Meine Frage ist, wie der Typ-II-Fehler $ \ beta $ berechnet wird.
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Angenommen, ich möchte testen $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (Ich muss den Typ-II-Fehler $ \ beta $ berechnen, also muss ich ein $ \ mu $, sagen wir 1, in $ H_1 $ reparieren).
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Angenommen, die Verteilung für $ H_0 $ ist $ F_0 $, $ H_1 $ ist $ F_1 $, wobei $ E [\ xi] = 0 $ ist, wenn $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ wenn $ \ xi \ sim F_1 $.
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Jetzt erstelle ich einen Schätzer für $ \ mu $, sagen wir $ \ bar {X} _n $, und eine Teststatistik $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (nehmen wir $ an \ sigma $ ist bekannt).
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Jetzt erstelle ich eine Ablehnungsregel ($ H_0 $): $ S_n > b $.
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Fehler vom Typ II wird berechnet als $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Meine Fragen sind (ich möchte drei Dinge überprüfen):
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Die obige Konstruktionslogik ist richtig, oder?
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Die Verteilung in „$ P_ {F_1} (S_n > b) $“ ist $ F_1 $, richtig?
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[am meisten interessiert] Das $ S_n $ in „$ P_ {F_1} (S_n > b) $“ sollte $ F_0 $ zur Berechnung verwenden, oder?
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Ich meine, unabhängig vom Typ I- oder Typ II-Fehler, den ich berechne, muss ich immer $ F_0 $ verwenden, um die Teststatistik zu berechnen, oder?
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Ich meine, $ S_n $ ist immer $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ in der Fehlerberechnung vom Typ I oder Typ II ation, aber nicht $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ bei der Berechnung von $ \ beta $, richtig?
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Oder, Dies sollte kein Problem sein, da die Teststatistik nur eine Funktion der Stichprobe ist und keine Parameter beinhalten sollte.
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Kommentare
- Ein Fehler vom Typ II besteht darin, die Nullhypothese nicht abzulehnen, wenn sie falsch ist, dh $ H_1 $ ist wahr. Ich denke, Sie sollten $ F_1 $ verwenden, um P zu berechnen, aber nicht $ F_0 $, wie Sie $ P_ {F_1} geschrieben haben (S_n > b) $. Sie können sich auch auf die Leistungsberechnung beziehen, die auf dem Parameter $ H_1 $ basiert, und auf Typ II $ \ beta $ = 1-Leistung
- Vielen Dank! Du hast recht. Ich machte einen Fehler. Es ist $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ für den Typ II-Fehler.
Antwort
Bezeichne $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ sei die Verteilung unter der Nullhypothese und $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ unter $ H_1 $, Sie haben also eine Teststatistik $ X $ und möchten
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ testen {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ gegen $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
So wie Sie es beschreiben, möchten Sie einen einseitigen Test durchführen und definieren den kritischen Bereich im rechten Schwanz. Nachdem Sie ein Konfidenzniveau $ \ alpha $ ausgewählt haben, verwenden Sie die Verteilung $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $, um den Quantilwert $ q_ zu ermitteln {\ alpha} ^ {(0)} $, so dass $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (ich gehe von kontinuierlichen Verteilungen aus). Der Superindex $ (0) $ gibt an, dass die Wahrscheinlichkeiten unter $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, gemessen werden, sodass Sie die Nullverteilung $ \ mathcal {benötigen F} ^ {(0)} $, um den kritischen Bereich zu definieren, dh das Quantil $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Aus einer Stichprobe können Sie ein Ergebnis $ x $ für die Zufallsvariable $ X $ beobachten, und die Null wird zurückgewiesen, wenn $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Mit anderen Worten, Ihr Test wird entscheiden, dass $ H_1 \ textrm {als wahr entschieden} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
Die Potenz Ihres Tests ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ H_1 $ als wahr entschieden wird, wenn $ H_1 $ wahr ist , also ist die Potenz die Wahrscheinlichkeit, dass $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, wenn $ H_1 $ wahr ist, dies die Wahrscheinlichkeit, dass $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, wenn die wahre Verteilung $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ oder die Potenz $ \ mathcal {P} $ ist
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Wobei der Superindex $ (1) $ angibt, dass die Wahrscheinlichkeiten unter $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ berechnet werden Die Leistung wird also mit $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ gemessen, aber Sie benötigen den Wert von $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, der mit $ \ mathcal {F} ^ {berechnet wird (0)} $.
Ich habe die Potenz $ \ mathcal {P} $ verwendet und der Typ $ II-Fehler $ \ beta $ ist $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
In Ihrem Fall
Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass „“ die Verteilung in „$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ „ist $ F_1 $“ „
Um jedoch $ b $ zu finden, müssen Sie $ F_0 $ verwenden. Tatsächlich ist $ b $ das Analogon von $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $