Was ist im einfachsten Sinne die Eichinvarianz?

Der Grund, warum es so schwer zu verstehen ist, was Physiker meinen, wenn sie über „Eichfreiheit“ sprechen, ist, dass es mindestens vier inäquivalente Definitionen gibt, die ich verwendet habe :

• Definition 1: Eine mathematische Theorie hat eine Messfreiheit, wenn einige der mathematischen Freiheitsgrade in dem Sinne „redundant“ sind, dass zwei verschiedene mathematische Ausdrücke genau dasselbe physikalische System beschreiben . Dann sind die redundanten (oder „messgeräteabhängigen“) Freiheitsgrade „unphysisch“ in dem Sinne, dass kein mögliches Experiment ihre Werte eindeutig bestimmen könnte, selbst im Prinzip. Ein berühmtes Beispiel ist die Gesamtphase eines Quantenzustands – sie ist völlig unermessbar und zwei Vektoren im Hilbert-Raum, die sich nur durch eine Gesamtphase unterscheiden, beschreiben genau denselben Zustand. Ein anderes Beispiel ist, wie Sie erwähnt haben, jede Art von Potential, das benötigt wird differenziert werden, um eine physikalische Größe zu erhalten – zum Beispiel eine potentielle Energiefunktion. (Obwohl einige Ihrer anderen Beispiele, wie die Temperatur, keine Beispiele für messgerätabhängige Größen sind, da es einen genau definierten physikalischen Sinn für die Nulltemperatur gibt.)

  Für physikalische Systeme, die durch mathematische Strukturen mit einer Messfreiheit beschrieben werden, ist der beste Weg, eine bestimmte physikalische Konfiguration mathematisch zu definieren, eine Äquivalenzklasse von Messgerät-abhängigen Funktionen, die sich nur in ihren Messfreiheitsgraden unterscheiden Beispielsweise wird in der Quantenmechanik ein physikalischer Zustand nicht tatsächlich durch einen einzelnen Vektor im Hilbert-Raum beschrieben, sondern durch eine Äquivalenzklasse von Vektoren, die sich durch einen gesamten skalaren Mul unterscheiden dreifach. Oder einfacher gesagt durch eine Linie von Vektoren im Hilbert-Raum. (Wenn Sie Lust haben möchten, wird der Raum der physikalischen Zustände als „projektiver Hilbert-Raum“ bezeichnet, dh als Satz von Linien im Hilbert-Raum, genauer gesagt als Version des Hilbert-Raums, in dem Vektoren identifiziert werden, wenn sie proportional sind zueinander.) Ich nehme an, Sie könnten auch „physikalische potentielle Energien“ als Sätze potentieller Energiefunktionen definieren, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden, obwohl dies in der Praxis eine Art Overkill ist. Diese Äquivalenzklassen entfernen die Eichfreiheit durch Konstruktion, und so sind „Eichinvarianten“.

  Manchmal (wenn auch nicht immer) gibt es eine einfache mathematische Operation, die alle redundanten Freiheitsgrade entfernt und alle physischen beibehält. Zum Beispiel kann man bei einer potentiellen Energie den Gradienten nehmen, um ein Kraftfeld zu erhalten, das direkt messbar ist.Und im Fall des klassischen E & M gibt es bestimmte lineare Kombinationen von partiellen Ableitungen, die die Potentiale auf direkt messbare $ {\ bf E} $ und $ {\ bf B} reduzieren $ Felder, ohne physische Informationen zu verlieren. Im Fall eines Vektors in einem Quanten-Hilbert-Raum gibt es jedoch keine einfache Ableitungsoperation, die die Phasenfreiheit aufhebt, ohne etwas anderes zu verlieren.

• Definition 2: Dasselbe als Definition 1, jedoch mit der zusätzlichen Anforderung, dass die redundanten Freiheitsgrade lokal sein müssen. Dies bedeutet, dass es eine Art mathematische Operation gibt, die von einer willkürlichen Glättung abhängt Funktion $ \ lambda (x) $ in der Raumzeit, die die physikalischen Freiheitsgrade (dh die physikalisch messbaren Größen) unveränderlich lässt. Das kanonische Beispiel ist natürlich, dass wenn Sie eine beliebige glatte Funktion $ \ lambda ( x) $, dann addiert man $ \ partielle_ \ mu \ lambda (x) $ zu dem elektromagnetischen Vierpotential $ A_ \ mu (x) $ und verlässt die physikalischen Größen ($ {\ bf E} $ und $ {\ bf B. } $ Felder) unverändert. (In der Feldtheorie wird die Anforderung, dass die „physikalischen Freiheitsgrade“ unverändert bleiben, so formuliert, dass die Lagrange-Dichte $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ unverändert bleiben muss , aber andere Formulierungen sind möglich.) Diese Definition ist eindeutig viel strenger – die oben in Definition 1 angegebenen Beispiele zählen unter dieser Definition nicht – und meistens , wenn Physiker von „Eichfreiheit“ sprechen. Dies ist die Definition, die sie bedeuten. In diesem Fall haben Sie nicht nur wenige redundante / unphysische Freiheitsgrade (wie die Gesamtkonstante für Ihre potenzielle Energie), sondern eine kontinuierlich unendliche Zahl. (Um die Sache noch verwirrender zu machen, verwenden einige Leute den Ausdruck „globale Eichensymmetrie“ im Sinne von Definition 1, um Dinge wie die globale Phasenfreiheit eines Quantenzustands zu beschreiben, was im Sinne der Definition eindeutig ein Widerspruch wäre 2.)

