Wie erstellt man “ gute ” mathematische Probleme?

Da Ihre Frage sehr weit gefasst ist, finden Sie hier eine ziemlich breite Antwort: Lesen Sie mehr über das Aufwerfen von Problemen.

Drei Schlüsselstücke sind:

Silver, EA (1994). Zur mathematischen Problemstellung. Zum Erlernen der Mathematik 14 (1), 19-28.

und das Buch

Brown, SI, & Walter, MI (2005). Die Kunst, Probleme zu stellen . Psychology Press.

Letzteres ist ein Nachdruck eines Buches, das 1983 erstmals herauskam. Sie können auch ein verwandtes Buch finden, das von Brown und Brown herausgegeben wurde Walter; Ein Zitat für die neueste Version lautet:

Brown, SI, & Walter, MI (Hrsg. ). (2014). Problemstellung: Reflexionen und Anwendungen . Psychology Press.

Beginnen Sie mit diesen drei Dokumenten, ihren Referenzen und (auf Google Scholar suchenden) anderen Artikeln und Artikeln, in denen sie zitiert wurden.

Um den Vorschlag von Brown und Walter sehr grob zu skizzieren: Beginnen Sie mit einem mathematischen Szenario, listen Sie Annahmen auf und variieren Sie die Einschränkungen (in ihren Begriffen: “ Was-wäre-wenn- „) nicht notieren und dann Fragen stellen. Sie können sogar “ “ zyklisieren durch diesen Prozess wiederholt, um Probleme mit zunehmender Komplexität zu erzeugen.

Natürlich birgt das Aufwerfen von Problemen die Gefahr, die Antwort auf Ihre Fragen nicht zu kennen.

Zum Beispiel könnte Ihr Startszenario den Satz von Pythagoras verwenden:

Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen für $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .

Dieses spezielle Beispiel wird in Browns und Walters Buch untersucht, aber es scheint mir eine vernünftige Annahme zu sein, es aufzulisten dass der Exponent überall $ 2 $ ist und nach ganzzahligen Lösungen fragt, wenn der Exponent $ 3 $ ist. .. oder, wenn man sich besonders gewagt fühlt, den Exponenten $ k \ geq 3 $ zu verallgemeinern und nach ihm zu fragen.

Auf den ersten Blick scheint dies eine vernünftige Frage zu sein. Wenn Sie jedoch mit Fermats letztem Satz vertraut sind, werden Sie feststellen, dass dies für die meisten Schüler kein angemessenes Problem ist.

Sie können einige meiner kurzen Bemerkungen zu Problemstellung und Kreativität teilweise finden $ 4b $ hier und einige andere Beispiele in Bezug auf Problemstellung und Intuition im konkretes Beispiel Abschnitt hier .

Eine letzte Bemerkung: Zunächst erwähnen Sie das “ Wesentliche “ Rolle der Problemlösung bei der Verbesserung unseres Verständnisses der Mathematik. Es kann erwähnenswert sein, dass die Problemstellung eine wichtige Rolle spielt Betrachten Sie die Liste der Heuristiken von Polya und wie viele davon sind Fragen: Was ist ein verwandtes Problem? Was ist ein einfacheres Problem? Wie kann ich dieses Problem verallgemeinern? Usw. (Historisch gesehen verfolgen sowohl Silver im oben zitierten ersten Stück als auch Kilpatrick zur Problemformulierung diese Beobachtung, dh, dass das Aufwerfen von Problemen ein wesentlicher Bestandteil der Problemlösung ist, zumindest zurück zu eine Arbeit von Karl Duncker aus dem Jahr 1945.)

Wie Cantor (1867) in seiner Doktorarbeit schrieb:

„In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi “

(„ In der Mathematik ist die Kunst, Fragen zu stellen, wertvoller als das Lösen von Problemen “).

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• Während ich ‚ ein Fan von P ó lya iv bin Ich fürchte, es wird davon ausgegangen, dass Sie alle benötigten Daten und nur benötigte Daten erhalten, zu viele eingebaute Daten, um das Buch von id = „de6b349bee“>

Für mich gibt es vielleicht drei Haupttypen von Problemen, die ich habe Zuweisen:

1. Aufbau routinemäßiger Fähigkeiten : Beide basieren auf einer Berechnung, die ich gezeigt habe ähnliche Probleme gelöst oder sind ein Beweisproblem, das nur eine natürliche Folge der Definition ist, wobei nur wenig zusätzliche Technik erforderlich ist. Für einen Proof-Kurs sind viele Probleme kaum mehr als eine Aufforderung, sich darum zu kümmern, was die Notation tatsächlich bedeutet.
2. Breitenentdeckung : In jedem Kurs gibt es bestimmte Themen, für die wir nicht genügend Zeit in der Vorlesung haben. Es ist eine sehr lohnende Erfahrung für Studenten, durch ein kurzes Modul von Problemen geführt zu werden, in dem sie die wesentlichen Merkmale eines Themas entdecken, das in Vorlesungen und anderen Materialien nicht ausführlich behandelt wird.
3. Herausforderung : Hier gibt es keine Schienen, keine Box, keine Erwartung, dass jemand im Kurs sie löst. Manchmal werden diese verwendet, um die Grenzen einer aktuellen Familie von Techniken zur Lösung von Problemen aufzuzeigen, manchmal beinhalten sie eine unscharfe Intuition, die einen kreativen Sprung leitet.

