Was sind FOCs und SOCs?

Angenommen, Sie haben eine differenzierbare Funktion $ f (x) $, die Sie durch Auswahl von $ x $ optimieren möchten. Wenn $ f (x) $ Nutzen oder Gewinn ist, möchten Sie $ x $ (d. H. Verbrauchsbündel oder produzierte Menge) auswählen, um den Wert von $ f $ so groß wie möglich zu machen. Wenn $ f (x) $ eine Kostenfunktion ist, möchten Sie $ x $ auswählen, um $ f $ so klein wie möglich zu machen. FOC und SOC sind Bedingungen, die bestimmen, ob eine Lösung eine bestimmte Funktion maximiert oder minimiert.

Auf der Undergrad-Ebene ist es normalerweise so, dass Sie $ x ^ * $ so wählen müssen, dass die Ableitung von $ f $ gleich Null ist: $$ f „(x ^ *) = 0. $$ Dies ist der FOC. Die Intuition für diese Bedingung ist, dass eine Funktion ihr Extremum (entweder Maximum oder Minimum) erreicht, wenn ihre Ableitung gleich Null ist (siehe Bild unten). [Sie sollten sich bewusst sein, dass es mehr gibt Feinheiten: Suchen Sie nach Begriffen wie „Innen- und Ecklösungen“, „Globales und lokales Maximum / Minimum“ und „Sattelpunkt“, um mehr zu erfahren.

Wie das Bild zeigt, reicht es jedoch nicht aus, nur $ x ^ * $ zu finden, wobei $ f „(x ^ *) = 0 $, um zu schließen dass $ x ^ * $ die Lösung ist, die die Zielfunktion maximiert oder minimiert. In beiden Diagrammen erreicht die Funktion eine Steigung von Null bei $ x ^ * $, aber $ x ^ * $ ist ein Maximierer im linken Diagramm, aber ein Minimierer im rechten Diagramm.

Um zu überprüfen, ob $ x ^ * $ ein Maximierer oder ein Minimierer ist, benötigen Sie den SOC. Der SOC für den Maximierer ist $$ f „“ (x ^ *) < 0 $$ und der SOC für den Minimierer ist $$ f „“ (x ^ *) > 0. $$ Wenn $ x ^ * $ $ f $ maximiert, nimmt intuitiv die Steigung von $ f $ um $ x ^ * $ ab. Nehmen Sie das linke Diagramm, in dem $ x ^ * $ ein Maximierer ist. Wir sehen, dass die Steigung von $ f $ links von $ x ^ * $ positiv und rechts negativ ist. In der Nähe von $ x ^ * $ nimmt also mit zunehmendem $ x $ $ f „(x) $ ab. Die Intuition für den Fall des Minimierers ist ähnlich.

Kommentare

• Aber warum wird ' nicht " Erster Ableitungstest ist für mich immer noch ein Rätsel.

Zum Beispiel, wenn Sie darüber sprechen Gewinnmaximierung ausgehend von einer Gewinnfunktion $ \ pi (q) $ ist die Hauptbedingung für ein Maximum: $$ \ frac {\ partielle \ pi} {\ partielle q} = 0 $$ Dies ist der FOC (erste Ordnung) Bedingung).

Um sicherzugehen, dass das, was Sie oben gefunden haben, ein wahres Maximum ist, sollten Sie auch eine „sekundäre“ Bedingung überprüfen, die lautet: $$ \ frac {\ partiell ^ 2 \ pi} {\ partiell q ^ 2} < 0 $$ Dies wird als SOC (Bedingung zweiter Ordnung) bezeichnet.

Das Ziel besteht darin, ein lokales Maximum (oder Minimum) einer Funktion zu finden.

Wenn f Die Funktion ist zweimal differenzierbar:

• Der erste Ableitungstest zeigt an, ob es sich um ein lokales Extremum handelt.
• Der Test der zweiten Ableitung zeigt Ihnen, ob es sich um ein lokales Maximum oder ein Minimum handelt.

Falls Sie Funktion ist nicht differenzierbar, Sie können einen allgemeineren Extremum-Test durchführen.

Hinweis: Es ist unmöglich, einen Algorithmus zu konstruieren, um a zu finden globales Maximum für eine beliebige Funktion .

Neoklassische Ökonomen benennen diese beiden mathematischen Methoden zweifellos in Bedingungen erster Ordnung um und Bedingungen zweiter Ordnung , um cool oder aus anderen historischen Gründen auszusehen. Warum einen weit verbreiteten Namen verwenden, wenn Sie nur einen erfinden können?

Der Begriff wird auch für eingeschränkte Maximierung verwendet, wenn sie das Lagrange-Multiplikator -Methode und Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen . Auch hier glaube ich nicht, dass der Begriff von Nichtökonomen verwendet wird.