  Es stellt sich heraus, dass Sie, um dies in der Quantenfeldtheorie zu behandeln, Ihren Ansatz zur Quantisierung wesentlich ändern müssen (technisch gesehen müssen Sie „Ihr Pfadintegral messen“), um dies zu erreichen alle unphysischen Freiheitsgrade zu beseitigen. Wenn Menschen unter dieser Definition von „Eichinvarianten“ sprechen, meinen sie in der Praxis normalerweise die direkt physikalisch messbaren Ableitungen wie den elektromagnetischen Tensor $ F _ {\ mu \ nu} $, die bei jeder Eichentransformation unverändert bleiben („invariant“) . Technisch gesehen gibt es jedoch auch andere messgeräteinvariante Größen, z. eine einheitliche Quantenüberlagerung von $ A_ \ mu (x) + \ partiell_ \ mu \ lambda (x) $ über alle möglichen $ \ lambda (x) $ für ein bestimmtes $ A_ \ mu (x). $

  Eine ausführliche Erklärung dieses zweiten Sinns für Eichensymmetrie aus einer mathematischeren Perspektive finden Sie unter Terry Taos Blogpost .

• Definition 3: Ein Lagrange wird manchmal als „Eichensymmetrie“ bezeichnet, wenn eine Operation existiert, die von einer beliebigen stetigen Funktion der Raumzeit abhängt, die sie unveränderlich lässt, selbst wenn die Freiheitsgrade geändert werden > sind physikalisch messbar.

• Definition 4: Für eine „Gittermaßtheorie“, die für lokale Gitter-Hamiltonianer definiert ist, gibt es einen Operator, der auf jeder Gitterstelle unterstützt wird, die pendelt mit dem Hamilton-Operator. In einigen Fällen entspricht dieser Operator einer physikalisch messbaren Größe.

Die Fälle der Definitionen 3 und 4 sind konzeptionell etwas subtil, so dass ich nicht gehe in sie hier – ich kann sie in einer Folge ansprechen -up Frage, wenn jemand interessiert ist.

Update: Ich habe Follow-up-Antworten geschrieben in Bezug darauf, ob es einen Sinn gibt, in dem die Freiheitsgrade des Messgeräts in im Hamilton-Fall und der Fall Lagrange .

Kommentare

• Ausgezeichnete Antwort! Dies ist eine der besten Explantationen (an einem einzigen Ort), die ich bisher gesehen habe !!!! : D
• Ich habe die Folgefrage zu den Feinheiten zwischen # 3 und # 4 gestellt.
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Links zu meinen Follow-ups finden Sie im Update am Ende meiner Antwort.

Ich habe dies erst verstanden, nachdem ich eine Klasse in allgemeiner Relativitätstheorie (GR), Differentialgeometrie und Quantenfeldtheorie (QFT) belegt hatte. Die Essenz ist nur eine Änderung der Koordinatensysteme, die sich in der Ableitung widerspiegeln muss. Ich werde erklären, was ich meine.

Sie haben eine Theorie, die unter einer Symmetriegruppe invariant ist. In der Quantenelektrodynamik haben Sie also eine Lagrange-Dichte für die Fermionen (noch keine Photonen) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partielle_ \ mu – m] \ psi (x) \ ,. $$ Dieses $ \ bar \ psi $ ist nur $ \ psi ^ \ Dolch \ gamma ^ 0 $, wichtig ist, dass es komplex konjugiert ist.Die Tatsache, dass es sich um einen Vier-Vektor im Spin-Raum handelt, spielt hier keine Rolle. Was man jetzt tun kann, ist $ \ psi \ in \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ mit etwas $ \ alpha \ in \ mathbb R $ umzuwandeln. Dann ist $ \ bar \ psi \ bis \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ und der Lagrange ist invariant, da die Ableitung nicht auf die Exponentialfunktion einwirkt, sondern nur ein Phasenfaktor ist. Dort haben Sie eine globale Symmetrie.

Erhöhen Sie nun die Symmetrie auf eine lokale, warum nicht? Anstelle eines globalen $ \ alpha $ hat man jetzt $ \ alpha (x) $. Dies bedeutet, dass wir zu jedem Zeitpunkt in der Raumzeit ein anderes $ \ alpha $ auswählen. Das Problem ist, dass wenn wir jetzt transformieren, man das $ \ partielle_ \ mu \ alpha (x) $ mit den Ketten- und Produktregeln der Differenzierung aufnimmt. Das scheint zunächst eine technische Komplikation zu sein.

