Co je AMDF?

Nikdy jsem neviděl slovo „Formula“ s „AMDF“. Moje chápání definice AMDF je

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ je sousedství zájmu v $ x [n] $ . Všimněte si, že shrnujete pouze nezáporné výrazy. Takže $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Nazýváme „ $ k $ “ „zpoždění“ . Jasně, pokud $ k = 0 $ , pak $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Také pokud $ x [n] $ je periodické s periodou $ P $ (a nechme ho předstírat, že $ P $ je celé číslo), potom $ Q_x [P, n_0] = 0 $ a $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ pro celé číslo $ m $ .

Nyní dokonce pokud $ x [n] $ není přesně periodické, nebo pokud období není přesně celým číslem vzorků (při konkrétní vzorkovací frekvenci, kterou používáte), očekával by $ Q_x [k, n_0] \ cca 0 $ za jakékoli zpoždění $ k $ , které je blízko na období nebo na jakýkoli celočíselný násobek období. Ve skutečnosti, pokud je $ x [n] $ téměř periodický, ale období není na celé číslo vzorků, očekáváme, že budeme schopni interpolovat $ Q_x [k, n_0] $ mezi celočíselnými hodnotami $ k $ a získat ještě nižší minimum.

Můj oblíbený není AMDF, ale „ASDF“ (hádejte, co znamená „S“?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limity_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Ukázalo se, že s tím můžete počítat, protože čtvercová funkce má spojité derivace, ale funkce absolutní hodnoty nikoli.

Zde je další důvod, proč se mi líbí ASDF lepší než AMDF. Pokud je $ N $ velmi velký a hrajeme trochu rychle a volně s limity součtu:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ vpravo) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

kde

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

je obvykle identifikován jako „autokorelace“ $ x [n] $ .

Takže očekáváme, že funkce autokorelace bude obrácenou (a ofsetovou) repliku ASDF. Kdekoli autokorelační vrcholy jsou tam, kde má ASDF (a obvykle také AMDF) minimum.