Co je Fermiho povrch ? Doufám, že tato otázka není pro toto fórum příliš elementární, a předem se omluvte, pokud ano.

Dovolte mi vysvětlit můj zmatek. Vzhledem k solidnosti věřím, že mám určitý cit pro úroveň Fermi. Chápu to například jako charakteristický parametr $ \ mu $ ve Fermi-Diracově distribuci energetických hladin pro elektrony v systému: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ prozatím ignoruje další fyzické interpretace. Jedná se tedy o jedinečnou energetickou hladinu, která má pravděpodobnost 1/2 obsazení.

Definice povrchu Fermi se naproti tomu obvykle uvádí jako „izo-povrch stavů s energií rovná se Fermiho úrovni „v trojrozměrném prostoru vlnových vektorů $ k $ , například v tomto článku Wikipedie:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Jinými slovy, jsou definovány jako $ k $ takový, že $$ E (k) = \ mu. $$ Zatím tak dobrý. Problém je v tom, že zcela nerozumím, co je $ E (k) $ .

Jedna situace se zdá být přímočará, konkrétně Fermi plyn stejných částic. Potom $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ a Fermiho povrch je koule. Pokud však jsme v nekonečném periodickém potenciálu, obvyklém idealizovaném modelu pro Blochovu teorii, pak řešení Schroedingerovy rovnice vychází ve tvaru $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ kde $ u_ {kn} $ je periodická funkce a $ n $ je diskrétní index pro energetické úrovně. Jinými slovy, pro každý vlnový vektor $ k $ ,

existuje mnoho energetických úrovní $ E_n (k) $ .

Takže rovnice pro Fermiho povrch by ve skutečnosti vypadal jako $$ E_n (k) = \ mu. $$ Moje otázka proto, Jaká je energetická úroveň $ E (k) $ , která se vyskytuje v definici povrchu Fermi? Možná, že pro každou úroveň $ n $ existuje jeden Fermiho povrch? (Za předpokladu, že se úrovně v prostoru hybnosti mění nepřetržitě, což nám umožňuje důsledně indexovat úrovně pro různé $ k $ .)

Kdybych mohl rozpracovat svůj zmatek trochu víc, nerozumím definici v této odpovědi na tuto otázku:

Co je povrch Fermi a proč je tento koncept tak užitečný ve výzkumu kovů?

Uvádí se, že

„Fermiho povrch je prostě povrch v hybném prostoru, kde na hranici nulových interakcí všechny fermionové stavy s hybností (krystalu) $ | k | < | k_F | $ jsou obsazené a všechny stavy vyšší hybnosti jsou prázdné. „

Za prvé, jak je uvedeno výše, pro každou hybnost $ k $ existuje je nekonečná posloupnost stavů fermionu. Dalším problémem je, že si nejsem jistý, zda výše uvedené tvrzení definuje jedinečný povrch, i kdybych byl schopen určit fermionový stav $ \ psi (k) $ pro každý $ k $ , kterého se prohlášení týká. (Potřeboval bych nakreslit obrázek, který by vysvětlil tento bod, k čemuž nemám takové kompetence.)

Komentáře

  • Fermi povrch je definován při teplotě absolutní nuly, takže vezmete řešení základního stavu $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • A v tělese se podíváte na stavy v ( Wigner-Seitz) jednotková buňka.
  • Citron: Zdá se mi to také docela matoucí. Vaše prohlášení by tedy bylo ‚ Povrch Fermi je sada $ k $ takový, že $ E_0 (k) = \ mu $, ‚ kde $ E_0 (k) $ je nejnižší energie s hybností $ k $. Ale pak v tělese, kde mnoho z nižší energetická pásma jsou vyplněna, nad úrovní Fermiho by bylo mnoho elektronů. Zdá se, že to nesouhlasí s obvyklým obrázkem.
  • Jon Custer: Myslím, že ‚ odkazuje na skutečnost, že každý z $ u_ {kn} $ je určen svými hodnotami v buňce. To ‚ je pravda. Neexistují však žádné státy, které jsou jen konc vložen do buňky. ($ U_ {kn} $ jsou periodické.) V každém případě nechápu ‚ jak to odpovídá na otázku.Způsob, jakým to formulujete, zní jako ‚ pro každý $ k $, v buňce je jedinečný $ \ psi_ {kn} $ koncentrovaný v buňce a jeho energie je používáme k definování povrchu Fermi. ‚ To nezní ‚ z různých důvodů správně.