Es gibt eine aussagekräftigere Möglichkeit, dies zu sehen:
Sie nehmen eine Ableitung eines Feldes $ \ psi (x) $. Dies bedeutet, einen Differenzquotienten wie $$ \ partielle_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ bis 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) zu nehmen. } {\ epsilon} \ ,. $$ Dies funktioniert gut mit einer globalen Transformation. Bei der lokalen Transformation subtrahieren Sie jedoch grundsätzlich zwei Werte, die unterschiedlich gemessen werden. In der Differentialgeometrie haben Sie, dass die Tangentenräume an den verschiedenen Punkten des Verteilers unterschiedlich sind und man daher Vektoren nicht einfach anhand ihrer Komponenten vergleichen kann. Man benötigt eine Verbindung mit Verbindungskoeffizienten , um parallelen Transport bereitzustellen. Hier ist es ähnlich. Wir haben jetzt $ \ phi $ vom Leben auf $ \ mathbb R ^ 4 $ zum Leben im Bündel $ \ mathbb R ^ 4 \ mal S ^ 1 $ befördert, da wir eine U (1) -Gruppe haben. Daher benötigen wir eine Verbindung, um das transformierte $ \ phi $ von $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ nach $ x $ zu transportieren. Hier muss eine Verbindung eingeführt werden, die $$ \ partielle_ \ mu \ zu \ mathrm D_ \ mu: = \ partielle_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \ ,. $$

If Sie stecken das in die Lagrange-Dichte, um es zu $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ zu machen, und wählen dann $ A_ \ mu = \ partielle_ \ mu \ alpha $ Sie werden sehen, dass die Lagrange-Dichte auch bei lokalen Transformationen unveränderlich bleibt, da der Verbindungskoeffizient nur den unerwünschten Term von der Produkt- / Kettenregel subtrahiert.

In der allgemeinen Relativitätstheorie haben Sie die Symmetrie unter willkürlichem Diffeomorphismus. Der Preis ist, dass Sie die Ableitung in eine Verbindung ändern müssen, $$ \ partiell \ zu \ nabla: = \ partiell + \ Gamma + \ cdots \ ,. $$

Da Sie erwähnt haben, dass Sie einen mathematischen Hintergrund haben, ist es möglicherweise hilfreich, eine Antwort in Bezug auf Äquivalenzklassen zu nehmen.

Eine Eichentheorie ist eine physikalische Theorie, bei der die beobachtbaren Größen, wie in Dingen, die Sie mit einem Experiment mit perfekter Messausrüstung messen könnten, Äquivalenzklassen in einem Vektorraum sind.

Elektromagnitismus ist das häufigste Beispiel. Moderne physikalische Theorien werden immer als Faserbündel geschrieben, bei denen die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit die Raumzeit ist und die Fasern einen Tangentenraum darstellen, der jedem Punkt (Ereignis genannt) in der Raumzeit zugeordnet ist. E & M im freien Speicherplatz (keine Gebühren vorhanden) wird beschrieben, indem jedem Raumzeitpunkt $ x $ ein 4-Komponenten-Objekt mit dem Namen $ A _ {\ mu} $ zugeordnet wird und $ benötigt wird A _ {\ mu} (x) $, um die Maxwell-Gleichungen zu erfüllen.

Die beobachtbaren, gleichermaßen messbaren Größen in der Natur sind jedoch die elektrischen und magnetischen Felder $ \ vec {E} (x). $ und $ \ vec {B} (x) $. Diese werden von $ A _ {\ mu} (x) $ unter Verwendung der Definition abgeleitet, die in diesem -Wiki angegeben ist (Sehen Sie sich die Matrixelemente von $ F _ {\ mu \ nu} (x) $ an.)

Es stellt sich heraus, dass die Transformation $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partielle _ {\ mu} f (x) $ für jede doppelt differenzierbare Funktion $ f (x) $ ergibt die gleichen Werte der beobachtbaren Felder $ \ vec {E} (x) $ und $ \ vec {B. } (x) $. Es gibt also eine Äquivalenzbeziehung

$ A _ {\ mu} (x) \ ca. A _ {\ mu} (x) + \ partielle _ {\ mu} f (x) $ .

Und im Allgemeinen sind Eichentheorien Theorien, bei denen die beobachtbaren Größen Funktionen von Äquivalenzklassen einiger Vektoren in einem Vektorraum sind In diesem Fall waren unsere Vektoren $ A _ {\ mu} (x) $ (dies sind Vektoren im Funktionsraum von doppelt differenzierbaren Funktionen zur Raumzeit), und unsere Äquivalenzbeziehung wurde oben angegeben.

Bezüglich Ihres Finales Die Frage, ob Dinge wie die Gesamtenergie des Systems nur bis zu einem konstanten Faktor in einem Referenzrahmen bestimmt werden, macht die Newtonsche Dynamik zu einer Eichentheorie. Die Antwort ist nein, nicht wirklich. Wenn Sie nicht über eine Feldtheorie sprechen, wird ein Physiker das Ding grundsätzlich nicht als Eichentheorie bezeichnen.

