Was ist Frequenzauflösung?

Bearbeiten:

Ich habe festgestellt, dass meine Definition von " Frequenzauflösung " vollständig ist falsch (sowie die Frage von OP). Die Frequenzauflösung gibt an, wie ähnlich die Größe der Fensterfunktion im Frequenzraum der Dirac-Delta-Funktion ist. Dies liegt daran, dass das Produkt aus Fenster und Signal im Zeitbereich im Frequenzbereich gefaltet wird ( und eine Faltung mit der Dirac-Delta-Funktion ist eine Abtastung, die eine perfekte Frequenzauflösung ergeben würde. Je dicker die Hauptkeule (quantifiziert durch ihre Varianz) und je höher die Nebenkeulen, desto schlechter die Frequenzauflösung. Zusätzlich kann die Zeitauflösung als Varianz der Fensterfunktion im Zeitbereich quantifiziert werden.

Die Frequenzauflösung ist nicht Bin-Auflösung / Breite. Beachten Sie in der folgenden Grafik, dass die Keulen nicht näher kommen (Frequenzauflösung), obwohl die Bin-Breite abnimmt.

Credit: Dan Boschen

Die Frequenzauflösung ist eher eine Eigenschaft der Fourier-Transformation der Rechteckfunktion (dh der sinc-Funktion).

Wir müssen Fensterfunktionen verwenden, um mit Fourier-Transformationen arbeiten zu können (auch wenn wir theoretisch arbeiten). Infolgedessen arbeiten wir immer mit $ f (t) w (t) $ und nicht mit der Funktion $ f (t) ) $ selbst (hier $ w (t) $ ist eine rechteckige Funktion). Nach dem Faltungssatz ist die Fourier-Transformation einer Fensterfunktion immer eine Faltung von $ \ hat {f} $ mit $ \ hat {w} = $ sinc. Insbesondere wenn $ f $ sinusförmig ist, ist $ \ hat {f} $ eine Dirac-Delta-Funktion und Die Faltung ist nur eine Stichprobe einer Sinc-Funktion. Daher verlieren wir beim Fenstern regelmäßig Frequenzen vollständig. Die Periodizität dieses Verlusts ist die Frequenzauflösung .

Da die DTFT bei Fensterfunktionen eine periodische Annäherung an die CTFT ist, erhält sie auch diese Eigenschaften.

Die Verwirrung entsteht, weil wir der DFT keine Nullen auffüllen (dh nur) Beispiel $ f (t) w (t) $ wobei $ w (t) = 1 $ ), Die Bin-Breite entspricht der Frequenzauflösung.

Wir können jedoch auch Nullen auffüllen (dh auch abtasten $ f (t) w (t) $ wobei $ w (t) = 0 $ ) und dies dazu führt, dass der DTF die DTFT von $ f (t) w (t) $ . Konferieren Sie mit dem ersten Diagramm.

Um zu sehen, warum die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion eine echte Funktion ist Sehen Sie sich dieses Video an und betrachten Sie die Wicklung der Sinusfunktionen (obwohl dies ziemlich kompliziert ist)

Um das Beispiel von OP zu beantworten, lautet die Bin-Auflösung $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ wobei $ F_s = 2000 $ Hz die Abtastrate ist und $ N $ die DFT-Größe.

Die Frequenzauflösung entspricht der Bin-Auflösung, wenn wir nur im Fenster abtasten (kein Null-Padding).

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ wobei $ M $ ist die Anzahl der Samples im Fenster, $ T $ ist die Dauer des Samples und $ F_s = M / T $ .