Odpověď

Všechno, co říkáte, je správné. Fermiho povrch je definován jako množina bodů $ k $, takže $ E_n (k) = \ mu $ pro jakékoli pásmo $ n $. Obvykle jsou však pásy rozmístěny relativně daleko od sebe a nepřekrývají se energií, například takto:

zadat obrázek popis zde

Jak vidíme, pásy 1 a 3 leží zcela nad nebo zcela pod chemickým potenciálem $ \ mu $, a proto jsou pro určení povrchu Fermi irelevantní ( ve skutečnosti jsou tyto pásy při nízkých teplotách do značné míry irelevantní pro jakékoli fyzikální jevy – fyzicky důležité jsou pouze pásma blízké chemickému potenciálu). Proto v praxi můžete uniknout pouhým zvážením jeden nebo dva pásy a úplně ignoruje všechny ostatní – a když tam je povrch Fermi (tj. chemický potenciál protíná pás (pásy)), jeden pás je téměř vždy dostačující.

Ve složitějších / neobvyklých systémy však musíte sledovat více pásem. Například se někdy mohou pásy dotknout nebo protínat a mohou se stát zábavné věci, pokud naladíte chemický potenciál přesně na ossing point. Ještě neobvykleji mohou dvě pásma sdílet celou konečnou škálu energie – např. dvě kosinové křivky posunuty svisle o malé množství. Ale tyto případy jsou velmi vzácné – pro většinu běžných materiálů sedí $ \ mu $ nanejvýš v jednom pásmu a nemusíte si s tím dělat starosti. (Ve skutečnosti profesionální fyzici rádi hledají / vytvářejí neobvyklé materiály, kde chemický potenciál sedí přímo na přechodu pásma, přesně protože takové systémy nejsou „teoreticky dobře srozumitelné, takže je toho ještě co se naučit.)

BTW, v 1-D, stejně jako výše uvedený graf, „povrch“ Fermi se skládá pouze z izolovaných hodnot $ k $, ale ve 2-D je to obvykle uzavřená křivka v rovině $ k_x $ – $ k_y $ , a ve 3D to je obvykle uzavřený povrch, jako koule. Někdy může Fermiho povrch ve skutečnosti sestávat z dvou (nebo více) koulí, jedna uvnitř druhé a vyplněná “ Fermiho moře „pro relavantní pásmo leží mezi nimi . Tento jev se nazývá„ Fermiho povrchové hnízdění. „Pokud se ale jen učíte o Fermiho povrchu, nebudete se s nimi muset bát. komplikované situace po dlouhou dobu.

