Soweit ich es verstehe, ist die Gravitationsbindungsenergie einer bestimmten Massenverteilung das Negative ihrer Gravitations-Eigenpotentialenergie.
Ich habe versucht, letzteres für eine feste Kugel mit dem Radius $ R $, der Masse $ M $ und der gleichmäßigen Dichte zu berechnen.
Nach dem Shell-Theorem (oder dem Gaußschen Gravitationsgesetz) ist die Feldstärke in einem Abstand $ r $ vom Mittelpunkt der Kugel gegeben durch
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
wobei $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ die Masse ist, die in einer Kugel mit dem Radius $ r $ eingeschlossen ist.
Das Gravitationspotentiel bei a Der durch diese Verteilung erzeugte Abstand $ r $ ist somit
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Die potentielle Energie der Selbstgravitation ist die Summe der Gravitationspotentielenergien $ U \ cdot dm $ über alle Massenelemente $ dm $ in der Verteilung.
Lassen Sie uns durch Schalenintegration fortfahren. Die in der Schale des inneren Radius $ r $, des äußeren Radius $ r + dr $ enthaltene Masse ist einfach
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Die potentielle Energie des Kugel ist also
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
, was genau die Hälfte der richtigen Antwort ist.
Ich habe meine Arbeit mehrmals auf einfache Fehler überprüft, aber ich kann die Quelle des Faktors $ 2 $ error nicht finden. Dies lässt mich glauben, dass etwas grundlegend falsch ist mit der Art und Weise, wie ich die Energie berechnet habe.
Wo liegt das Problem?
Kommentare
- In Ihrem MathJax haben Sie ' verwendet \ big für große Klammern, was ' nicht funktioniert. Verwenden Sie stattdessen Matching \ left und \ right. \ Big ist ein fester Wert Größe, während \ left und \ right automatisch auf die Größe skaliert werden, die für den eingeschlossenen Inhalt der Klammern erforderlich ist.
Antwort
Das Problem ist die Art und Weise, wie Sie Ihre Muscheln formen – unabhängig davon, ob sie von innerhalb oder außerhalb der vorherigen Muscheln kommen. Für die Bindungsenergie bedeutet dies die Energiemenge, die erforderlich wäre, um jede aufeinanderfolgende Hülle nacheinander bis ins Unendliche zu entfernen. Daher muss das Potential in Bezug auf die Unendlichkeit berechnet werden, nicht in Bezug auf den Ursprung. Ihr Ausdruck für Potenzial würde darauf hindeuten, dass jede Schale am Ursprung beginnt und sich durch die vorhandene Masse bis zu einem Radius $ r $ ausdehnt, anstatt sich von außen um einen bereits vorhandenen Kern zu vereinigen. Berechnen Sie also das Potential als
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Dies sollte den Faktor zwei auflösen.
Abgesehen von der Terminologie können wir uns auf das Konzept der Größe einigen Um ein Gefühl für das obige Integral zu bekommen, stellen wir uns ein einzelnes Teilchen vor, das durch die Gravitation der sich noch bildenden Kugel (mit) eingezogen wird Radius $ r $) statt einer Hülle. Wenn das Teilchen aus dem Unendlichen kommt, wird das Potential, das es fühlen wird, das übliche Newtonsche Gravitationspotential sein, bis es auf die Oberfläche des Balls trifft. Nun jedes kleine Stück Die Masse $ dm $ einer hinzugefügten Schale wird ebenfalls das gleiche Potenzial haben. Wir können uns die Schale als viele kleine Partikel vorstellen, die gleichzeitig aus allen Richtungen hereinkommen. Jedes Mal, wenn wir eine Schale auf diese Weise hinzufügen, wird $ r \ rechter Pfeil r + dr $, also erhöht sich $ M_ {enc} $ entsprechend, was wir im Integral berücksichtigen über $ r $. Dies steht im Gegensatz zu dem Integral mit den Grenzen $ [0, R] $ in der Frage, da ein solches Integral eher der Energiemenge entspricht, die erforderlich wäre, um Massenschalen vom Ursprung nach außen „aufzublasen“. Ein solcher Prozess würde erfordern, dass der Ball vollständig durchlässig ist, wenn sich die Schalen zur Oberfläche aufblasen, aber wenn dies der Fall wäre, würde der gesamte Ball aufgrund seiner mangelnden Steifheit sofort wieder auf sich selbst kollabieren.