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• Schöne Antwort, aber vielleicht wäre es genauer zu sagen, dass Observable in einer Eichentheorie Funktionen für eine Reihe von Äquivalenzklassen von sind [Dinge wie Verbindungen und Bündelabschnitte] Mod-Messgerät-Äquivalenz.Die Frustration der Eichentheorie besteht darin, dass wir ‚ nicht viele Fälle kennen, in denen wir diese Funktionen beschreiben können, außer indem wir Funktionen für die Verbindungen und Abschnitte angeben.
• Du hast recht, meine Sprache ist ein bisschen schlampig. Es sollte so etwas wie “ lauten. Observable sind Funktionen für die Äquivalenzklassen eines Vektorraums. “

Die Eichinvarianz ist einfach eine Redundanz in der Beschreibung eines physischen Systems. Das heißt, Wir können aus einer unendlichen Anzahl von Vektorpotentialen in E & M wählen.

Zum Beispiel kann eine unendliche Anzahl von Vektorpotentialen den Elektromagnetismus durch die folgende Transformation beschreiben

$$ A (x) \ bis A_ \ mu (x) + \ Partial_ \ mu \ alpha (x) $$

Die Auswahl eines bestimmten Messgeräts (Messgerätfixierung) kann das Lösen erleichtern Ein physikalisches Problem, das viel einfacher ist, als wenn Sie kein Messgerät reparieren würden.

Normalerweise wählt man das Coulomb-Messgerät: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Es sollte Seien Sie betont, dass die Eichinvarianz KEINE Symmetrie der Natur ist und Sie nichts damit messen können.

Die Eichinvarianz ist in der Quantenfeldtheorie am nützlichsten und entscheidend für den Nachweis der Renormierbarkeit. Zusätzlich erfordern S-Matrix-Elemente in QFT eine lokale Lagrange- und damit Eichinvarianz.

Als Beispiel dafür, warum wir das Vektorpotential $ A ^ \ mu $ einführen würden, betrachten wir den Aharonov-Bohm-Effekt, der aufgrund von entsteht globale topologische Eigenschaften des Vektorpotentials. Es gibt noch andere Gründe, warum die Eichinvarianz das Leben leichter macht und die Freiheitsgrade des Photons in der sogenannten Kovariante oder der $ R_ \ xi $ -Messung, der Kausalität usw. verringert. Im Wesentlichen wird die Nützlichkeit der Eichinvarianz erst dann ganz offensichtlich, wenn man es versucht Quantenfeldtheorie durcharbeiten. : D

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• @ user122066 Wenn Sie später nach einem Symbol suchen müssen, lesen Sie diese tex.SE Frage . In MathJax werden jedoch nur bestimmte (La) TeX-Befehle unterstützt. Eine Liste finden Sie unter in der MathJax-Dokumentation .
• Überprüfen Sie Folgendes, um alle MathJax-Referenzen zu erhalten: Grundlegendes Tutorial und Kurzreferenz zu MathJax
• @ user122066: Sie haben geschrieben: “ Jetzt ist es eine äußerst wichtige Eigenschaft der modernen Physik und Ohne sie könnten wir sehr gut verloren sein! “ Ich denke, Sie übertreiben hier und das macht einen solchen Satz aus “ erschreckend „. Es gibt keinen Beweis dafür, dass wir nur mit “ Eichentheorien “ arbeiten dürfen. Andere Ansätze sind einfach unerforscht.
• @VladimirKalitvianski fair genug. Es gibt Rekursionsbeziehungen in Bezug auf die S-Matrix, die Messgeräte vermeiden, aber ‚ ist sehr schwer vorstellbar, dass etwas entdeckt wird, das die Konputation einfacher macht als die Messgeräteinvarianz. Du hast aber absolut recht. Ich lösche diesen Teil
• (auch nützlich für die Suche nach TeX-Symbolen – Detexify .)

Diese Berechnungen hängen sehr oft nur von der Differenz zwischen zwei Werten ab, nicht von den konkreten Werten selbst . Es steht Ihnen daher frei, eine Null nach Ihren Wünschen zu wählen. Ist dies ein Beispiel für eine Eichinvarianz im gleichen Sinne wie die obigen Beispiele für Absolventen?

Ja, in der allgemeinsten Definition der Eichinvarianz ist dies tatsächlich der Fall. Es ist das, was Physiker eine globale Eichinvarianz nennen. Mehr dazu weiter unten.

Wenn ich eine Antwort mit einem Satz auf Ihren Titel schreiben müsste, wäre dies:

Die Eichinvarianz ist die genaue Definition des physikalischen Gesetzes unter einer Quotentkarte, die eine Konfiguration / einen Parameterraum / Koordinaten für ein physikalisches System zu einer Reihe von Äquivalenzklassen physikalisch äquivalenter Konfigurationen zusammenfasst.

Dies ist in dem gleichen Sinne, in dem beispielsweise das Nebenprodukt unter der Karte gut definiert ist, die die normale Untergruppe einer Gruppe entfernt. Die Physik einer Konfiguration ist unabhängig von der Wahl des Äquivalenzklassenmitglieds .

Im Grunde genommen ist die Eichinvarianz lediglich eine Behauptung, dass in einer mathematischen Beschreibung eines physikalischen Systems Redundanz vorhanden ist. Andernfalls hat das System eine Symmetrie , eine Invarianz in Bezug auf eine Gruppe von Transformationen.

