Wie kann die Schallgeschwindigkeit mit steigender Temperatur zunehmen?

Die Schallgeschwindigkeit wird angegeben durch:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

wobei $ P $ das ist Druck und $ \ rho $ ist die Dichte des Gases. $ \ gamma $ ist eine Konstante, die als adiabatischer Index bezeichnet wird. Diese Gleichung wurde zuerst von Newton entwickelt und dann von Laplace durch Einführung von $ \ gamma $ modifiziert.

Die Gleichung sollte intuitiv sinnvoll sein. Die Dichte ist ein Maß dafür, wie schwer das Gas ist und schwere Dinge langsamer schwingen. Der Druck ist ein Maß dafür, wie steif das Gas ist und steife Dinge schwingen schneller.

Betrachten wir nun den Einfluss der Temperatur. Wenn Sie das Gas erwärmen, müssen Sie entscheiden, ob Sie es sind Wir werden das Volumen konstant halten und den Druck ansteigen lassen oder den Druck konstant halten und das Volumen ansteigen lassen oder etwas dazwischen. Betrachten wir die Möglichkeiten.

Nehmen wir an, wir halten das Volumen konstant, in In diesem Fall steigt der Druck, wenn wir das Gas erhitzen. Das bedeutet, dass in Gleichung (1) $ P $ zunimmt, während $ \ rho $ konstant bleibt, also die Geschwindigkeit der Ton geht hoch. Die Schallgeschwindigkeit nimmt zu, weil wir „das Gas effektiv steifer machen.

Nehmen wir nun an, wir halten den Druck konstant und lassen das Gas sich ausdehnen, während es erhitzt wird. Das bedeutet, dass in Gleichung (1) $ \ rho $ abnimmt, während $ P $ konstant bleibt und wieder die Geschwindigkeit der Ton nimmt zu. Die Schallgeschwindigkeit nimmt zu, weil wir das Gas leichter machen, damit es schneller schwingt.

Und wenn wir einen Mittelweg nehmen und den Druck und die Lautstärke erhöhen lassen, dann $ P $ nimmt zu und $ \ rho $ nimmt ab und wieder steigt die Schallgeschwindigkeit.

Also, was auch immer wir tun Durch Erhöhen der Temperatur wird die Schallgeschwindigkeit erhöht, dies geschieht jedoch auf unterschiedliche Weise, je nachdem, wie sich das Gas beim Erhitzen ausdehnt.

Genau wie eine Fußnote folgt ein ideales Gas der Gleichung von state:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

wobei $ n $ ist die Anzahl der Mol des Gases. Die (molare) Dichte $ \ rho $ ist nur die Anzahl der Mol pro Volumeneinheit, $ \ rho = n / V. $ , was $ n = \ rho V $ bedeutet. Wenn wir in Gleichung (2) $ n $ ersetzen, erhalten wir:

$$ PV = \ rho VRT $$

, das neu angeordnet wird in:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Setzen Sie dies in Gleichung (1) ein und wir erhalten:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

also:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

Hier sind wir reingekommen. In dieser Form verbirgt die Gleichung jedoch, was wirklich vor sich geht, daher Ihre Verwirrung.

Experimentell beträgt die Proportionalitätskonstante für die obige Gleichung ca. . 20.

Kommentare

• Ich wollte Sie nur wissen lassen, dass Ihre Antwort 6 Jahre später immer noch Menschen hilft … I ‚ haben ungefähr eine Stunde damit verbracht, eine intuitive Erklärung für diese Formel zu finden, und Sie ‚ haben alles sehr gut zusammengefasst ein paar Sätze 🙂

Gute Frage. Die kurze Antwort lautet, dass Ihre Intuition (über dichtes Material mit höheren Schallgeschwindigkeiten) wahrscheinlich von verschiedenen Materialien bei derselben Temperatur beeinflusst wird und von Feststoffen befleckt ist, wenn es hier wirklich um Gase geht, die unterschiedlich sind.

Sehen wir uns einige Daten an:

Luft ist spärlich und hat eine niedrige Schallgeschwindigkeit von 760 Meilen pro Stunde. Die schwereren Dinge wie Kupfer sind dicht und haben eine schnellere Schallgeschwindigkeit.Stahl hat eine Schallgeschwindigkeit von 10.000 mph !

Also Ihre Intuition ist nicht schlecht, oder?

Was ist mit kalter Luft gegen heiße Luft? Die kalte Luft ist dichter, hat aber eine geringere Schallgeschwindigkeit! Hier können wir Ihr schönes Paradoxon sehen.