Kommentare
- Ok. Zuerst weiß ich eigentlich nicht, ' welche Gravitationsbindungsenergie. Ich weiß nur, was potentielle Energie ist. Die Eigenpotentialenergie eines Massensystems $ m_1, … m_N $ ist die Summe von $ U_ {i, j} $ über alle Paare $ (i, j) $ mit $ i < j $ wobei $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ der Abstand zwischen den Massen $ m_i $ und $ m_j $ ist. Dies habe ich versucht zu berechnen.
- Zweitens macht Ihr Integral ' für mich keinen Sinn. $ M_ {enc} (r) $ sollte durch $ M_ {enc} (x) $ no ersetzt werden?
- Josh hat Recht: Sie haben die Bindungsenergie falsch definiert. In diesem Wikipedia-Artikel finden Sie die vollständige Berechnung: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Tatsächlich habe ich die potentielle Energie der Selbstgravitation berechnet, die nur das Negative der Bindungsenergie ist. Ich habe oben die Eigenpotentialenergie beschrieben, dh einfach die Energie der Massenverteilung aufgrund ihres eigenen Gravitationsfeldes.
- Ich habe die Antwort klarer formuliert, da sie nicht ' passt hier nicht in die Kommentare. Der wesentliche Unterschied zwischen unseren beiden Größen ist die Energiemenge, die erforderlich ist, um alle unendlich weit voneinander entfernten Massenstücke zu entfernen, im Vergleich zu der Energiemenge, die erforderlich ist, um zu verhindern, dass der Ball in sich zusammenfällt. Ersteres ist die Gravitationsbindungsenergie (aufgrund des Eigenpotentials), und letzteres ist eher ein Maß für die minimale Steifheit der betreffenden Materie.
Antwort
Es gibt Probleme bei der Berechnung des Potentials und bei der Berechnung der Gravitationsbindungsenergie.
Das Gravitationsfeld innerhalb der Kugel ist radial nach innen und von Größe $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Das Gravitationsfeld außerhalb der Kugel ist radial nach innen und von der Größe $ GM / r ^ 2 $.
Das Gravitationspotential ist die Arbeit pro Masseneinheit, die diese Masse von unendlich auf $ r $ bringt.
Das Potential bei einem Radius $ r $ innerhalb der Kugel ist $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r „^ 2} \ dr“ + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr „} {R ^ 3} \ dr“ $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Jedoch Dies ist nicht erforderlich , um die Bindungsenergie einer Kugel zu berechnen, da die Gravitationsbindungsenergie die Summe der Energien ist, die erforderlich sind, um Massenschalen von der Oberfläche einer Kugel bis ins Unendliche zu entfernen ( Stellen Sie sich vor, Sie ziehen Schichten von der Oberfläche ab, bis Sie das Zentrum erreichen.
Das Potential an der Oberfläche einer Kugel der Masse $ M „$ ist $ -GM“ / R „$, wobei die konstante Dichte $ \ rho = 3M „/ 4 \ pi R“ ^ 3 $. Somit ist $$ V (R „) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R“ ^ 2 $$ und die Bindungsenergie ist gleich zu $ V (R „) $ multipliziert mit der Masse einer Schale, $ dM = 4 \ pi R „^ 2 \ rho \ dR“ $, integriert über Massenschalen von Null bis zum endgültigen Radius des Sterns.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R „^ 2 \ 4 \ pi R“ ^ 2 \ rho \ dR „$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$