Eine globale Eichensymmetrie ist eine, in der der Konfigurationsraum liegt ist ein einfaches kartesisches Produkt ( dh ein triviales Faserbündel) aus dem Satz physikalisch unterschiedlicher Äquivalenzklassen und einem redundanten Parameter, wie beispielsweise bei Ihrer Differenz zwischen zwei Werten. Wenn die physikalische Beschreibung eine Lagrange-Beschreibung ist, dann tritt hier der Satz von Noether in den Vordergrund und identifiziert konservierte Größen, eine für jeden solchen redundanten Parameter.Die Eichgruppe, d. H. Die Gruppe der Symmetrien, beeinflusst alle Äquivalenzklassen (Fasern) gleichermaßen. Die Subtraktion eines konstanten Potentials von einem elektrostatischen Potential ist eine solche Symmetrie und ein großer Fortschritt für Corvid Civilization, da Krähen auf Hochspannungsleitungen sitzen und glücklich zusammen die Brise schießen, ihre neuesten Gedanken zu Eichentheorien diskutieren und erklären können, dass “ Nimmermehr!“ Wenn wir befürchten, dass die globale Addition von 22 kV zum elektrostatischen Potential die Physik des Systems, zu dem wir gehören, verändern kann.

Wenn Physiker jedoch normalerweise von einer Eichentheorie sprechen, meinen sie eine, bei der die Symmetriegruppe wirken kann allgemeiner ausgedrückt, wobei an jedem Punkt des Konfigurationsraums ein anderes Gruppenmitglied fungiert. Das entsprechende Faserbündel ist nicht mehr trivial. Obwohl Sie ein einfacheres Beispiel als die Elektrodynamik wollten, glaube ich nicht, dass es eines gibt. Die der Elektronenwellenfunktion hinzugefügte Phase kann eine beliebige glatte Funktion von Koordinaten sein, und die zusätzlichen Terme, die sich aus der Leibniz-Regel ergeben, gelten für die Derivate in Die Bewegungsgleichung der Wellenfunktion (Dirac, Schrödinger) wird genau in den geschlossenen Teil der EM-Potential-Einform aufgenommen. Nebenbei bemerkt visualisiere ich übrigens immer gerne das EM-Potenzial im Fourier-Raum, was wir mit vernünftigen Einschränkungen tun können ( zB ein Postulat, dass wir zum Beispiel nur an temperierte Verteilungen denken werden). , weil der räumliche Teil des redundanten Teils des Vierpotentials dann seine Komponente entlang des Wellenvektors ist ( dh als 3-Vektor gedacht) und nur die zum Wellenvektor normale Komponente physikalisch von Bedeutung ist: Es ist der einzige Teil, der $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $ überlebt.

Ich glaube, Sie sollten dem EM-Beispiel zwei Dinge entnehmen:

1. Obwohl dies praktisch zu einer gewissen weiteren Komplexität führt, ist es konzeptionell nur ein kleiner Sprung von Ihrem einfachen symmetrischen Beispiel für globale Messgeräte. Wir lassen einfach zu, dass die Symmetrien lokal wirken, anstatt auf alle Konfigurationsraumpunkte zu wirken gleichermaßen;

2. Ausgehend vom experimentell realen Elektromagnetismus postulieren wir, dass diese Eichinvarianz m Dies könnte allgemeiner relevant sein, und so betrachten wir seine Präsenz in anderen physikalischen Phänomenen. Dies ist nichts weiter als eine Tat, die von einer Ahnung motiviert ist. Experimentell stellen wir fest, dass dies eine fruchtbare Sache ist. In der Physik gibt es keinen tieferen Einblick als experimentelle Ergebnisse.

Abschließend möchte ich erwähnen, dass Mess- / Faserbündelbegriffe auch nützlich sind, wenn wir künstlich Äquivalenzklassen von Konfigurationen deklarieren, die auf den Anforderungen unseres Problems basieren , selbst wenn es einen physischen Unterschied zwischen Äquivalenzklassenmitgliedern gibt. Eines der schönsten Beispiele für diese Denkweise ist Montgomerys „Eichentheorie der fallenden Katze“ . Wir untersuchen Äquivalenzklassen der Katzenkonfiguration, die äquivalent modulo sind Die richtige euklidische Isometrie zur Formulierung eines Katzenformraums , der sich bei der Standardbehandlung, bei der die Katze als zweiteiliger Roboter mit verdrehungsfreiem Kugelgelenk betrachtet wird, als der herausstellt reale projektive Ebene $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Der gesamte Konfigurationsraum ist dann ein Faserbündel mit dem Formraum $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ als Basis und der Gruppe $ SO (3) $, die Orientierungen als Faser definiert Die Katze kann kippen, während der Drehimpuls durch zyklische Verformungen ihrer eigenen Form erhalten bleibt, und zwar aufgrund der Krümmung der Verbindung, die sich aus dem Begriff des parallelen Transports ergibt, der durch die Erhaltung des Drehimpulses impliziert wird.

Hier ist das elementarste Beispiel für eine Eichsymmetrie, die mir einfällt.

