Ich möchte lernen, wie der erwartete Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen berechnet wird. Es scheint, dass der erwartete Wert $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ ist, wobei $ f (x) $ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist von $ X $.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $ X $ ist $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$ Dies ist die Dichte der Standardnormalverteilung.
Also würde ich zuerst das PDF einstecken und $$ E [X] = \ int_ {erhalten – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ which ist eine ziemlich chaotisch aussehende Gleichung. Die Konstante $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ kann außerhalb des Integrals verschoben werden, wodurch $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ erhalten wird int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Ich stecke hier fest. Wie berechne ich das Integral? Mache ich das soweit richtig? Ist der einfachste Weg, um den erwarteten Wert zu erhalten?
Kommentare
- Ihr Fragentitel ist irreführend. Sie versuchen tatsächlich, den erwarteten Wert einer normalen Standard-Zufallsvariablen zu berechnen. Sie können auch den erwarteten Wert einer Funktion eines Wohnmobils berechnen. Ich würde lieber den Titel eingeben: “ Wie berechnet man den erwarteten Wert einer Standardnormalverteilung? “ Oder “ So berechnen Sie den erwarteten Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. “
- @Gu ð mundurEinarsson korrigiert.
- “ Ich stecke hier fest. Wie berechne ich das Integral? “ Finden Sie die Ableitung von $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Nein, ich bin nicht scherzhaft und schlage Ihnen unnötige Arbeit vor; ich meine es todernst; Tu es einfach!). Dann starren Sie sehr genau auf die Ableitung, die Sie gefunden haben.
Antwort
Sie sind fast da, folgen Sie Ihrer letzten Schritt:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Oder Sie können direkt die Tatsache verwenden, dass $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ eine ungerade Funktion ist und Die Grenzen des Integrals sind Symmetrie.
Kommentare
- Das Symmetrieargument funktioniert nur, wenn beide Hälften selbst konvergent sind.
- Können Sie erklären, was in der zweiten Zeile passiert?
- Der Kommentar von Glen ‚ ist korrekt, wenn er nicht konvergent ist, dann funktioniert die Änderung von Variablen nicht
- Die zweite Zeile entspricht der ersten Zeile, da $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ auch das negative Vorzeichen am Anfang notiert. Dann können Sie an eine Änderung der Variablen für die Integration denken und diese dann wieder ändern, da sich die Grenzwerte nicht geändert haben. Oder Sie können die Integration nach Teilen verwenden. Und denken Sie daran, $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Um Symmetrie zu verwenden, um den Mittelwert zu erhalten, müssen Sie diesen $ kennen \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ konvergiert – dies ist in diesem Fall der Fall, aber allgemeiner können Sie ‚ dies nicht annehmen. Zum Beispiel würde das Symmetrieargument sagen, dass der Mittelwert des Standard-Cauchy 0 ist, aber ‚ hat keinen.
Antwort
Da Sie Methoden zur Berechnung von Erwartungen erlernen und einige einfache Möglichkeiten kennen möchten, wird Ihnen die Verwendung der Momenterzeugungsfunktion (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Die Methode funktioniert besonders gut, wenn die Verteilungsfunktion oder ihre Dichte selbst als Exponentiale angegeben werden. In diesem Fall müssen Sie keine Integration durchführen, nachdem Sie
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / beobachtet haben. 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
, weil beim Schreiben der Standardfunktion für normale Dichte bei $ x $ as $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (für eine Konstante $ C $, deren Wert Sie nicht kennen müssen) können Sie die mgf als
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Auf der rechten Seite nach $ e ^ {t ^ 2/2} $ term erkennen Sie das Integral der Gesamtwahrscheinlichkeit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert $ t $ und der Einheitsvarianz, die daher $ 1 $ beträgt. Folglich
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Da die normale Dichte bei großen Werten so schnell klein wird, gibt es keine Konvergenzprobleme, unabhängig vom Wert von $ t $. $ \ phi $ ist bei $ 0 $ erkennbar analytisch, was bedeutet, dass es seiner MacLaurin-Reihe
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2) entspricht ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
Da jedoch $ e ^ {tX} $ für alle Werte von $ tX $ absolut konvergiert, können wir auch
$$ E [e ^ {tX}] schreiben. = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Zwei konvergente Potenzreihen können nur dann gleich sein, wenn sie termweise gleich sind, woher (Vergleich der Terme mit $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
impliziert
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(und alle Erwartungen an ungerade Potenzen von $ X $ sind Null). Mit praktisch keiner Anstrengung haben Sie die Erwartungen aller positiven Integralkräfte von $ X $ auf einmal erhalten.
Variationen dieser Technik können in einigen Fällen genauso gut funktionieren, wie z. B. $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, vorausgesetzt, der Bereich von $ X $ ist angemessen begrenzt. Das mgf (und sein enger Verwandter, die charakteristische Funktion $ E [e ^ {itX}] $) ist jedoch so allgemein nützlich, dass Sie sie in Tabellen mit Verteilungseigenschaften finden, wie z der Wikipedia-Eintrag zur Normalverteilung .