Upozornění: První část této odpovědi zaujímá k postupu BRST velmi technický postoj a navíc pracuje s konečným trojrozměrným fázovým prostorem pro pohodlí. Mohlo by se to zdát docela daleko od chápání duchů v průměrné aplikaci transformací BRST nebo duchů jako nástroje.

---

Obecná koncepce duchů

Existuje mnoho různých úrovně, na kterých lze diskutovat o vzhledu duchů, anti-duchů a jejich počtu v omezené hamiltonovské mechanice (což je stejné jako teorie měřidel na Lagrangeově úrovni). Jeden z nich je částečně načrtnut v této mé odpovědi , kde je operátor BRST vystaven jako rozdíl v cohomologii Lie Algebra cohomology.

V této odpovědi se podíváme na trochu jiný způsob pohledu na duchy, konkrétně “ rozšířením fázového prostoru „, i když lze to považovat za přeformulování přístupu cohomologie Lie Algebry v “ pojmech fázového prostoru „:

Formulář BRST na abstraktní úrovni usiluje o implementaci redukce na omezující povrch $ \ Sigma $ ve fázovém prostoru $ X $ nikoli řešením omezení $ G_a $ , ale hledáním vhodného zvětšení fázového prostoru tak, aby funkce ve zvětšeném fázovém prostoru měly odstupňovaná derivace $ \ delta $ žijící na těch, jejichž ho mology počítá funkce na omezujícím povrchu, kterými jsou pozorovatelné invariantní měřidla. ¹

Zvětšený fázový prostor se získá takto:

1. Funkce na omezující ploše $ \ Sigma $ je dána podílem všech funkcí fázového prostoru modulo funkcí mizejících na povrchu. Každá funkce $ f $ mizející na povrchu je dána $$ f = f ^ a G_a $$ kde $ f ^ a $ jsou libovolné funkce fázového prostoru. Pokud někdo zavede tolik proměnných $ P_a $ , kolik je omezení, a definuje $ \ delta P_a = G_a $ stejně jako $ \ delta z = 0 $ pro libovolnou původní proměnnou fázového prostoru, pak obrázek $ \ delta $ jsou přesně všechny funkce, které zmizí na $ \ Sigma $ . Aby bylo možné $ \ delta $ klasifikovat, je třeba brát $ P_a $ na stupeň $ 1 $ . Stupeň funkce jako jednoduše její stupeň jako polynomu v $ P_a $ se nazývá anti- číslo ducha . ²

2. $ P_a $ jsou osamělí a potřebují konjugované proměnné. Ty jsou dány takzvanými podélnými 1-formami na omezující ploše, kde podélné vektorové pole na omezující ploše je takové, které je tečné k oběžným dráhám měřidla. Jejich duály jsou 1-formy, které jsou definovány pouze na podélných vektorech. Mělo by být geometricky intuitivní (a je to ve skutečnosti pravda), že podélná vektorová pole jsou přesně ta pole, která generují transformace měřidla (jsou opět jen další inkarnací měřicí Lieovy algebry). Existuje tedy tolik základních podélných 1 forem $ \ eta ^ a $ , kolik je omezení a kolik anti-duchů $ P_a $ .Jelikož existuje přirozená akce $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ podle definice duálu, je také přirozené definovat Poissonovu závorku na zvětšeném fázovém prostoru se souřadnicemi $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ od $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ , takže páry $ (\ eta ^ a, P_a) $ fungují jako další páry kanonických proměnných. Odvození je rozšířeno na $ \ eta $ jednoduše o $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ rozpětí>. Funkcím tohoto rozšířeného fázového prostoru je nyní přiřazeno čisté číslo duchů na základě jejich stupně v $ \ eta $ .

Vzhledem k jakékoli funkci ve zvětšeném fázovém prostoru je duch number je prostě čisté číslo duchů minus číslo proti duchům.

Na čísle duchů je hezké to, že jde o náboj určitého generátoru – měří se operátorem ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ který splňuje $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ pro jakoukoli funkci určitého ducha číslo. Duchové číslo je fyzicky důležité, protože být stavem duchového čísla nula je spolu s podmínkou, že je BRST invariantní, nezbytnou a dostatečnou podmínkou fyzického stavu.

Získání této podmínky však vyžaduje nyní získáváme rozdíl BRST přidáním dalšího rozdílu $ \ mathrm {d} $ do $ \ delta $ , a ukazuje, že $ \ delta + \ mathrm {d} $ dává, když “ malé odchylky “ jsou přidány, nilpotentní operátor vyžadovaný pro BRST formalismus. (Odvození je velmi technické a někdy známé jako “ věta teorie homologické perturbace „) Znovu zkoumáme akce $ \ mathrm {d}, \ delta $ , zjistíme, že funkce invariantního měřidla jsou přesně ty invariantní pod operátorem BRST s nulovým počtem duchů, takže kvantová teorie by také měla uložit toto omezení.

