Wie funktioniert der Auftrieb?

Grundidee

tellen Sie sich einen tiefen Ozean aus Wasser vor. Stellen Sie sich eine Wassersäule vor, die von der Oberfläche bis in die Tiefe $ d $ reicht. Diese Wassersäule hat ein gewisses Gewicht von $ W $. Daher gibt es eine Abwärtskraft der Größe $ W $ auf diese Wassersäule. Sie wissen jedoch, dass die Wassersäule nicht beschleunigt, daher muss eine Aufwärtskraft der Größe $ W $ auf diese Säule drücken. Das einzige, was unter der Säule ist, ist mehr Wasser. Daher muss das Wasser in der Tiefe $ d $ mit der Kraft $ W $ nach oben drücken. Dies ist die Essenz des Auftriebs. Lassen Sie uns nun Details ausführen.

Details

Das Gewicht $ W $ einer Wassersäule mit der Querschnittsfläche $ A $ und der Höhe $ d $ beträgt

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

wobei $ \ rho _ {\ text {water}} $ die Dichte des Wassers ist. Dies bedeutet dass der Wasserdruck in der Tiefe $ d $

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}} ist. $$

Nehmen wir nun an, Sie legen ein Objekt mit der Querschnittsfläche $ A $ und der Höhe $ h $ ins Wasser. Es gibt drei Kräfte auf dieses Objekt:

1. $ W $: Die Objekte eigenes Gewicht.
2. $ F _ {\ text {über}} $: Die Kraft des Wassers über dem Objekt.
3. $ F _ {\ text {unter}} $: Die Kraft des Wassers unter dem Objekt.

Angenommen, der Boden des Objekts befindet sich in der Tiefe $ d $. Dann befindet sich die Oberseite des Objekts in der Tiefe $ d-h $. Unter Verwendung unserer Ergebnisse von zuvor haben wir

$$ F _ {\ text {unten}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {Wasser}} A $$

$$ F _ {\ text {oben}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Wenn sich das Objekt im Gleichgewicht befindet, ist es nicht beschleunigen, daher müssen alle Kräfte ausgeglichen sein:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {oben}} & = & F _ {\ text {unten}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A. \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

wobei wir in der letzten Zeile das Volumen des Objekts als $ V \ equiv h A $ definiert haben. Dies besagt, dass die Bedingung für das Gleichgewicht ist, dass das Gewicht des Objekts gleich seinem sein muss Volumen mal Wasserdichte. Mit anderen Worten, das Objekt muss eine Wassermenge verdrängen, die das gleiche Gewicht wie das Objekt hat das übliche Gesetz des Auftriebs.

Aus dieser Beschreibung geht hervor, dass Sie sich auf den Fall von Luft anstelle von Wasser und horizontalem statt vertikalem Druckgradienten erstrecken können.

Ich denke, Druck auf die Oberfläche des leichteren Dings hat etwas damit zu tun, aber das ist ungefähr es.

Dies ist eigentlich der Anfang und das Ende der GANZEN Geschichte. Dies ist theoretisch alles , was Sie über Auftrieb wissen müssen. Lassen Sie uns sehen, wie sich diese Aussage auswirkt und wie sie zu den anderen Erkenntnissen führt, die Sie über Auftrieb gewonnen haben.

Sie stellen sich einfach ein Freikörperdiagramm für den schwebenden / eingetauchten Körper vor. Die einzigen Kräfte Darauf sind der Druck, der überall normal zur Körperoberfläche ist, und das Körpergewicht.

Die Nettokraft der umgebenden Flüssigkeit auf den Körper beträgt dann:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

wobei wir die Druckkräfte $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ zusammenfassen, die auf die Elemente der Fläche wirken $ \ mathrm {d} S $ in Richtung der Einheit normal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ als Funktion der Position $ \ mathbf {r} $ über der Schnittstellenoberfläche $ S $ zwischen der Flüssigkeit und dem Körper. Das ist alles, was dazu gehört. Natürlich ist es allein aus (1) schwer zu erkennen, was mit einem in Flüssigkeit getränkten Körper passieren wird. Kommen wir also zu praktischeren Antworten.

