Wenn das normale Standard-PDF $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ist ^ 2/2} $$
und die CDF ist $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
Wie wird daraus eine Fehlerfunktion von $ z $?
Kommentare
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Ich habe das gesehen, aber es beginnt mit ERF bereits definiert.
- Nun, es gibt ' eine Definition von erf und eine Definition der normalen CDF. Die Beziehungen, die durch einige Routineberechnungen abgeleitet werden können, sind wie folgt dargestellt Informationen zum Konvertieren zwischen ihnen und zum Konvertieren zwischen ihren Inversen.
- Entschuldigung, ich sehe ' nicht viele Details. Zum Beispiel ist die CDF von -Inf bis x. Wie geht der ERF von 0 nach x?
- Kennen Sie die Kalkültechnik der Variablenänderung? Wenn nicht, lernen Sie, wie es geht.
Antwort
Da dies in einigen Systemen häufig vorkommt (z Zum Beispiel besteht Mathematica darauf, die normale CDF in Form von $ \ text {Erf} $) auszudrücken. Es ist gut, einen Thread wie diesen zu haben, der die Beziehung dokumentiert.
Nach der Definition von lautet die Fehlerfunktion
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Das Schreiben von $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ impliziert $ t = z / \ sqrt {2} $ (weil $ t $ nicht negativ ist), woher $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Die Endpunkte $ t = 0 $ und $ t = x $ wird zu $ z = 0 $ und $ z = x \ sqrt {2} $. Um das resultierende Integral in etwas umzuwandeln, das wie eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF) aussieht, muss es in Form von Integralen ausgedrückt werden, die haben Untergrenzen von $ – \ infty $, also:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Diese Integrale auf der rechten Seite sind beide Werte der CDF der Standardnormalverteilung,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Insbesondere
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Dies zeigt, wie die Fehlerfunktion in Bezug auf die normale CDF ausgedrückt wird. Eine algebraische Manipulation ergibt leicht die normale CDF in Bezug auf die Fehlerfunktion:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Diese Beziehung (jedenfalls für reelle Zahlen) wird in Darstellungen der beiden Funktionen dargestellt. Die Grafiken sind identische Kurven. Die Koordinaten der Fehlerfunktion auf der linken Seite werden in die Koordinaten von $ \ Phi $ auf der rechten Seite konvertiert, indem die $ x $ -Koordinaten mit $ \ sqrt {2} $ multipliziert werden, $ 1 $ zu den $ y $ -Koordinaten addiert werden und dann Teilen der $ y $ -Koordinaten durch $ 2 $, was die Beziehung
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} widerspiegelt $$
, in dem die Notation diese drei Operationen der Multiplikation, Addition und Division explizit anzeigt.
Kommentare
- Ich denke, $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ ist richtig Art und Weise, sie unter Berücksichtigung des Mittelwerts und der Standardabweichung in Beziehung zu setzen.