Co je aktivace GELU?

Funkce GELU

Můžeme rozšířit kumulativní distribuci $ \ mathcal {N} (0, 1) $ , tj. $ \ Phi (x) $ , takto: $$ \ text {GELU} (x): = x {\ Bbb P} (X \ le x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1+ \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2 }} \ right) \ right) $$

Upozorňujeme, že se jedná o definici , nikoli o rovnici (nebo relaci). Autoři poskytli k tomuto návrhu některá odůvodnění, např. stochastická analogie , avšak matematicky je to jen definice.

Zde je graf GELU:

Tanhova aproximace

U těchto typů numerických aproximací je klíčovou myšlenkou najít podobnou funkci (primárně založenou na zkušenostech), parametrizovat ji a poté přizpůsobit množina bodů z původní funkce.

S vědomím, že $ \ text {erf} (x) $ je velmi blízký $ \ text {tanh} (x) $

a první derivace $ \ text {erf} (\ frac {x} {\ sqrt {2}}) $ se shoduje s textem $ \ text {tanh} (\ sqrt { \ frac {2} {\ pi}} x) $ na $ x = 0 $ , což je $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ , přistoupíme k umístění $$ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + ax ^ 2 + bx ^ 3 + cx ^ 4 + dx ^ 5) \ right) $$ (nebo s více výrazy) na množinu bodů $ \ left (x_i, \ text {erf} \ left (\ frac {x_i} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) $ .

Tuto funkci jsem vybavil 20 vzorky mezi $ (- 1,5, 1,5) $ ( using this site ), and here are the coefficients:

Nastavením $ a = c = d = 0 $ , $ b $ byla odhadnuta na 0,04495641 $ $ . S více vzorky ze širšího rozsahu (tento web povolil pouze 20) bude koeficient $ b $ blíže papírovému s 0,044715 $ . Nakonec dostaneme

$ \ text {GELU} (x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1 + \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) \ simeq 0,5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + 0,044715x ^ 3) \ right) \ right) $

se střední kvadratickou chybou $ \ sim 10 ^ {- 8} $ za $ x \ in [-10, 10] $ .

Upozorňujeme, že pokud ano, nepoužívat vztah mezi prvními deriváty, výraz $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ by byl zahrnut do parametrů takto $$ 0,5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (0,797885x + 0,035677x ^ 3 \ right) \ right) $$ což je méně krásné (méně analytické , numeričtější)!

Využití parity

Jak navrhuje @BookYourLuck , můžeme paritou funkcí omezit prostor polynomů, ve kterých hledáme. To znamená, že $ \ text {erf} $ je zvláštní funkce, tj. $ f (-x) = – f (x) $ a $ \ text {tanh} $ je také zvláštní funkce, polynomická funkce $ \ text {pol} (x) $ uvnitř $ \ text {tanh} $ by měl být také lichý (měl by mít pouze liché síly $ x $ ) mít $$ \ text {erf} (- x) \ simeq \ text {tanh} (\ text {pol} (-x)) = \ text {tanh} (- \ text {pol} (x)) = – \ text {tanh} (\ text {pol} (x)) \ simeq- \ text {erf} (x) $$

Dříve jsme měli to štěstí, že jsme skončili s (téměř) nulovými koeficienty pro sudé síly $ x ^ 2 $ a $ x ^ 4 $ , obecně by to však mohlo vést k aproximacím nízké kvality, které například obsahují výraz jako 0,23x ^ 2 $ , které je zrušeno extra podmínkami (sudými nebo lichými) místo toho, abyste se jednoduše rozhodli pro $ 0x ^ 2 $ .

Aproximace sigmoidů

Podobný vztah platí i mezi $ \ text {erf} (x) $ a $ 2 \ left (\ sigma (x) – \ frac {1} {2} \ right) $ (sigmoid), které je v článku navrženo jako další aproximace se střední čtvercovou chybou $ \ sim 10 ^ {- 4} $ pro $ x \ in [-10, 10] $ .

Zde je kód Pythonu pro generování datových bodů, přizpůsobení funkcí a výpočet průměrných čtvercových chyb:

import math import numpy as np import scipy.optimize as optimize def tahn(xs, a): return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs] def sigmoid(xs, a): return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs] print_points = 0 np.random.seed(123) # xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0, # .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2] # xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8))) # xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6))) xs = np.arange(-10, 10, 0.001) erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs]) ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs]) # Fit tanh and sigmoid curves to erf points tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs) print("Tanh fit: a=%5.5f" % tuple(tanh_popt)) sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs) print("Sigmoid fit: a=%5.5f" % tuple(sig_popt)) # curves used in https://mycurvefit.com: # 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5)) # 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3)) y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs]) tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean() y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs]) tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean() # curve used in https://mycurvefit.com: # 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5) y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs]) sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean() y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs]) sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean() print("Paper tanh error:", tanh_error_paper) print("Alternative tanh error:", tanh_error_alt) print("Paper sigmoid error:", sigmoid_error_paper) print("Alternative sigmoid error:", sigmoid_error_alt) if print_points == 1: print(len(xs)) for x, erf in zip(xs, erfs): print(x, erf) 

Výstup:

Tanh fit: a=0.04485 Sigmoid fit: a=1.70099 Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08 Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08 Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05 Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05 

Komentáře

• Proč je potřeba aproximace? Nemohli ' t pouze použít funkci erf?

Nejprve si všimněte, že $$ \ Phi (x) = \ frac12 \ mathrm {erfc} \ left (- \ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) = \ frac12 \ left (1 + \ mathrm {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt2} \ right) \ right) $$ podle parity $ \ mathrm {erf} $ . Musíme ukázat, že $$ \ mathrm {erf} \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) \ přibližně \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) $$ pro $ a \ přibližně 0,044715 $ .

U velkých hodnot $ x $ jsou obě funkce ohraničeny v $ [- 1, 1 ] $ . U malých $ x $ byla příslušná Taylorova řada přečtena $$ \ tanh (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3} + o (x ^ 3) $$ a $$ \ mathrm {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left (x – \ frac {x ^ 3} {3} \ right) + o (x ^ 3). $$ Nahrazením získáme $$ \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) = \ sqrt \ frac {2} {\ pi} \ left (x + \ left (a – \ frac {2} {3 \ pi} \ right) x ^ 3 \ right) + o (x ^ 3) $$ a $$ \ mathrm {erf } \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) = \ sqrt \ frac2 \ pi \ left (x – \ frac {x ^ 3} {6} \ right) + o (x ^ 3). $$ Rovnací koeficient pro $ x ^ 3 $ , najdeme $$ a \ přibližně 0,04553992412 $$ blízko papíru „s $ 0,044715 $ .