---

^{1 “ jehož homologie počítá “ je matematika hovořící za to, že je to operátor $ \ delta $ , kde funkce měřicího invariantu jsou přesně funkce s $ \ delta (f) = 0 $ a kde identifikujeme $ f $ a $ g $ pokud existuje $ h $ takový, že $ \ delta (h) = f – g $ rozpětí>. To se také trochu komplikuje v případě redukovatelných omezení.}

^{2 V případě neredukovatelných omezení to již správně počítá měřidlo -invariantní funkce a zde by se dalo v zásadě zastavit. Je však neuspokojivé přidávat $ P_a $ , ale nemít pro ně vhodně konjugované proměnné v hamiltonovském formalismu.}

^{3 Tato definice je diskrétní, nekonformní analogie výrazu pro $ U $ , který je uveden v otázce.}

^{Hlavní reference: “ Kvantování měřicích systémů “ od Henneaux / Teitelboim}

---

Specifický případ $ bc $ -CFT

Obecný “ $ bc $ -CFT „, tj. 2D teorie konformního pole s poli podobnými duchům je dána akcí duchů $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ částečné c (z ) + b (z) \ částečné c (z) \ pravé) $$ , když pole $ b $ a $ c $ lázně n> mají konformní váhy $ h_b $ a $ h_c = 1 – h_b $ . Funkce fázového prostoru s nulovým číslem duchů se nyní překládají na operátory s konformní hmotností $ 1 $ (protože mají v sobě stejný počet duchů a anti-duchů a váha se chová aditivně) ).

To ukazuje, že primární fyzikální stavy (korespondencí stavového pole 2D CFT) v takové teorii musí mít nutně konformní váhu $ 1 $ .To je důležité v teorii řetězců, kde $ bc $ -CFT s $ h_b = 2 $ je přirozeně přidáno do $ X $ -CFT polí světového listu. U obecného CFT mohou být všechny možné primárky v zásadě fyzikální stavy, ale procedura BRST vynutí nulové stavy duchů číslo, tj. Pole s váhou $ 1 $ , jako pouze povolené fyzické stavy.

Komentáře

• Toto je velmi podrobná odpověď, ale můžete uvést také příklad použití čísel duchů v CFT ?
• @JakeLebovic: Přidal jsem krátké vysvětlení, jak se požadavek nulového počtu duchů odráží v případě teorie strun (což je jediný známý případ, kdy se duchové objevují v CFT).

V teorii konformního pole v rovině musíte definovat vnitřní produkt v prostoru stavy vaší teorie. V bosonické teorii strun je prostor států, tj. Hilbertův prostor teorie $ \ mathcal {H} $, prostor reprezentace Virassoroovy algebry:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

V radiální kvantizaci CFT na komplexní rovině lze ke každému stavu v Hilbertově prostoru teorie přiřadit místní operátor na komplexní rovině, tzv. korespondence stavu operátora . Lze definovat vnitřní produkt BPZ v tomto Hilbertově prostoru. První věcí je definovat asymptotické stavy $ | 0 \ rangle $ a $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {na počátku} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {operátor identity} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {v nekonečnu} \, \, z = \ infty $$

Tyto dva mohou souviset s konformní transformace $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Lze ukázat, že při této konformní transformaci se režimy $ \ hat {\ alpha} _n $ pole $ \ Phi $ konformní dimenze $ h _ {\ Phi} $ transformují jako:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Takže pod konformní transformací máme následující:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

To pro Virasoro algebru znamená, že $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ a $ L_1 $ a jejich anti-holomorfní protějšky $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ a $ \ overline {L} _1 $ ničí jak $ | 0 \ rangle $, tak $ \ langle0 | $. Ale tyto režimy generují skupinu $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, skupinu globální konformní transformace na Riemannově sféře. $ | 0 \ rangle $ je tedy známé jako $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – invariantní vakuum.

Na druhou stranu lze pomocí $ (1) $ ukázat, že $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ a $ b_1 $ také ničí $ | 0 \ rangle $ i $ \ langle0 | $. Kanonický komutační vztah systému $ bc $ ukazuje, že:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

takže režimy $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ a $ c_1 $ nezruší žádný z $ \ rvert0 \ rangle $ a $ \ langle0 \ rvert $. První nenulový maticový prvek pro systém $ bc $ v Riemannově sféře je tedy:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

Konjugace BPZ, tj. relace (1) porušuje číslo přízraku o 3 jednotky. Akce systému $ bc $ má následující souměrnost čísel přízraků:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Odpovídající proud je:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Ve kterém $: \ cdots: $ označuje normální řazení.

Původ porušení výše popsaného čísla duchů je geometrický. $ j $ je aktuální číslo fermionu chirálních fermionů, které mají nekonverzní celočíselný spin ($ b $ a $ c $ oba mají celočíselný spin). Takže má gravitační anomálii:

$$ \ částečné_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Ve kterém $ \ lambda $ je konformní dimenze $ b $. Jeho integrací lze vidět, že narušení počtu přízraků na povrchu rodu $ g $ Riemann (světový list teorie uzavřených řetězců) je $ 3 (g-1) $. Význam duchového proudu je v tom, že určuje nenulové prvky S-matice CFT.