Wie lange dauert es, bis eine Tasse Wasser verdunstet ist?
Um diese Frage zu beantworten, gehe ich von einigen grundlegenden Parametern aus und davon, dass das Wasser von einem Ventilator aufgeblasen wird, um eine Schätzung zu erhalten:
- Wasservolumen: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Obere Wasseroberfläche: $ A_ \ mathrm s = 0.05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Raumtemperatur: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Wassertemperatur: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relative Luftfeuchtigkeit von Wasser in der Raumluft: $ 50 \ \% $
- Konvektionskoeffizient der Wärmeübertragung von einem Ventilator / wind: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Lassen Sie uns „s Angenommen, das Wasser befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit dem umgebenden Raum (einem großen Wärmespeicher), sodass keine schwimmende Konvektion auftritt.
Ich beginne mit dem durch
gegebenen Verdunstungsmassenfluss $$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
und $ h_m $ ist der Stoffübergangskoeffizient. Dies ergibt sich aus der Wärme- und Stoffübergangsanalogie:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
wobei $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ ist die Lewis-Zahl. Der Verdunstungsmassenstrom beträgt also
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Wir können den Dichteunterschied anhand der relativen Luftfeuchtigkeit bei schätzen ~ $ 50 \ \% $ für einen normalen Raum:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Die Lewis-Zahl wird aus der thermischen Luftdiffusionsfähigkeit $ \ alpha = 2.2 \ times 10 ^ {- 5} $ und der binäre Diffusionskoeffizient $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ für die Diffusion von Wasserdampf durch Luft wird durch eine experimentelle Korrelation angegeben (mit $ p $ in $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ mal 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2,072}} {p} = 1,87 \ mal 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2.5 \ times 10 ^ {- 5} $$
Die Lewis-Zahl lautet daher $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0.88 $ . Der Massenstrom von der Oberfläche beträgt
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ mal 0,012} {1,2 \ mal 1000 \ mal 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ mal 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Nun gehe ich davon aus, dass dieser Massenfluss mit der Zeit konstant bleibt, da sich das Wasser in befindet thermisches Quasi-Gleichgewicht mit dem Raum (ein großes Temperaturreservoir) und bleibt daher auf konstanter Temperatur, wodurch die Eigenschaften von Wasser nicht verändert werden.
Massenerhaltung auf dem Wasser ergibt
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Bei der Integration stellen wir fest, dass die zeitliche Geschwindigkeit der Massenänderung linear ist:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
Um vollständig zu verdampfen, $ m (t) = 0 $ und
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1.2 \ times 0.2} {5.5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1.2 \ \ mathrm h $$
Es dauert 1,2 Stunden, bis das Wasser vollständig verdunstet ist.
1 Stunde Verdunstung scheint ziemlich schnell, aber ich habe von Anfang an einen großen Konvektionskoeffizienten verwendet. Einige Gedanken / Fragen:
- Was wäre, wenn kein Fan eine erzwungene Konvektion hätte? Wir haben keine schwimmende natürliche Konvektion oder Strahlung, da sich das Wasser im thermischen Gleichgewicht mit dem Raum befindet. Wie ist die Art der Verdunstung in diesem Fall und wie können wir den Massenverlust berechnen?
- Ich nahm an, dass die Der Verdunstungsmassenverlust ist über die Zeit konstant, da sich das Wasser im thermischen Gleichgewicht mit dem Raum (einem großen Reservoir) befindet und die Temperatur nicht ändert. Ist dies eine gute Annahme?
Kommentare
- Ich habe ' Ihre Arithmetik nicht überprüft, aber Ihr Ansatz ist korrekt. In Bezug auf die Frage, ob es absolut keine Konvektion gibt, dann als Im schlimmsten Fall hätten Sie ein direktes Diffusionsproblem.Das würde bedeuten, dass sich in der Luft, die die Oberfläche des Bechers umgibt, eine Konzentration aufbaut und das Ausmaß dieses Bereichs mit der Zeit zunimmt, mit 100% Luftfeuchtigkeit an der Oberfläche und 50% Luftfeuchtigkeit weit von der Oberfläche entfernt.
- @ChetMiller Das wäre also wie ein semi-infinites Massendiffusionsproblem mit ähnlichen Gleichungen und Lösungen für das semi-infinite Wärmeübertragungsproblem? Der Massenfluss wäre dann zeitabhängig, richtig?
- Aus praktischen Gründen denke ich, dass es ziemlich schwierig ist, die Verdunstungsrate genau zu berechnen. Im Allgemeinen befindet sich eine dünne, stagnierende Luftschicht direkt über der Wasseroberfläche, die eine viel höhere relative Luftfeuchtigkeit als die relative Luftfeuchtigkeit des Raums aufweist, und diese dünne Schicht ist ein wichtiger Faktor zur Begrenzung der Verdunstungsrate. ' glaube nicht, dass es ' eine einfache Sache ist, die relative Luftfeuchtigkeit oder Dicke der Schicht genau zu berechnen oder wie sich diese beiden Parameter ändern können als Funktion der Luftmenge über die Oberfläche. Die Verdunstungsrate kann auch empfindlich auf winziges Öl oder andere Filme auf der Oberfläche reagieren.
- Sicher. Es müsste wahrscheinlich numerisch gelöst werden, es sei denn, Sie wären bereit, die Wasseroberfläche als kleine kreisförmige Fläche zu approximieren, die in eine unendliche Ebene unterhalb des halb-unendlichen Halbraums eingebettet ist. Ich ' bin sicher, dass Carslaw und Jaeger die Lösung für dieses analoge Wärmeübertragungsproblem haben.
- @SamuelWeir Drew ' Die Lösung berücksichtigt die Konzentrationsgrenzschicht über der Oberfläche. Sein Stoffübergangskoeffizient ist gleich dem Diffusionskoeffizienten geteilt durch die Grenzschichtdicke.