Angenommen, Sie möchten t o Besprechen Sie einige Ameisen , die auf einer Möbius-Band herumlaufen. Um die Positionen der Ameisen zu beschreiben, können Sie sich vorstellen, das Band entlang seiner Breite zu schneiden, damit es zu einem Rechteck wird. Dann können Sie mir sagen, wo sich eine Ameise befindet, indem Sie mir drei Dinge sagen:

• Ihre Breite – ihre Position entlang der Breite des Rechtecks.
• Ihre Länge – ihre Position entlang der Länge des Rechtecks.
• Ihre Ausrichtung – ob sie sich an die Ober- oder Unterseite des Rechtecks klammert.

Die Bedeutung der Länge hängt von der Position von ab dieser imaginäre Schnitt. Wenn Sie den Schnitt verschieben, ändern sich alle Längen der Ameisen. Es kann keinen physischen Grund geben, einen Schnitt einem anderen vorzuziehen, da Sie das Band entlang seiner Länge schieben können, ohne seine Form zu ändern oder das Verhalten der Ameisen zu beeinflussen Wörter, es kann keinen physikalisch bedeutsamen Begriff der absoluten Länge geben, da das Band eine Translationssymmetrie hat.

Ebenso hängt die Bedeutung der Orientierung davon ab, wie Sie die Oberflächen beschriften des Rechtecks als oben und unten.Es kann keinen physischen Grund geben, eine Beschriftung einer anderen vorzuziehen, da Sie die beiden Oberflächen des Bandes austauschen können, ohne seine Form zu ändern oder das Verhalten der Ameisen zu beeinflussen. Dieser Austausch ist ein Beispiel für eine Eichensymmetrie . Es hat einige auffällige Merkmale, die gewöhnliche Symmetrien nicht gemeinsam haben. Schauen wir uns eines davon an.

Für jede Symmetrie einer Situation gibt es einen Aspekt der Situation Das kann auf verschiedene Arten beschrieben werden, ohne physische Gründe für die Wahl zwischen ihnen. Manchmal ist es jedoch nützlich, eine Wahl zu treffen und dabei zu bleiben, obwohl die Wahl physikalisch bedeutungslos ist. In Diskussionen über Menschen, die zum Beispiel auf der Erdoberfläche herumsegeln, definiert so ziemlich jeder, den ich kenne, den Längengrad anhand eines Schnitts, der durch Greenwich, London, führt, hauptsächlich weil einige Menschen wer dort lebte, übernahm die Welt und druckte viele Seekarten.

Wenn wir auf einem gewöhnlichen zylindrischen Band Ameisen beobachtet hätten, hätten wir uns auf einen Begriff der Orientierung festlegen können genauso leicht. Wir würden eine Seite der Band türkis für „oben“ und die andere Seite blau für „unten“ streichen, und das wäre das. Bei einer Möbius-Band sind die Dinge komplizierter, weil eine Möbius-Band nur eine Seite hat! Wenn Sie versuchen, eine Oberfläche türkis und die gegenüberliegende Oberfläche blau zu malen. Beginnen Sie in einem kleinen Bereich des Bandes und bewegen Sie sich nach außen. Die türkisfarbenen und blauen Bereiche kollidieren unweigerlich. (In unserer früheren Diskussion war die Kollision entlang des Längengrads verborgen.)

In einer Situation mit einer gewöhnlichen Symmetrie, wie einer Übersetzungssymmetrie, können Sie nicht zwischen möglichen Beschreibungen auf eine Weise wählen, die physikalisch sinnvoll ist. In einer Situation mit einer Eichsymmetrie sind Sie möglicherweise nicht einmal in der Lage, zwischen möglichen Beschreibungen auf eine Weise zu wählen, die global konsistent ist! Sie können jedoch jederzeit konsistente Beschreibungen in kleinen Regionen des Raums auswählen. Aus diesem Grund werden Eichsymmetrien oft als lokale Symmetrien bezeichnet.

Nachdem ich versucht habe, eine lange, elementare Beschreibung der Eichsymmetrie zu erstellen, möchte ich auch anbieten eine kurze, raffinierte. In unseren einfachsten physikalischen Modellen finden Ereignisse auf einer glatten Mannigfaltigkeit statt, die als Raum oder Raumzeit bezeichnet wird. Eine gewöhnliche Symmetrie ist ein Diffeomorphismus der Raumzeit, der die physikalische Möglichkeit von Ereignissen bewahrt. In anspruchsvolleren Modellen finden Ereignisse über die Raumzeit auf einem Faserbündel statt. Eine Eichsymmetrie ist ein Automorphismus des Faserbündels, der die physikalische Möglichkeit von Ereignissen bewahrt.

In unserem elementaren Beispiel spielt das Möbius-Band die Rolle des Raums, und die Ameisen laufen in den Bändern herum Orientierungsbündel Das Orientierungsbündel hat einen Automorphismus, der die beiden Oberflächen des Bandes austauscht.

Im klassischen Elektromagnetismus spielt die Minkowski-Raumzeit oder eine andere Lorentzsche Mannigfaltigkeit die Rolle der Raumzeit, und das elektromagnetische Feld wird durch a dargestellt Verbindung auf einem Kreisbündel über die Raumzeit. Im Bild Kaluza-Klein bewegen sich geladene Teilchen im Kreisbündel und fliegen in geraden Linien, deren „Schatten“ in der Raumzeit sind die spiralförmigen Pfade, die wir sehen. Das Kreisbündel hat eine Familie von Automorphismen, die die Kreisfasern drehen, die Leute als $ \ operatorname {U} (1) $ Gauge-Symmetrie bezeichnen. Dieses Bild verallgemeinert auf alle klassischen Yang-Mills-Theorien.

