Pokud tomu rozumím, gravitační vazebná energie nějakého rozdělení hmoty je záporem její gravitační energie sebepotenciálu.
Pokusil jsem se vypočítat druhou pro pevnou sféru o poloměru $ R $, hmotnosti $ M $ a jednotné hustotě.
Podle věty o skořápce (neboli Gaussova gravitačního zákona) je síla pole ve vzdálenosti $ r $ od středu koule dána
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
kde $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ je hmota uzavřená v kouli o poloměru $ r $.
Gravitační potenciál v a vzdálenost $ r $ vytvořená touto distribucí je tedy
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Vlastní gravitační potenciolová energie je součet energií gravitačního potenciálu $ U \ cdot dm $ přes všechny masové prvky $ dm $ v distribuci.
Pojďme pokračovat integrací shellu. Hmotnost obsažená ve skořápce vnitřního poloměru $ r $, vnějšího poloměru $ r + dr $ je jednoduše
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Energie vlastního potenciálu koule je tedy
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
což je přesně polovina správné odpovědi.
Několikrát jsem zkontroloval svou práci, zda neobsahuje jednoduché chyby, ale nezdá se mi, že bych mohl najít zdroj faktoru chyby $ 2 $. To mě vede k přesvědčení, že v tom je něco zásadně špatného způsobem, jakým jsem vypočítal energii.
Kde je problém?
Komentáře
- Ve svém MathJaxu jste ' znovu používá \ big pro velké závorky, což ' nefunguje. Místo toho použijte odpovídající \ left a \ right. \ Big je pevná size, vzhledem k tomu, že \ left a \ right se automaticky zvětší na velikost potřebnou pro uzavřený obsah závorek.
Odpovědět
Problémem je způsob, jakým formujete své granáty – ať už přicházejí zevnitř nebo vně předchozích granátů. Pro vázací energii to znamená množství energie, které by bylo potřeba k postupnému odstranění každé následující skořápky do nekonečna. Potenciál je tedy třeba vypočítat s ohledem na nekonečno, nikoli na původ; váš výraz pro potenciál by naznačoval, že každá skořápka začíná na počátku a expanduje skrz existující hmotu do poloměru $ r $, místo aby se spojila kolem již existujícího jádra zvenčí. Vypočítejte tedy potenciál jako
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Tím by se měl vyřešit faktor dvou.
Terminologie stranou, myslím, že se můžeme shodnout na konceptu velikosti energetických prostředků, takže pozitivní nebo negativní nemají velký dopad. Chcete-li získat představu o integrálu výše, představme si jedinou částici, která je přitahována gravitací stále se tvořící koule (s radius $ r $), spíše než skořápka. Jelikož částice přichází z nekonečna, bude pociťovaný potenciál obvyklým newtonovským gravitačním potenciálem, dokud nenarazí na povrch koule. Nyní každý kousek hmotnost $ dm $ přidané skořápky také pocítí stejný potenciál; můžeme si představit skořápku jako mnoho malých částic přicházejících ze všech směrů současně. Pokaždé, když přidáme skořápku tímto způsobem, $ r \ rightarrow r + dr $, takže $ M_ {enc} $ se odpovídajícím způsobem zvyšuje, což zohledňujeme v integrálu přes $ r $. To je v kontrastu s integrálem s mezemi $ [0, R] $ v otázce, protože takový integrál je více podobný množství energie, které by bylo potřeba k „nafouknutí“ skořápek hmoty směrem ven od počátku. Takový proces by vyžadoval, aby byl míč úplně propustný, protože skořápky se nafouknou na povrch, ale pokud by tomu tak bylo, celý míč by se kvůli své nedostatečné tuhosti okamžitě znovu zhroutil.
Komentáře
- ok. Nejprve vlastně ' nevím, co gravitační vazebná energie. Vím jen, co je to sebepotenciální energie. Energie vlastního potenciálu systému o hmotnosti $ m_1, … m_N $ je součet $ U_ {i, j} $ ve všech párech $ (i, j) $ s $ i < j $ kde $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ je vzdálenost mezi masami $ m_i $ a $ m_j $. To jsem se pokusil vypočítat.
- Zadruhé, váš integrál mi nedává ' smysl. $ M_ {enc} (r) $ by mělo být nahrazeno $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh má pravdu: vzal jsi špatnou definici vazebné energie. Úplný výpočet najdete v tomto článku na Wikipedii: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Ve skutečnosti jsem vypočítal energii sebe-gravitační potencie, což je pouze zápor vazebné energie. Výše jsem popsal sebepotenciální energii, tj. Jednoduše energii distribuce hmoty díky vlastnímu gravitačnímu poli.
- V odpovědi jsem přidal vysvětlení, protože by to ' se sem nehodí v komentářích. Zásadním rozdílem v našich dvou veličinách je množství energie podílející se na odstraňování všech kousků hmoty nekonečně daleko od sebe vs. množství energie potřebné k tomu, aby se koule sama nezhroutila. První z nich je gravitační vazebná energie (díky vlastnímu potenciálu) a druhá je spíše měřítkem minimální tuhosti dané hmoty.
Odpověď
Existují problémy s výpočtem potenciálu a s výpočtem gravitační vazebné energie.
Gravitační pole uvnitř koule je radiálně dovnitř a velikost $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Gravitační pole mimo kouli je radiálně dovnitř a má velikost $ GM / r ^ 2 $.
Gravitační potenciál je práce vykonaná na jednotku hmotnosti, která tuto hmotu přivede z nekonečna na $ r $.
Potenciál v okruhu $ r $ uvnitř koule je $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r „^ 2} \ dr“ + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr „} {R ^ 3} \ dr“ $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Nicméně, to není nutné k výpočtu vazebné energie koule, protože gravitační vazebná energie je součet energií potřebných k odstranění hmotných skořápek z povrchu koule do nekonečna ( představte si odloupávání vrstev z povrchu, dokud se nedostanete do středu).
Potenciál na povrchu koule o hmotnosti $ M „$ je $ -GM“ / R „$, kde je konstantní hustota $ \ rho = 3M „/ 4 \ pi R“ ^ 3 $. Takto $$ V (R „) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R“ ^ 2 $$ a vazebná energie je stejná na $ V (R „) $ vynásobené hmotou skořápky, $ dM = 4 \ pi R „^ 2 \ rho \ dR“ $, integrovaný přes hromadné skořápky od nuly po konečný poloměr hvězdy.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R „^ 2 \ 4 \ pi R“ ^ 2 \ rho \ dR „$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$