Es stellt sich heraus, dass die Abstoßung aufgrund externer Kompressionswellen (was Sie als mechanische Wellen bezeichnet haben) in einem Feststoff wie einem Metall aus anderen Mechanismen als einem komprimierbaren Gas erzeugt wird. Eine Druckwelle in einem Festkörper komprimiert relativ stationäre Ionen in einem Gitter. Das Gitter ist sehr stark und die Atome bewegen sich nicht, aber sie können vibrieren. Wenn Sie etwas Stahl zusammendrücken, komprimieren Sie dieses Gitter ein wenig, aber die funktionale Abhängigkeit der elektrischen Felder in diesem Gitter ist ziemlich komplex Für die Frage hier ist ein hoffentlich offensichtliches Ergebnis, dass die Abhängigkeit von der Temperatur nicht zu stark ist, da die Kraft- (Distanz-) Funktion bestimmt, wie schnell sich eine Störung durch das Gitter bewegt und welche Energie Sie den Atomen im Gitter geben „Die hier interessierende Beziehung zwischen Gitter, Distanz und Kraftkurve ändert sich nicht wesentlich.

Ein Gas ist insofern ein ganz anderes Tier, als nur ein Haufen unabhängiger Teilchen herumfliegt. Hier ist die Schallgeschwindigkeit Im Grunde genommen ein gewichteter Durchschnitt der schnelleren Gasmoleküle, die sich natürlich mit der Quadratwurzel der Energie / Temperatur bewegen.

Im Vergleich zu einem Festkörper stellt sich die Frage, wie hoch die Schallgeschwindigkeit in einem Gas ist ist völlig trivial. Lesen Sie th ist oder dies oder um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie viel komplexer Feststoffe sind. Wenn ich den Physikern nur die atomaren Eigenschaften (nicht Dinge wie den Volumenmodul) eines Feststoffs wie Kupfer und auch eines Gases wie O $ _ \ rm 2 $ geben würde, könnten sie zumindest mit einem einfachen Taschenrechner nur berechnen: die Schallgeschwindigkeit in O $ _ \ rm 2 $.

Eine schnelle Möglichkeit, Ihre Intuition zu korrigieren, besteht darin, die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper bei absolutem Nullpunkt gegenüber einem Gas zu notieren. Nur letzteres ist Null. In der Tat können deshalb Gase nicht in der Nähe des absoluten Nullpunkts existieren. Die Moleküle in einem ausreichend kalten Gas haben nicht einmal genug Energie, um voneinander wegzukommen, daher müssen sie stattdessen flüssig oder fest sein.

Hoffentlich sehen Sie jetzt, dass Ihre bisherigen Erfahrungen wirklich nur zutrafen für verschiedene Materialien, nicht für einzelne Materialien als Funktion der Temperatur.

Schallwellen breiten sich als Ergebnis durch ein Medium aus Bei höheren Temperaturen haben Moleküle eine größere kinetische Energie, und wenn sie sich schneller bewegen, treten ihre Kollisionen mit größerer Frequenz auf und sie tragen Schallwellen schneller. Größere kinetische Energie = weniger Trägheit = erhöhte Geschwindigkeit.

Da Schallwellen jedoch Kompressionswellen sind, die sich durch ein komprimierbares Medium bewegen, hängt ihre Geschwindigkeit nicht nur von der Trägheit des Mediums ab, sondern auch von seiner Elastizität.

Im Allgemeinen sind Moleküle umso schneller, je näher sie beieinander liegen tragen Schallwellen, obwohl der Abstand zwischen Molekülen dazu neigt, sich zu vergrößern, wenn ein Medium erwärmt wird, ist dies für die Schallgeschwindigkeit in einem bestimmten Medium relativ weniger wichtig als die schnellere Bewegung der Moleküle.

Die höhere Temperatur. impliziert eine höhere Geschwindigkeit für das Molekül, so dass es schneller mit dem nächsten Molekül kollidiert, selbst wenn sie weit voneinander entfernt sind. auf der anderen Seite die niedrigere Temperatur. bedeutet geringere Geschwindigkeit und kann daher auch länger mit seinem nahen Nachbarn kollidieren. merci!

Wir wissen, dass Temperatur und kinetische Energie direkt proportional sind. Wenn die Temperatur erhöht wird, nimmt die kinetische Energie der Luftmoleküle zu und die Moleküle bewegen sich schneller. Aufgrund dessen erfolgt die Schallausbreitung schnell und erhöht die Geschwindigkeit.