Wir machen einen kleinen Trick: Es stellt sich heraus dass Sie bei Auftriebsproblemen immer davon ausgehen können, dass die Oberfläche $ S $ in (1) eine geschlossene Grenze eines Volumens ist (dies gilt auch dann, wenn Sie Probleme wie Boote haben, die im Idealfall nicht vollständig untergetaucht und die geschlossene Grenze scheint auf den ersten Blick nicht anwendbar zu sein). Wir bilden zuerst das innere Produkt von $ \ mathbf {F} $ mit einem beliebigen Einheitsvektor $ \ mathbf {\ hat {u}} $ und können dann angesichts der geschlossenen Oberfläche die Divergenzsatz bis (1) für das Volumen $ V $ innerhalb der geschlossenen Oberfläche $ S = \ partiell \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partielles V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

was angesichts des willkürlichen Einheitsvektors $ \ mathbf {\ hat {u}} $ bedeutet:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

und wir sollen uns das Druckfeld $ p vorstellen (\ mathbf {r}) $, dass in der Flüssigkeit innerhalb der Oberfläche vorhanden wäre, wenn die Flüssigkeit nicht vom Körper verdrängt würde, der das Volumen $ V $ aufnimmt. Aus (2) können wir sofort das zweite Stück kn sehen Wissen, von dem Sie gehört haben:

Ballons erhalten ihr „Gefühl der Daune“ durch ein Druckdifferential . [Fettdruck]

Das heißt, es gibt keine Netto-Auftriebskraft auf den Körper, es sei denn, der Druck $ p $ variiert von Ort zu Ort. Andernfalls ist $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ identisch.

Wenn Sie mit dem Divergenzsatz nicht vollständig vertraut sind, denken Sie an einen untergetauchten Würfel und analysieren Sie ihn. In einer Flüssigkeit, in der der Druck nicht mit der Position variiert, wird die Kraft auf jeder Seite genau durch die entgegengesetzte Kraft auf der gegenüberliegenden Seite ausgeglichen. Ein anderer Fall, der Intuition vermittelt, ist eine Kugel in einer Flüssigkeit, die überall einen konstanten Druck aufweist: Die Kraft auf einen beliebigen Punkt wird durch die entgegengesetzte Kraft auf den antipodalen Punkt genau ausgeglichen. Mit dem Argument des Divergenzsatzes können Sie einfach auf die Allgemeingültigkeit solcher Schlussfolgerungen schließen, die Sie für symmetrische Objekte ziehen können.

Gehen wir nun zu einem Druckfeld über, das Sie als Taucher gewohnt sind. Wenn Sie die Richtung $ \ mathbf {\ hat {z}} $ nach unten nehmen, ist das Druckfeld in einer stillen Flüssigkeit, die auf der Oberfläche eines Planeten mit einem Radius liegt, der viel größer ist als die Tiefen, die wir berücksichtigen müssen ,:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

wobei $ \ rho $ ist die Flüssigkeitsdichte, $ g $ die Gravitationsbeschleunigung und $ p_0 $ der Druck bei $ z = 0 $. Wenn wir dies in (2) einstecken, erhalten wir:

$$ \ mathbf {F. } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

wobei $ V_f $ das Volumen der verdrängten Flüssigkeit ist. Dies ist natürlich das Archimedes-Prinzip; es gilt für Flüssigkeitsbereiche, die klein genug sind, dass die Druckänderung eine lineare Funktion der Position ist. Es scheint zwar zu sagen, dass die „verdrängte Flüssigkeit so viele vage Erklärungen des Auftriebszustands zurückdrückt“, aber das ist Unsinn. Die verdrängte Flüssigkeit ist nicht einmal dort: Das Prinzip ist lediglich das Ergebnis der Anwendung mathematischer Tricks zur Übersetzung des Grundprinzips, das in Ihrem Text enthalten ist, den ich in der ersten Zeile dieser Antwort und in (1) und in „1“ zitiert habe. verdrängter Flüssigkeitsrückstoß „lediglich eine Mnemonik, um an das Prinzip zu erinnern.