Kommentare

• Schöne Antwort Tom.Um hinzuzufügen, wenn nicht klar, verwenden wir ' häufig kein rechteckiges Fenster, sondern andere Fenster, die sich verjüngen und dazu dienen, die Nebenkeulen auf Kosten der Verschlechterung erheblich zu verringern (den Dynamikbereich zu verbessern) Frequenzauflösung weiter. Eine meiner Lieblings-Klassiker zu diesem Thema und den Anwendungen der DFT im Allgemeinen ist Fred Harris. Ich denke, Sie ' werden es wirklich genießen, wenn Sie ' es noch nicht gesehen haben: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Schön, schade, dass ich ' nicht zweimal upvoten kann!
• @TomHuntington Wikipedia kennt anscheinend ' meine Formeln oder Techniken nicht. Ich habe immer noch Schwierigkeiten mit der Intrabin-Auflösung (aufgrund von Rauschen und der Empfindlichkeit der Gleichungen), aber nahe Frequenzen können durch iterative Schätzung und Entfernung aufgelöst werden. Wenn Sie den großen Ton entfernen, ist der kleinere schätzbar. Wenn Sie den kleinen Ton entfernen, erhalten Sie eine bessere Lesbarkeit für den großen. Und so weiter, auch bei mehreren Tönen. Jede Art von Fenster erschwert die Mathematik.
• Wenn Sie zwei Sinuskurven mit nahezu gleicher Amplitude, aber sehr enger Frequenz haben, können Sie das Beat-Phänomen im Zeitbereich verwenden. Die scheinbare Frequenz des Signals (durch Nulldurchgänge) ist der Durchschnitt der beiden Frequenzen, und die Frequenz der Hüllkurve (wenn Sie einen vollständigen Zyklus durchführen, z. B. zwei Keulen) ist die Hälfte der Differenz der Frequenzen.
• Außerdem definiert die Auflösung Ihre Präzision bei allem, was Sie messen. Es sagt nichts über Genauigkeit aus.

Hängt ein wenig davon ab, was Sie erreichen möchten.

Wenn Sie eine FFT mit der Länge $ N $ eines Signals ausführen, das mit einer Rate von $ F_s $ , dann würden viele Leute sagen, dass Ihre Frequenzauflösung $ \ frac {F_s} {N} $ ist. Ob dies korrekt ist oder nicht, hängt wirklich davon ab, wie genau Sie die Frequenzauflösung definieren und was Sie damit vorhaben.

Was wirklich passiert, ist, dass Sie eine Frequenzbereichsfunktion mit einer Abtastung abtasten Intervall von $ \ frac {F_s} {N} $ . Sobald Sie eine FFT-Größe auswählen, werden Sie in beiden Domänen mit den Stichprobenintervallen $ \ frac {1} {F_s} $ in der Zeit und $ \ frac {F_s} {N} $ in der Häufigkeit.

Frequenzbereichsabtastung hat dieselben Eigenschaften, Anforderungen und Probleme wie Zeitbereichsabtastung Wenn Sie ein Aliasing erhalten, können Sie interpolieren, es wird eine Periodizität in der anderen Domäne angenommen usw.

Durch einfaches Anwenden des Abtasttheorems könnten wir argumentieren, dass die zur vollständigen Charakterisierung eines Signals erforderliche Frequenzauflösung einfach die Umkehrung der ist Länge im Zeitbereich. Dies funktioniert gut für Signale, die von Natur aus zeitgebunden sind, wie z. B. die Impulsantwort eines LTI-Systems.

Für lange kontinuierliche Signale ist dies jedoch nicht praktikabel. In diesem Fall müssen Sie eine Frequenzauflösung auswählen, die für Ihre Anwendung „gut genug“ ist und die wirklich von den Anforderungen und dem Ziel Ihrer Anwendung abhängt bestimmte Anwendung.

Die Stichprobe wird durch $ {T} _ {s} gegeben. = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
Die Fensterlänge beträgt 1000 Samples.
Da die Fensterlänge gleich der Datenlänge sein muss, schließen wir, dass die Datenlänge 1000 Samples beträgt Dies bedeutet, dass die Abtastzeit $ 0,5 $ [Sek] ist.

Die Bin-Auflösung in DFT ist das Verhältnis zwischen dem Abtastintervall und der Anzahl von DFT-Beispiele, in diesem Fall 2000. Daher ist die Bin-Auflösung $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Die Binbreite der FFT oder die Auflösung der Repreantation, wie ich sie gerne nenne, ist Fs / N, wobei N die Größe der FFT ist. Die tatsächliche Auflösung hängt vom verwendeten Fenster und der Länge des Fensters ab.

Zum Beispiel: Ein rechteckiges Fenster bietet maximale Auflösung, aber weniger Dynamikbereich. Andere glattere Fenster bieten eine geringere Auflösung mit mehr Dynamikbereich oder unteren Nebenkeulen.