Komentáře

  • Děkujeme za jasnou odpověď. Mimochodem, ‚ jsem se shromáždil, když je použito slovo ‚ band ‚ ve fyzice pevných látek dvěma odlišnými způsoby. Slovo, které zde použijete, se týká pouze energetické úrovně. Existuje však také pojem pásma jako v podstatě nepřetržitého rozložení energetických úrovní, mezi nimiž jsou ‚ mezery. ‚ Myslím, že toto byla hlavní část mého zmatku. Opravte mě, pokud se ‚ v tom mýlím.
  • @MinhyongKim A “ band “ je definován jako jedna křivka $ E_n (k) $ pro danou hodnotu $ n $. (Myslím, že je ‚ poněkud zavádějící nazývat “ energetickou hladinu “ protože funkce obecně není konstantní, takže přijímá hodnoty v celém konečném intervalu energií.) Lidé občas zneužívají terminologii a také používají slovo “ band “ odkazovat na energetický interval, přes který se funkce pohybuje – tj. kolaps závislosti hybnosti. Máte ‚ pravdu, že na to lidé myslí, když mluví o “ mezerách v kapele. “ Ale dva smysly “ pásma “ jsou opravdu téměř totožné …
  • .. . jediný rozdíl je v tom, zda sledujete závislost na $ k $, nebo jen vezmete v úvahu rozsah funkce ‚ s.
  • Díky za další vysvětlení. Ale zdá se mi poněkud důležité rozlišovat dva smysly. Pokud bylo slovo ‚ band ‚ používáno ve smyslu struktury elektronického pásma, pak rovnice $ E_n (k) = \ mu $ by ‚ nebylo dobře definováno ani pro pevnou hodnotu $ n $. To byla jedna z velmi matoucích věcí pro nováčka, jako jsem já. V každém případě ještě jednou děkuji!

Odpovědět

Fermiho povrch je povrch ve vzájemném prostoru ( duální skutečný prostor, ve kterém žijete) vymezující fermionické obsazené stavy od fermionických neobsazených při nulové teplotě.Jedná se tedy spíše o konstrukci hybnosti ($ k $) než o konstrukci energetickou.

Logika je následující: zkuste dát dohromady daný počet fermionů. Jelikož se řídí Pauliho zásadou vyloučení, nemůžete tyto fermiony zabalit tak, jak chcete. Pokaždé, když je v prostoru hybnosti nějaký prostor pro stav, může tuto prázdnou místnost obsadit pouze jeden fermion. Musíte tedy začít shromažďovat fermiony. Má úplnou analogii s naplněním knihovny knih: další řádek musíte použít, když je předchozí plný. Můžete použít menší intervaly mezi surovinami, zvětšit velikost každé suroviny, …, pokud máte příliš mnoho knih, můžete použít další surovinu, což není nic jiného než použití další větve hybnosti ve vašem rozptylovém vztahu (to, co nazýváte $ k_n (E) $). Když vložíte poslední fermion do své fermionové knihovny , odpovídající stav hybnosti se bude jmenovat Fermiho hybnost, odpovídající energie se bude jmenovat Fermiho energie, … a povrch iso- $ k $ na Fermiho hybnosti se nazývá Fermiho povrch.

Nyní několik poznámek

  • Nikdy nebude existovat nekonečný počet větví použitých k vyplnění konečné počet fermionů v disperzních vztazích (pásová struktura materiálu, pokud chcete).

  • Neexistuje žádný rozpor v předpokladu, že povrch Fermi má několik listů. Dokonce i na Wikipedii již máte příklad povrchu Fermi s elektronovými a děrovými kapsami

  • Koncept povrchu Fermi pochází z pojmu (Fermi-Dirac) statistik, kdy máte k dispozici konečný počet částic (ve starověké terminologii je to druhý kvantovaný problém), zatímco struktura pásma je kompletní spektrum dostupných stavů pro jeden částice (ve starověké terminologii se jedná o první kvantovaný problém) v periodickém potenciálu. Snadný způsob přechodu z jednoho do druhého je použití chemického potenciálu, který fixuje počet částic na energetický stav (přesněji množství energie potřebné k přidání částice do termodynamického systému).

  • Fermiho povrch je obzvláště užitečným konceptem pro pochopení několika transportních vlastností (elektrických, tepelných, … transportních) pro materiály s jednoduchými pásovými strukturami, jako jsou čisté kovy a dotované polovodiče. Když se Fermiho povrch stane příliš komplikovaným, je obtížné z něj vyvodit jakoukoli intuici. Myslím, že to je jádrem nepochopení konceptu ve vaší otázce.

Komentáře

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *