Welche physikalische Bedeutung hat die Heisenberg-Gruppe?

Vielleicht möchten Sie Folgendes sehen:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf Kapitel 13,

dh die Vorlesungen „Quantenmechanik für Mathematiker: Die Heisenberg-Gruppe und die Schrödinger-Darstellung „von Peter Woit, in der die Bedeutung der Heisenberg-Gruppe ausführlich erörtert wird. Ihre physikalische Bedeutung ist jedoch NICHT eine Gruppe von Symmetrien der physikalischen Situation. Achten Sie also auf enge Analogien zwischen der kanonischen Kommutierungsbeziehung und der endlichen ( Sagen Sie $ n $ ) dimensionale Hiesenberg-Lie-Gruppe $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Die Sache auf der rechten Seite der Beziehung $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ in der endlichen dimensionalen Algebra $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ ist NICHT die Identitätsmatrix – es ist einfach etwas, das mit allem anderen in der Lie-Algebra pendelt. Es war Hermann Weyl, der darauf hinwies, dass sich die kanonische Kommutierungsrelation nicht auf eine endlich dimensionale Lie-Algebra beziehen kann: In solchen Algebren ist eine Lie-Klammer $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (zwischen quadratischen Matrizen) hat eine Nullspur, die Identitätsmatrix (oder ein skalares Vielfaches, wie auf der rechten Seite der CCR) jedoch nicht. Man muss Operatoren auf unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen übergeben ( $ zB $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ), um die kanonische Kommutierungsbeziehung vollständig zu realisieren.

Ein anderer Weg zu verstehen, dass sich das Verhalten der Heisenberg-Lie-Algebra mit endlicher dimensionaler Matrix radikal von der CCR unterscheidet, ist das Unsicherheitsprinzip selbst. Das Produkt von RMS-Unsicherheiten für simulatane Messungen von zwei nicht pendelnden Observablen $ \ hat {a}, \ hat {b} $ bei einem Quantenzustand $ \ psi $ wird von unten durch die positive reelle Zahl $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ wobei $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (siehe Abschnitt 10.5 von Ausgabe 3 von Merzbacher „Quantum Mechanics“). Wenn $ c $ eine endliche quadratische Matrix ist und wie in der Heisenberg-Algebra nicht den vollen Zeilenrang hat, gibt es bestimmte Zustände (die in der $ c $ „Nullraum), in dem das Unsicherheitsprodukt nichts sein kann. Die endlich dimensionale Matrixalgebra kann also Heisenbergs physikalisches Postulat nicht modellieren.

Siehe auch der Wikipedia-Artikel über die Heisenberg-Gruppe.

Kommentare

• Kleiner Kommentar zur Antwort (v2): Das Zeichen in der angezeigten Schrödinger-Darstellung von $ p $ ist nicht das herkömmliche Vorzeichen.