Wie kann ich den komplexen Graphen von $ x ^ x $ in Mathematica darstellen?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Hier ist eine Ansicht, die zeigt, wie das Diagramm beginnt Spirale für negative $ x $ -Werte, wenn wir die komplexen Werte berücksichtigen.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Wenn wir $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $ schreiben, ist dieses n aturally generallizes zu $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; Jedes $ 2i \ pi k $ repräsentiert einen anderen Zweig des komplexen Logarithmus. In diesem Zusammenhang sehen wir, dass dieser Graph nur eine Spirale einer Spiralfamilie bildet.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

In Grundschulklassen wird möglicherweise die Behauptung angezeigt, dass $ (p / q) ^ {p / q} $ für $ p $ negativ und $ q $ ungerade und positiv definiert ist. Einschließlich dieser Punkte könnte das Diagramm ungefähr so aussehen:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Aus der komplexen Perspektive entstehen die Punkte als Punkte, an denen einer der Spiralfäden die $ x $ – $ z $ -Ebene durchstößt.

Kommentare

• Ich habe yulinlinyu ' s als Antwort gewählt, weil es meine Frage direkt und prägnant beantwortet hat – aber Mark Mcclure ' s Die Antwort geht weit darüber hinaus – und ist das wahre Juwel in diesem Thread!

Wie Yulinyu gezeigt hat So etwas wie das Folgende gibt Ihnen die gewünschte Handlung.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Sie könnten auch an diese hervorragende Antwort von Simon Woods, um ein Diagramm des Diagramms über die komplexe Domäne zu erstellen. Wenn Sie seine Funktion verwenden und Folgendes auswerten, erhalten Sie ein hübsches Bild.

domainPlot[#^# &] 

Kommentare

• Für eine Sekunde dachte ich, ich hätte geraucht … aber nein
• Trainierst du deine Hypno-Kräfte?

Sie können die neuen Funktionen in M12 ReImPlot und ComplexPlot für komplexe Visualisierungen einer Funktion . Verwenden von ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

und ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Auch

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

erledigt den Job in Version 12.0.