Zwei weitere Kommentare sind angebracht:

1. Beachten Sie zunächst, dass die Antwort in (4) unabhängig von $ p_0 $ ist. Wenn der Körper also nicht vollständig ist eingetaucht (wie ein funktionierender Bootsrumpf), dann können wir einfach den Schnittpunkt des Volumens mit der Flüssigkeit als das Volumen $ V $ nehmen; der Schnittpunkt der Oberfläche der Flüssigkeit mit dem Volumen begrenzt dann das reduzierte Volumen und den Kraftbeitrag auf der Oberseite ist dann nichts (da wir $ p_0 = 0 $ willkürlich setzen können, ohne unsere Ergebnisse zu ändern).
2. Zweitens, wenn Sie mit dem Divergenzsatz nicht zufrieden sind, führen Sie die Analyse für einen Würfel durch mit seinen Kanten vertikal und horizontal als klarstellendes Beispiel. Obwohl die Druckkraft über die vertikalen Flächen variiert, sind die Druckflächen auf jeder vertikalen Fläche denen auf der gegenüberliegenden Fläche immer noch genau entgegengesetzt. Die Nettokraft ist die Differenz zwischen der Kraft auf der Unterseite und der Oberseite des Würfels, die nach (3) die nach dem Archimedes-Prinzip berechnete Kraft ist.

Als Taucher wissen Sie, dass der Druck steigt, wenn Sie tiefer gehen.

Stellen Sie sich einen Zylinder vor, der vertikal unter Wasser gehalten wird. Die Kraft auf der Oberseite des Zylinders ist Druck mal Fläche (per Definition des Drucks). Am Boden des Zylinders ist die Fläche gleich, aber die Kraft ist größer (tiefer, mehr Druck). Der Unterschied zwischen den beiden ist die Auftriebskraft.

Wenn Sie ein Objekt „beliebiger“ Form haben, können Sie sich vorstellen, dass es aus unendlich vielen dünnen Zylindern besteht (Strohhalme mit geschlossenen Enden, wenn Sie möchten ). Sie können nun die Berechnung für jeden dieser Punkte wiederholen. Das zeigt, dass dies auch dann gilt, wenn das Objekt eine lustige Form hat.

Es kommt also vor, dass der Unterschied dem Gewicht des verdrängten Wassers entspricht – aber das Obige ist meiner Meinung nach weniger abstrakt.

Denken Sie immer an Ihren Sicherheitsstopp!

Kommentare

• Danke @floris! Ja, das macht jetzt Sinn. Das Problem, das ich hatte, war mit Luft, wo ich glaubte, dass es eine so kleine Druckänderung über einem Objekt gibt, dass es ‚ keinen ausreichenden Auftrieb verursachen könnte. Aber wenn ich denke, anstatt dass die Masse oben und die Masse unten drückt (wie Sie sagen), scheint das völlig vernünftig. Und diese Druckmasse ist natürlich der “ Druck „, daher muss auch die Erklärung des Druckgradienten korrekt sein. Danke 🙂

Nun, ich habe es immer als Anziehungskraft auf ein Nicht angesehen -Gleichgewichtszustand.

Versuchen Sie, sich zwei verschiedene Bälle vorzustellen, die übereinander vom Himmel fallen (in Erdatmosphäre). Wenn sich der leichtere Ball auf dem schwereren Ball befindet, trennt sich der leichtere Ball Wenn der schwerere Ball oben auf dem leichteren Ball liegt, haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Gleichgewichtszustand – Das heißt, der schwerere Ball befindet sich direkt auf dem leichteren Ball. Es gibt keine Kräfte, die den Ball seitwärts beschleunigen – nur nach unten. Die Bälle fallen als einer.
2. Der schwerere Ball ist etwas seitlich zum leichteren Ball (sie berühren sich immer noch). In diesem Fall wird der schwerere Ball Rollen Sie den leichteren Ball seitwärts und gehen Sie unter den leichteren Ball (beschleunigen Sie schneller).

Versuchen Sie sich dies nun vorzustellen, wenn Millionen von Bällen durch den Himmel fallen. Das ist irgendwie logisch für die schwereren gehen unter das Licht Weitere, nicht wahr?

(Dies ist nicht wirklich eine „Physik“ -Antwort, sondern eher ein einfaches Beispiel für das grundlegende Konzept.)