Ich vermute die meisten Probleme, die ich schreibe und / oder Passform in 1 oder 2 zuweisen, aber Studenten beschuldigen mich oft von 3. Ehrlich gesagt ist einer der Gründe, warum ich versuche, in der MSE ziemlich viel zu surfen, die Beurteilung, was in meinen Kursen an anderen Universitäten abgedeckt ist. Das internationale Flair der MSE hilft mir auch dabei, einen Querschnitt darüber zu bekommen, was an Schulen auf der ganzen Welt passiert.

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• Sie lassen die allzeit beliebte Trickfrage aus, bei der Sie sich eine Rube-Goldberg-Variante einfallen lassen müssen, um welche zu haben Hoffnung, das Problem zu lösen. Viele hier werden beschuldigt, Rätsel gemacht zu haben, keine Prüfungen …
• @vonbrand Nun, das würde wahrscheinlich in Frage gestellt werden. Oft beginnen solche Probleme mit einer Antwort, es tritt dunkle Magie mit Serien auf, und dann wird der Schüler gebeten, ein Muster zu sehen … ha ha ha … böse.

Zwei Vorschläge:

1) Nehmen Sie an Workshops und Konferenzen teil und suchen Sie nach Problemlösungssitzungen oder Moderatoren, die ihre „Lieblingsprobleme“ teilen.“Wenn die Probleme und Lösungen besprochen werden, erscheinen einzigartige Methoden und Ansätze.

2) Bauen Sie eine Bibliothek auf und nehmen Sie sich Zeit zum Lesen. Sammeln Sie Bücher, PDFs und Quellen. Ein Lehrbuch, das nicht für die Schüler geeignet ist, kann großartig sein Problemquelle. (Verwenden Sie Amazon und eBay, um gebrauchte Versionen zu erhalten, die viel billiger sind.) Ändern Sie die Lehrbuchversion nach Bedarf. Kreativität beim Erstellen von Problemen entsteht durch das Durchblättern von Quellen.

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• Schauen Sie sich die Websites der Mathematikolympiade an. Suchen Sie nach Vorlesungsskripten, (gelösten) Prüfungen, Hausaufgaben, … das ‚ -Netz wimmelt von dieser Art

Sie haben keine bestimmte Ebene angegeben, aber ich denke, Ihre Frage hat ihre Berechtigung auf jeden Fall. Ich werde es auf der K-8-Ebene nehmen. Zuerst möchte ich auf Ihre spezifische Anforderung eingehen:

Mit „gut“ meine ich zum Nachdenken anregende, inspirierende Probleme mit Lösungen, die auf andere Domänen erweiterbar sind.

Ich werde „inspirierend“ so interpretieren, dass die Schüler eine Motivation haben, sich mit der Mathematik des Problems zu beschäftigen. Für „zum Nachdenken anregend“ gehe ich davon aus, dass Sie meinen, dass die Probleme eine hohe Wahrscheinlichkeit haben, dass die Schüler sich auf produktives mathematisches Denken einlassen müssen. Dies sind wesentliche Merkmale guter Untersuchungen in einem Lehrplan. Das heißt, ein guter Lehrplan sollte Aktivitäten und Untersuchungen enthalten, die diese erfüllen.

Ich habe einmal eine bekannte hochqualifizierte Lehrplanentwicklerin gefragt, woher sie weiß, dass ihre Lehrplanprobleme den Anforderungen von „ realistischer Mathematikunterricht „(das war der Ansatz, der ihren Lehrplan inspirierte. Sie antwortete, dass sie jede Aktivität im Forschungs- und Entwicklungsprozess viele Male mit echten Studenten ausprobieren mussten Die ersten Entwürfe basieren möglicherweise auf der Theorie. In Wirklichkeit wurde das fertige Curriculum intensiv getestet.

Suchen und sammeln Sie daher Probleme, die von guten Curriculumentwicklern entwickelt wurden. Erstellen Sie bei Bedarf eine eigene Bibliothek mit solchen Problemen.

Ein letzter Hinweis: Sie haben vorgeschlagen, dass Sie Probleme haben möchten, deren Lösungen auf andere Bereiche erweiterbar sind. Ich schlage vor, dass Sie bei der Suche nach Problemen mit dieser Art von Annahme vorsichtig sind. Was sie im Prozess der Problemstellung verstehen und verstehen Das Lösen kann ihnen helfen, Conn zu bilden Aktionen zwischen Kontexten. Es kann jedoch schwierig sein, den Begriff „domänenübertragbare Lösungen“ in der guten Literatur zum Mathematikunterricht zu unterstützen. Konzentrieren Sie sich mehr darauf, welche Art von mathematischem Denken die Schüler die Möglichkeit und die Ressourcen haben, sich zu engagieren.