Auf der Hilfeseite von FindRoot heißt es:
„Standardmäßig verwendet FindRoot die Newton-Methode (Newton-Raphson), um ein nichtlineares System zu lösen.“
(oder eine nichtlineare Gleichung, nehme ich an). Trotzdem ist im Befehl FindRoot etwas für mich verborgen. Betrachten Sie die Funktion
f[x]:=Exp[1 - x] - 1, dessen Newton-Iterationsfunktion
Nf[x_]:=E^(-1 + x) (-1 + E^(1 - x)) + x Iterieren mit dieser Funktion unter Verwendung von NestList erhalten Sie die nach Newtons Methode erzeugte Folge von Werten. Die Newton-Methode für große Werte der anfänglichen Schätzung stellt eine langsame Konvergenz für dieses Problem dar. Wenn wir $ x_0 = 10 $ nehmen, erhalten wir:
NestList[Nf, 10., 8] (* {10., -8092.08, -8091.08, -8090.08, -8089.08, -8088.08, -8087.08, -8086.08, -8085.08} *) , wo wir das sehen können langsame Konvergenz. Ein Diagramm der Funktion Nf[x] hilft, das Verhalten der Methode zu verstehen. Wenn Sie jedoch
Module[{s = 0, e = 0}, {FindRoot[f[x], {x, 10.}, StepMonitor :> s++, EvaluationMonitor :> e++], "Steps" -> s, "Evaluations" -> e}] verwenden, wird
{{x -> 1.}, "Steps" -> 7, "Evaluations" -> 11} benötigt, um nur 7 Schritte zu erhalten, um die Lösung $ zu erhalten x = 1 $. Warum erzeugt FindRoot dieses Ergebnis? Offensichtlich verwendet FindRoot nicht die Standardmethode von Newton, nicht wahr? Kann mir jemand helfen? Vielen Dank.
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Antwort
Standardmäßig FindRoot verwendet die "LineSearch" Methode zur Schrittsteuerung, wie im Tutorial tutorial/UnconstrainedOptimizationLineSearchMethods . Die Standardeinstellungen sind
FindRoot[Exp[1 - x] - 1, {x, 10.}, Method -> {"Newton", "StepControl" -> {"LineSearch", "CurvatureFactor" -> Automatic, "DecreaseFactor" -> 1/10000, "MaxRelativeStepSize" -> 10, Method -> Automatic}}] Um Newtons Methode mehr oder weniger genau zu erhalten, verwenden Sie keine Schrittsteuerung. FindRoot begrenzt weiterhin die maximale Schrittgröße (der erste Schritt im folgenden Fall wird auf x == -100. abgeschnitten):
Module[{s = 0, e = 0}, {FindRoot[Exp[1 - x] - 1, {x, 10.}, Method -> {"Newton", "StepControl" -> None}, StepMonitor :> s++, EvaluationMonitor :> e++], "Steps" -> s, "Evaluations" -> e}] FindRoot :: cvmit: Konvergenz der angeforderten Genauigkeit oder Präzision innerhalb von 100 Iterationen fehlgeschlagen. >>
(* {{x -> -1.07713}, "Steps" -> 100, "Evaluations" -> 101} *) Sie können die Optionen
StepMonitor :> Print[{x}], EvaluationMonitor :> Print[x] verwenden, um die Schritte und Bewertungen zu überwachen. Oder Sie können Verwenden Sie FindRootPlot im Paket "Optimization`UnconstrainedProblems`". (Achten Sie sorgfältig auf die gelben Punkte, die eine Bewertung kennzeichnen, die kein Schritt ist.)
Needs["Optimization`UnconstrainedProblems`"] FindRootPlot[Exp[1 - x] - 1, {x, 10.}, PlotRange -> All] 
FindRootPlot[Exp[1 - x] - 1, {x, 10.}, Method -> {"Newton", "StepControl" -> None}, PlotRange -> All] 
Kommentare
- Anders ausgedrückt:
FindRoot[]verwendet eine gedämpfte Version von Newton-Raphson, da ohne die Dämpfung eine schlechte Auswahl der Startwerte häufiger zu Abweichungen führt. Die Dämpfung verringert die Wahrscheinlichkeit, dass die Iterationen wild werden.