Eine hexagonale Einheitszelle mit geschlossener Packung (hcp) hat eine Packung vom Typ ABAB . Für die Berechnung des Packungsanteils benötigen wir das Volumen der Einheitszelle.
Volumen des hcp-Gitters = (Grundfläche) $ \ cdot $ (Höhe der Einheitszelle)
Jedes Sechseck hat eine Seite = $ 2 \ cdot r $
Grundfläche = $ 6 $ (Fläche kleiner gleichseitiger Dreiecke, aus denen das Sechseck besteht)
$$ = 6 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {4} \ times (2r) ^ 2 $$ $$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $$
Daher ist Volumen $ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $ (Höhe von Einheitszelle)
Dies ist der Punkt, an dem ich festsitze. Wie finde ich die Höhe der Einheitszelle heraus?
Ich habe in Lehrbüchern gesucht und festgestellt, dass die Höhe $ = 4r \ cdot \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ ist. Können Sie bitte erklären, warum dies so ist?
Antwort
Wir werden es anhand der Ähnlichkeiten zwischen hcp und ccp versuchen. Hier wissen wir, dass $ hcp $ und $ ccp $ ein ähnliches Gitter haben, außer dass $ hcp $ vom Typ ABAB ist, während $ ccp $ vom Typ ABCABC ist. Daher wissen wir auch, dass ihre Packungsfraktion $ (\ phi) $ gleich ist und $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Nun, wie Sie erwähnt haben Volumen des hcp-Gitters $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Insgesamt gibt es 6 Atome in hcp. Daher ist $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Um dies zu vereinfachen, erhalten wir die Höhe des hcp-Gitters $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$
Kommentare
- Wir erhalten, dass ihr Packungsanteil gleich ist, nachdem das Volumen aus der Höhe usw. bewertet wurde. Ihre Antwort funktioniert rückwärts.
Antwort
Um die Höhe einer Einheitszelle zu berechnen, betrachten Sie eine tetraedrische Leere in einer sechseckigen geschlossenen Packungsanordnung. Man kann sich vorstellen, dass sich 3 feste Kugeln berühren und im Mittelpunkt eine weitere Kugel darüber gestapelt ist. Eine interaktive Version kann auf dieser Site angezeigt werden. Die Situation sieht folgendermaßen aus:
Wenn Sie die Zentren dieser vier Kugeln verbinden, erhalten Sie ein Tetraeder. Das ist im Grunde eine Pyramide mit einer dreieckigen Basis. Ich gehe davon aus, dass jede Kante unseres Tetraeders gleich $ a $ ist.
Jetzt haben Sie eine Pyramide ($ ABCD $) mit einer gleichseitigen Basis ($ \ Delta BCD $), ich möchte, dass Sie eine Senkrechte vom höchsten Punkt ($ A $) zur mittleren dreieckigen Basis ($ G $) fallen lassen. Wenn Sie mir richtig folgen, haben Sie eine Figur wie diese:
Alles was wir tun müssen Berechnen Sie jetzt die Länge $ AG $. Verwenden Sie dazu einfach den Satz von Pythagoras in $ \ Delta AGD $.
$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$
Obwohl wir wissen, dass $ AD = a $ ist, bleibt die Seite $ GD $ erhalten unbekannt. Aber das ist einfach zu berechnen. Der Punkt $ G $ ist der Schwerpunkt von $ \ Delta BCD $. Somit entspricht die Länge $ GD $ $ a / \ sqrt {3} $. Wenn wir die Werte in unserer ersten Gleichung einfügen, erhalten wir $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Beachten Sie jedoch, dass dies die Hälfte der Höhe unserer Einheitszelle ist. Daher beträgt die erforderliche Höhe $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.
Antwort
In der hexagonal am dichtesten gepackten Struktur ist $ a = b = 2r $ und $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , wobei $ r $ ist der Atomradius des Atoms. Die Seiten der Einheitszelle stehen senkrecht zur Basis, also $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .
Für eine Annäherung -gepackte Struktur, die Atome an den Ecken der Basis der Einheitszelle sind in Kontakt, also $ a = b = 2 r $ . Die Höhe ( $ c $ ) der Einheitszelle, deren Berechnung schwieriger ist, beträgt $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .
Lassen Sie die Kante der sechseckigen Basis gleich $ a $
und die Höhe des Sechsecks gleich sein $ h $
Und der Radius der Kugel ist gleich $ r $
Die Mittelkugel der ersten Schicht liegt genau über dem Hohlraum der zweiten Schicht B.
Die mittlere Kugel und die Kugeln der 2. Schicht B berühren sich.
In $ \ Delta PQR $ ( ein gleichseitiges Dreieck):
$ \ overline {PR} = 2r $ , Zeichne $ QS $ Tangente an Punkten
$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$
$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$
$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$
$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$
$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$
$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$
Daher wird bei der Berechnung der Verpackungseffizienz von hcp arr In Angement wird die Höhe der Einheitszelle als $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ angenommen.
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Kommentare
- Was bedeutet das Punktdreieck?
- Wie kommt es, dass der Winkel QRS 30 Grad beträgt?
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