Einschränkung: Der erste Teil dieser Antwort bezieht sich sehr technisch auf das BRST-Verfahren und arbeitet zusätzlich mit einem endlichdimensionalen Phasenraum zur Bequemlichkeit. Es könnte ziemlich weit vom Verständnis von Geistern bei der durchschnittlichen Anwendung von BRST-Transformationen oder Geistern als Werkzeug entfernt erscheinen.

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Die allgemeine Konzeption von Geistern

Es gibt viele verschiedene Ebenen, auf denen man das Auftreten von Geistern, Anti-Geistern und deren Anzahl in der eingeschränkten Hamilton-Mechanik diskutieren kann (was den Eichentheorien auf Lagrange-Ebene entspricht). Eine davon ist teilweise in dieser Antwort von mir skizziert, in der der BRST-Operator als Differential in der Lie-Algebra-Kohomologie dargestellt ist.

Wir werden in dieser Antwort eine etwas andere Sichtweise auf Geister betrachten, nämlich durch “ Erweiterung des Phasenraums “ Dies kann als Umformulierung des Lie-Algebra-Kohomologie-Ansatzes in “ Phasenraumbegriffen “ angesehen werden:

The Der BRST-Formalismus versucht auf abstrakter Ebene, die Reduktion auf eine Einschränkungsfläche $ \ Sigma $ in einem Phasenraum $ zu implementieren X $ nicht durch Lösen der Einschränkungen $ G_a $ , sondern durch Suchen einer geeigneten Vergrößerung des Phasenraums, so dass die Funktionen im vergrößerten Phasenraum a haben abgestufte Ableitung $ \ delta $ lebt von denen, deren ho Die Mologie berechnet die Funktionen auf der Beschränkungsfläche, bei denen es sich um die messgeräteinvarianten Observablen handelt.

Der vergrößerte Phasenraum wird wie folgt erhalten:

1. Eine Funktion auf der Constraint-Oberfläche $ \ Sigma $ ist durch den Quotienten aller Phasenraumfunktionen modulo der auf der Oberfläche verschwindenden Funktionen gegeben. Jede Funktion $ f $ , die auf der Oberfläche verschwindet, wird durch $$ f = f ^ a G_a $$ gegeben Dabei sind die $ f ^ a $ beliebige Phasenraumfunktionen. Wenn man so viele Variablen $ P_a $ einführt, wie es Einschränkungen gibt, und $ \ delta P_a = G_a $ sowie $ \ delta z = 0 $ für jede ursprüngliche Phasenraumvariable, dann das Bild von $ \ delta $ sind genau alle Funktionen, die in $ \ Sigma $ verschwinden. Damit $ \ delta $ bewertet werden kann, muss $ P_a $ als Grad $ 1 $ . Der Grad einer Funktion als Polynom im $ P_a $ wird als anti- bezeichnet. Geisterzahl . ²

2. Der $ P_a $ sind einsam und benötigen konjugierte Variablen. Diese sind durch sogenannte longitudinale 1-Formen auf der Beschränkungsfläche gegeben, wobei ein longitudinales Vektorfeld auf der Beschränkungsfläche ein Feld ist, das die Eichbahnen tangiert. Ihre Dualen sind 1-Formen, die nur auf Längsvektoren definiert sind. Es sollte geometrisch intuitiv sein (und es ist tatsächlich wahr), dass die longitudinalen Vektorfelder genau die Felder sind, die die Eichentransformationen erzeugen (sie sind wiederum nur eine weitere Inkarnation der Eich-Lie-Algebra). Daher gibt es so viele grundlegende longitudinale 1-Formen $ \ eta ^ a $ wie es Einschränkungen gibt und wie es Anti-Geister gibt $ P_a $ .Da es die natürliche Aktion $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ per Definition des Duals gibt, ist es auch natürlich, nur die Poisson-Klammer zu definieren auf einem vergrößerten Phasenraum mit Koordinaten $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ um $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ , sodass die Paare $ (\ eta ^ a, P_a) $ als zusätzliche Paare fungieren von kanonischen Variablen. Die Ableitung wird auf den $ \ eta $ einfach durch $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funktionen in diesem vergrößerten Phasenraum wird nun eine reine Geisterzahl zugewiesen, basierend auf ihrem Grad in der $ \ eta $ .

Bei jeder Funktion im vergrößerten Phasenraum ist der Geist number ist einfach die reine Geisterzahl minus der Anti-Geisterzahl.

Das Schöne an der Geisterzahl ist, dass es sich um die Ladung eines bestimmten Generators handelt – Es wird vom Operator ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ gemessen Dies erfüllt $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ für jede Funktion eines bestimmten Geistes Nummer. Die Geisternummer ist physikalisch wichtig, da ein Zustand der Geisterzahl Null zusammen mit der Bedingung, BRST-invariant zu sein, die notwendige und ausreichende Bedingung ist, ein physikalischer Zustand zu sein.

Das Erhalten dieser Bedingung erfordert jedoch Erhalten Sie nun das BRST-Differential, indem Sie ein weiteres Differential $ \ mathrm {d} $ zu $ \ delta $ hinzufügen. und zeigt, dass der $ \ delta + \ mathrm {d} $ gibt, wenn “ kleine Störungen “ werden hinzugefügt, der für den BRST-Formalismus erforderliche nicht potente Operator. (Die Ableitung davon ist sehr technisch und wird manchmal als “ Theorem der homologischen Störungstheorie “ bezeichnet.) Untersuchen Sie dann noch einmal die Aktionen von $ \ mathrm {d}, \ delta $ , man findet, dass die meterinvarianten Funktionen genau diejenigen sind, die unter dem BRST-Operator mit der Geisterzahl Null invariant sind, also die Quantentheorie sollte auch diese Einschränkung auferlegen.

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^{1 “ dessen Homologie ist Mathe, wenn es sich um einen Operator handelt $ \ delta $ , wobei die Messgeräte-invarianten Funktionen genau die Funktionen mit $ \ delta (f) = 0 $ und wo wir $ f $ und $ g identifizieren $ wenn es einen $ h $ gibt, so dass $ \ delta (h) = f – g $ . Dies wird auch bei reduzierbaren Einschränkungen etwas komplizierter.}

^{2 Bei irreduziblen Einschränkungen wird das Messgerät bereits korrekt berechnet -invariante Funktionen, und man könnte hier im Prinzip aufhören. Es ist jedoch unbefriedigend, den $ P_a $ hinzugefügt zu haben, aber im Hamilton-Formalismus keine geeignet konjugierten Variablen für sie zu haben.}

^{3 Diese Definition ist das diskrete, nicht konforme Analogon zu dem Ausdruck für $ U $ , der in der Frage geschrieben ist.}

^{Hauptreferenz: “ Quantisierung von Messsystemen “ von Henneaux / Teitelboim}

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Der spezielle Fall von $ bc $ -CFT

Eine allgemeine “ $ bc $ -CFT „, dh eine 2D Die konforme Feldtheorie mit geisterhaften Feldern wird durch die Geisteraktion $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partiell c (z) gegeben ) + b (z) \ partiell c (z) \ rechts) $$ wenn die Felder $ b $ und $ c $ haben konforme Gewichte $ h_b $ bzw. $ h_c = 1 – h_b $ . Phasenraumfunktionen mit der Geisterzahl Null werden jetzt in Operatoren mit konformem Gewicht $ 1 $ übersetzt (da sie die gleiche Anzahl von Geistern und Anti-Geistern enthalten und sich das Gewicht additiv verhält ).

Dies zeigt, dass primäre physikalische Zustände (durch die Zustandsfeldkorrespondenz von 2D-CFTs) in einer solchen Theorie notwendigerweise ein konformes Gewicht haben müssen $ 1 $ .Dies ist in der Stringtheorie von Bedeutung, wo ein $ bc $ -CFT mit $ h_b = 2 $ ist Natürlich hinzugefügt zum $ X $ -CFT der Worldsheet-Felder. Für eine generische CFT könnten alle möglichen Primärdaten im Prinzip physikalische Zustände sein, aber die BRST-Prozedur erzwingt Zustände der Geisterzahl Null, dh Felder mit der Gewichtung $ 1 $ als Nur zulässige physische Zustände.