In Das Palatini-Bild der allgemeinen Relativitätstheorie, eine glatte $ 4 $ -dimensionale Mannigfaltigkeit spielt die Rolle der Raumzeit, und das Gravitationsfeld wird durch einen $ \ operatorname {SO} dargestellt. (3,1) $ Verbindung am Rahmenbündel des Verteilers. Ich vermute, dass die von Ihnen erwähnten Eichsymmetrien der linearisierten Schwerkraft Automorphismen des Rahmenbündels sind.

In Einsteins Bild der allgemeinen Relativitätstheorie sind die Symmetrien Diffeomorphismen der Raumzeit. Ich klassifiziere diese eher als gewöhnliche Symmetrien Wie tparker erwähnt , verwendet jedoch nicht jeder den Begriff „Messsymmetrie“ auf die gleiche Weise.

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Eichentheorien beschreiben die Konnektivität von ein Raum mit kleinen, symmetrischen zusätzlichen Dimensionen

Beginnen Sie mit einem unendlichen Zylinder (dem direkten Produkt einer Linie und eines kleinen Kreises). Der Zylinder kann gedreht werden. Um Konzepte, die ich zu erklären versuche, nicht anzusprechen, sage ich nur, dass der Zylinder aus Drahtgeflecht besteht: gleichmäßig verteilte Kreise, die an über die gesamte Länge verlaufende Drähte gelötet sind. Die langen Drähte können sich als Einheit drehen, wodurch zwischen jedem Paar benachbarter Kreise eine Winkeldrehung entsteht. Es ist klar, dass eine solche Konfiguration kontinuierlich in eine andere verformt werden kann: Alle diese Zylinder sind aus der Perspektive der sprichwörtlichen Ameise, die auf ihnen kriecht, gleichwertig.

Ersetzen Sie die Linie durch eine geschlossene Schleife, sodass das Produkt ein Torus ist (und stellen Sie sich den Torus als einen Netzkrapfen vor, obwohl eine solche Variation der Ebene der kleinen Kreise die Analogie technisch bricht). Jeder Teil des Donuts, dem das Ganze fehlt, kann in den gleichen Teil eines anderen Donuts verformt werden, aber die Donuts als Ganzes können manchmal nicht „sein“, da die Nettodrehung um den Donut nicht verändert werden kann. Die Klassen äquivalenter Donuts sind vollständig durch diese Nettodrehung gekennzeichnet, die von Natur aus nicht lokal ist.

Ersetzen Sie die Schleife (nicht den kleinen Kreis) durch einen Verteiler mit zwei oder mehr Dimensionen. Es ist wahr, aber nicht offensichtlich, dass der physische Teil der Verbindung vollständig durch die integrierte Drehung um alle geschlossenen Schleifen gegeben ist ( Wilson-Schleifen ).

$ A $ und $ F $ quantifizieren die Konnektivität

Im diskreten Fall kann die Verbindung am einfachsten beschrieben werden, indem die Verdrehung zwischen benachbarten Kreisen angegeben wird. In der Kontinuumsgrenze wird dies zu a „Verdrehungsgradient“ an jedem Kreis. Dies ist $ A_ \ mu $, das sogenannte Vektorpotential.

Jede kontinuierliche Verformung kann durch ein Skalarfeld $ \ phi $ beschrieben werden, das den Betrag darstellt, den jeder Kreis hat ist verdreht (relativ zu dem, wo es vorher war). Dies ändert $ A_ \ mu $ um den Gradienten von $ \ phi $, ändert jedoch keine physikalische Größe (Schleifenintegral).

Die Beschreibung in Begriffe von Wilson-Schleifen, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, sind eleganter, da sie nur physikalisch bedeutsame Größen enthalten, aber nicht lokal und hochredundant sind. Wenn der Raum einfach verbunden ist, können Sie dies vermeiden die r Edundanz und Nichtlokalität durch Angabe der Verdrehung nur um Differentialschleifen, da daraus größere Schleifen aufgebaut werden können. Der sogenannte Feldtensor, $ \ Partial_ \ Nu A_ \ Mu – \ Partial_ \ Mu A_ \ Nu = F _ {\ Mu \ Nu} $, gibt Ihnen genau das.

(Wenn der Raum ist Nicht einfach verbunden, können Sie trotzdem mit den Differentialschleifen plus einer Nettodrehung für jedes Element eines Generatorsatzes der Grundgruppe davonkommen. Der Torus war natürlich Ein einfaches Beispiel hierfür.)

Die Kraft kommt vom Aharonov-Bohm-Effekt.

Betrachten Sie ein Skalarfeld, das über den gesamten Raum definiert ist (im Gegensatz zu den früheren Feldern nimmt dieses Feld einen Wert an an jedem Punkt auf jedem Kreis). Das Feld ist überall Null, mit Ausnahme von zwei schmalen Strahlen, die von einem Punkt abweichen und woanders wieder zusammenlaufen. (Vielleicht werden sie von Spiegeln reflektiert; vielleicht ist der Raum positiv gekrümmt; es spielt keine Rolle.)