Kommentare

• Beide Bälle werden mit der gleichen Geschwindigkeit beschleunigt. Warum sollten sie sich trennen?
• Zugkräfte verlangsamen den leichteren Ball

Druck im einfachsten Sinne ist nur eine Kraft, die über einen Bereich wirkt. Stellen Sie sich alle Partikel in der Luft im Auto vor. Der Luftdruck ist wirklich ein Maß für die durchschnittliche Kraft, mit der diese Partikel gegeneinander drücken. Wenn wir einen Heliumballon zum Schweben im Auto bringen, drücken die Luftpartikel gegen die Heliumpartikel und die Heliumpartikel drücken auf die Luftpartikel zurück.

Hier wird ein wenig statische Technik angewendet. Die Kräfte der Heliumatome drücken alle Richtungen, aber da sie alle im Ballon enthalten sind und alle mit der gleichen Kraft drücken, können wir davon ausgehen, dass sich diese Kräfte alle gegenseitig aufheben und die einzigen Kräfte, die den Ballon beeinflussen, als ein ganzes sind extern. Zu diesem Zeitpunkt konnte der Ballon ohne auf ihn einwirkende Kräfte im Wesentlichen ohne Kraft in jede Richtung frei gedrückt werden. Die Luft drückt sie jedoch nirgendwo hin, da die Luft auch aus allen Richtungen auf den Ballon eindringt und sich daher auch selbst aufhebt.

Jetzt wird die Kraft als Masse * -Beschleunigung (a.k.a.Ein Bowling auf den Kopf wird dich härter treffen als ein Marmor, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, weil er mehr Masse und damit mehr Kraft hat. Die Beschleunigung auf molekularer Ebene ist direkt proportional zur Temperatur. Da die Temperatur aller Gase im Auto gleich ist, können wir dies aufheben, und das einzige, was die Kraft beeinflusst, mit der die Partikel drücken, ist die Masse der Partikel.

Zurück zu unserem Auto : Die Schwerkraft zieht mit der gleichen konstanten Beschleunigung von 9,8 m / s ^ 2 auf alle Partikel im Auto. Die Luftpartikel werden mit einer Kraft nach unten gezogen, die ihrer Masse * 9,8 m / s ^ 2 entspricht. Die Heliumpartikel werden ebenfalls mit der gleichen Beschleunigung gezogen, aber da ihre Masse so viel geringer ist als die von Sauerstoff, Stickstoff und anderen Partikeln in der Luft, ist ihre nach unten gerichtete Kraft viel geringer und sie werden umso mehr nach oben gedrückt kraftvolle Luftpartikel. Aus diesem Grund schwimmt der Ballon.

Als nächstes beginnt sich das Auto zu bewegen. Nach dem Trägheitsgesetz (ein ruhendes Objekt bleibt in Ruhe, bis es von einer äußeren Kraft beaufschlagt wird) bleiben die Gaspartikel an Ort und Stelle, obwohl sich das Auto vorwärts bewegt. Stellen Sie sich einen Ball vor, der über Ihrem Armaturenbrett schwebt und an diesem absoluten Ort bleibt, egal wie Sie sich bewegen. Ziehen Sie einen Fuß nach vorne, und jetzt befindet er sich über der Mittelkonsole. Noch ein paar Fuß und er befindet sich auf Ihrem Rücksitz. Genau das passiert mit allen Gaspartikeln im Auto. Jetzt haben sich alle Partikel nach hinten bewegt, und vorne sind viel weniger. Da sich jetzt mehr Luftpartikel hinter dem Ballon befinden, um gegen ihn zu drücken, als sich dahinter befinden, heben sich die Kräfte nicht mehr auf und der Ballon wird nach vorne gedrückt.

Hoffentlich hilft dies, dies klarer zu erklären . Tut mir leid, das war ziemlich wortreich, lass es mich wissen, wenn etwas besser erklärt werden muss!

Kommentare

• Einige wackelige Physik drin … zum Beispiel a Die Bowlingkugel trifft härter als ein Marmor, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, weil sie mehr Impuls trägt. Daher führt das Anhalten zu einer größeren Änderung des Impulses, was bedeutet, dass mehr Kraft angewendet wurde, wenn das Anhalten beider im gleichen Zeitintervall erfolgt. Etwa die Hälfte der Antwort ist in Ordnung, und im Großen und Ganzen ist ‚ mehr oder weniger korrekt, aber es fehlen einige (wichtige) Details.
• Richtig, es ‚ war eine Weile her und versuchte, so viel wie möglich zu vereinfachen. Fühlen Sie sich frei, nach Bedarf zu bearbeiten.