Kommentare

• Dies ist eine sehr detaillierte Antwort. Sie können jedoch auch ein Beispiel für die Verwendung von Geisterzahlen in CFT angeben ?
• @JakeLebovic: Ich habe eine kurze Erklärung hinzugefügt, wie sich die Anforderung der Geisterzahl Null im Fall der Stringtheorie widerspiegelt (dies ist der einzige mir bekannte Fall, in dem Geister in einer CFT auftreten).

In der konformen Feldtheorie auf der Ebene müssen Sie ein inneres Produkt im Raum von definieren Zustände Ihrer Theorie. In der Bosonischen Stringtheorie ist der Zustandsraum, dh der Hilbert-Raum der Theorie $ \ mathcal {H} $, der Raum der Darstellung der Virassoro-Algebra:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

Bei der radialen Quantisierung der CFT auf der komplexen Ebene kann man jedem Zustand im Hilbert-Raum der Theorie einen lokalen Operator auf der komplexen Ebene zuordnen, den sogenannten Operator-State-Korrespondenz . Das innere Produkt BPZ in diesem Hilbert-Raum kann definiert werden. Als erstes müssen die asymptotischen Zustände $ | 0 \ rangle $ und $ \ langle0 | $ definiert werden.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identitätsoperator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {am Ursprung} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identitätsoperator} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {im Unendlichen} \, \, z = \ infty $$

Diese beiden können durch verknüpft werden eine konforme Transformation $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Es kann gezeigt werden, dass sich unter dieser konformen Transformation die Modi $ \ hat {\ alpha} _n $ eines Feldes $ \ Phi $ der konformen Dimension $ h _ {\ Phi} $ wie folgt transformieren:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Also haben wir unter der konformen Transformation die Folgendes:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Dies impliziert für die Virasoro-Algebra, dass $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ und $ L_1 $ und ihre anti-holomorphen Gegenstücke $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ und $ \ overline {L} _1 $ vernichten sowohl $ | 0 \ rangle $ als auch $ \ langle0 | $. Diese Modi erzeugen jedoch die Gruppe $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, die Gruppe der globalen konformen Transformation auf der Riemann-Sphäre. Somit ist $ | 0 \ rangle $ als $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – invariantes Vakuum bekannt.

Andererseits kann mit $ (1) $ gezeigt werden, dass $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ und $ b_1 $ auch $ | 0 \ rangle $ und $ \ vernichten langle0 | $. Die kanonische Kommutierungsrelation des $ bc $ -Systems zeigt Folgendes:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

Die Modi $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ und $ c_1 $ vernichten also keines der $ \ rvert0 \ rangle $ und $ \ langle0 \ rvert $. Das erste Nicht-Null-Matrixelement für das $ bc $ -System auf der Riemann-Kugel lautet also:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

Die BPZ-Konjugation, dh die Beziehung (1), verletzt die Geisterzahl um 3 Einheiten. Die Aktion des $ bc $ -Systems hat die folgende Geisterzahlsymmetrie:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Der entsprechende Strom ist:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Wobei $: \ cdots: $ die normale Reihenfolge bezeichnet.

Der Ursprung der oben beschriebenen Verletzung der Geisternummer ist geometrisch. $ j $ ist der Fermionszahlstrom von chiralen Fermionen mit nicht konvertntialem Integer-Spin ($ b $ und $ c $ haben beide Integer-Spin). Es liegt also eine Gravitationsanomalie vor:

$$ \ Partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Dabei ist $ \ lambda $ die konforme Dimension von $ b $. Wenn man dies integriert, kann man sehen, dass die Verletzung der Geisterzahl auf einer Gattung $ g $ Riemann-Oberfläche (Weltenblatt der Theorie geschlossener Strings) $ 3 (g-1) $ beträgt. Die Bedeutung des Geisterstroms besteht darin, dass er die Nicht-Null-S-Matrix-Elemente der CFT bestimmt.