Wenn das Feld nicht über die Kreise konstant ist, hängt das Interferenzverhalten der Strahlen von der Differenz ab in der Wendung entlang der beiden Wege. Dieser Unterschied ist nur das Integral um die durch die Pfade gebildete geschlossene Schleife.

Dies ist der (verallgemeinerte) Aharonov-Bohm-Effekt. Wenn Sie es auf unterschiedlich unterschiedliche Pfade beschränken und $ F _ {\ mu \ nu} $ verwenden, um die Auswirkung auf die Interferenz zu berechnen, erhalten Sie das Gesetz der elektromagnetischen Kraft.

Sie können das Feld in Fourier-Komponenten zerlegen. Das Fourier-Spektrum ist in der kleinen Dimension diskret. Die nullte (konstante) Harmonische wird durch die Verdrehung nicht beeinflusst. Die zweite Harmonische ist doppelt so stark betroffen wie die erste. Dies sind die elektrischen Ladungen.

In der Realität scheinen aus unbekannten Gründen nur bestimmte extradimensionale Harmonische zu existieren. Wenn nur die erste Harmonische existiert, gibt es eine äquivalente Beschreibung des Feldes als einzelne komplexe Amplitude + Phase an jedem Punkt der großen Dimensionen. Die Phase ist relativ zu einem beliebigen lokalen Nullpunkt, der auch vom Vektorpotential verwendet wird. Wenn Sie die Phase mit der Phase an einem nahe gelegenen Punkt vergleichen und eine Vektorpotentialverdrehung von $ \ mathrm d \ theta $ zwischen ihnen besteht, müssen Sie den Feldwert um $ i \, \ mathrm d \ theta $ anpassen Dies ist der Ursprung des kovarianten Derivats .

Kreise verallgemeinern sich auf andere Formen

Wenn Sie das ersetzen Kreise mit 2 Kugeln erhalten Sie eine $ \ mathrm {SU} (2) $ -Theorie. Sie ist numerisch unangenehmer: Die Symmetriegruppe ist nicht kommutativ, daher müssen Sie die Maschinerie der Lie-Algebra einbringen. Geometrisch jedoch nichts Vieles hat sich geändert. Die Konnektivität wird immer noch durch eine Netto-Drehung um Schleifen beschrieben.

Ein unglücklicher Unterschied besteht darin, dass die Beschreibung der Ladung als extra-dimensionale Harmoni bezeichnet wird cs funktioniert nicht mehr ganz. Sphärische Harmonische geben nur die Ganzzahl-Spin-Darstellungen an, und alle bekannten Partikel befinden sich in den Spin-0- oder Spin-½-Darstellungen des Standardmodells $ \ mathrm {SU} (2) $, also die Partikel, die von $ betroffen sind \ mathrm {SU} (2) $ force kann überhaupt nicht auf diese Weise beschrieben werden. Es kann eine Möglichkeit geben, dieses Problem mit einem exotischeren Feldtyp zu umgehen.

Ich kann nichts Aufschlussreiches über den Teil $ \ mathrm {SU} (3) $ der Standardmodell-Messgruppe sagen, außer darauf hinzuweisen, dass die gesamte SM-Messgruppe in $ \ mathrm {Spin} (10) $ , und ich denke, es ist einfacher, eine 9-Kugel als eine Form mit $ \ mathrm {SU} (3) $ zu visualisieren Symmetrie.

Allgemeine Relativitätstheorie ist ähnlich

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist der Riemann-Krümmungstensor analog zum Feldtensor und repräsentiert die Winkeldrehung eines Vektors, der um eine Differentialschleife transportiert wird Der Aharonov-Bohm-Effekt ist analog zum Winkeldefizit um eine kosmische Kette . Kaluza-Klein-Theorie bezog sich ursprünglich auf einen bestimmten Weg, um Elektromagnetismus aus der allgemeinen Relativitätstheorie in fünf Dimensionen zu erhalten, und bezieht sich jetzt häufig auf die allgemeine Idee, dass die Messkräfte des Standardmodells und die allgemeine Relativitätstheorie wahrscheinlich unterschiedliche Aspekte derselben Sache sind.

In der klassischen Elektrodynamik (CED) bedeutet die Invarianz des Messgeräts die Unabhängigkeit der elektrischen und magnetischen Felder von einer bestimmten „Wahl“ der Potentiale $ \ varphi $ und $ \ bf {A} $. Die Gleichung für Potentiale hängt natürlich von der speziellen Wahl des „Messgeräts“ ab und gibt unterschiedliche Lösungen für unterschiedliche Messgeräte.

In QM und QED bedeutet die Messgerätinvarianz auch „Invarianz“ des Form der Gleichungen (die Lösungen sind immer noch unterschiedlich, aber physikalisch äquivalent).

Aber man sollte bleiben Beachten Sie, dass jede hilfreiche Variablenänderung auch akzeptabel ist, wenn die entsprechenden Ergebnisse physikalisch gleich bleiben. Dafür sollte die Form der Gleichungen überhaupt nicht obligatorisch „invariant“ sein.