie uns für den Moment so tun, als ob $ P $ ist eine Ganzzahl), dann $ Q_x [P, n_0] = 0 $ und $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ für eine beliebige Ganzzahl $ m $ .

Jetzt sogar Wenn $ x [n] $ nicht genau periodisch ist oder wenn die Periode nicht genau eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten ist (bei der bestimmten Abtastrate, die Sie verwenden), werden wir würde $ Q_x [k, n_0] \ ca. 0 $ für jede Verzögerung $ k $ erwarten, die nahe ist auf die Periode oder ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches der Periode. Wenn $ x [n] $ nahezu periodisch ist, die Periode jedoch nicht eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten aufweist, erwarten wir, dass $ Q_x [k, n_0] $ zwischen ganzzahligen Werten von $ k $ , um ein noch niedrigeres Minimum zu erhalten.

Mein Favorit ist nicht der AMDF, sondern der „ASDF“ (raten Sie mal, wofür das „S“ steht?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Es stellt sich heraus, dass Sie damit rechnen können, weil die Quadratfunktion kontinuierliche Ableitungen hat, die Absolutwertfunktion jedoch nicht.

Hier ist ein weiterer Grund, den ich mag ASDF besser als AMDF. Wenn $ N $ sehr groß ist und wir mit den Summationsgrenzen ein wenig schnell und locker spielen:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x) [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ rechts) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

wobei

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

wird normalerweise als „Autokorrelation“ von $ x [n] $ identifiziert.

Wir erwarten also die Autokorrelationsfunktion eine verkehrte (und versetzte) Nachbildung des ASDF. Überall dort, wo die Autokorrelationsspitzen auftreten, hat der ASDF (und normalerweise auch der AMDF) ein Minimum.