Co je to frekvenční rozlišení?

Upravit:

Uvědomil jsem si, že moje níže uvedená definice " frekvenčního rozlišení " je zcela špatně (stejně jako otázka OP). Frekvenční rozlišení je to, jak velká je velikost funkce okna ve frekvenčním prostoru s funkcí Dirac delta. Je to proto, že produkt okna a signál v časové doméně se ve frekvenční doméně konvoluce ( a konvoluce s delta funkcí Dirac je vzorkování, které by poskytlo dokonalé rozlišení frekvence) Čím tlustší je hlavní lalok (kvantifikovaný podle jeho rozptylu), a čím vyšší jsou postranní laloky, tím horší je frekvenční rozlišení. Časové rozlišení lze navíc kvantifikovat jako rozptyl funkce okna v časové doméně.

Rozlišení frekvence není rozlišení / šířka zásobníku. V níže uvedeném grafu si všimněte, že laloky se nepřiblíží (rozlišení frekvence), i když se šířka koše zmenšuje.

Kredit: Dan Boschen

Rozlišení frekvence je spíše vlastností Fourierovy transformace obdélníkové funkce (tj. funkce sinc).

Musíme pracovat s funkcemi okna, abychom mohli pracovat s Fourierovými transformacemi (i když pracujeme teoreticky). V důsledku toho vždy pracujeme spíše s $ f (t) w (t) $ než s funkcí $ f (t ) $ sám (zde $ w (t) $ je obdélníková funkce). Podle věty o konvoluci je Fourierova transformace funkce v okně vždy konvolucí $ \ hat {f} $ s $ \ klobouk {w} = $ sinc. Zejména když je $ f $ sinusový, $ \ hat {f} $ bude funkce Dirac delta a konvoluce bude jen vzorkováním funkce sinc. Při vytváření okna tedy periodicky zcela ztrácíme frekvence, periodicitou této ztráty je frekvenční rozlišení .

Vzhledem k tomu, že u funkcí s okny je DTFT periodickou aproximací CTFT, získává také tyto vlastnosti.

Zmatek nastává, protože když do DFT nenaplníme nuly sample $ f (t) w (t) $ kde $ w (t) = 1 $ ), šířka koše se rovná frekvenčnímu rozlišení.

Můžeme však také vyložit nuly (tj. také ukázku $ f (t) w (t) $ kde $ w (t) = 0 $ ) a výsledkem je lepší interpolace DTFT z DTFT $ f (t) w (t) $ . Confer with the first graph.

Chcete-li zjistit, proč je Fourierova transformace obdélníkové funkce, je skutečná funkce sledovat toto video a zvažte vinutí sinusových funkcí (je to docela zapojené)

Chcete-li odpovědět příkladem OP, je rozlišení bin $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ , kde $ F_s = 2000 $ Hz je vzorkovací frekvence a $ N $ velikost DFT.

Rozlišení frekvence je takové, jaké by bylo rozlišení přihrádky, kdybychom pouze odebírali vzorky v okně (bez nulové výplně)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ kde $ M $ je počet vzorků v okně, $ T $ je doba trvání vzorku a $ F_s = M / T $ .

Komentáře

• Pěkná odpověď Tom.Chcete-li také přidat, pokud není jasné, často ' t ve skutečnosti nepoužíváme obdélníkové okno, ale jiná okna, která se zužují, slouží k výraznému zmenšení postranních laloků (zlepšení dynamického rozsahu) na úkor degradace frekvenční rozlišení dále. Jeden z mých oblíbených klasických článků o tomto a obecně o aplikacích DFT je od Freda Harrisa. Myslím, že si to ' opravdu užijete, pokud jste to ještě ' ještě neviděli: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Pěkné, škoda, že nemohu ' hlasovat dvakrát!
• @TomHuntington Wikipedia zjevně ' neví o mých vzorcích nebo technikách. Stále mám potíže s rozlišením intrabinů (kvůli hluku a citlivosti rovnic), ale blízké frekvence jsou vyřešitelné iterativním odhadem a odstraněním. Když odstraníte velký tón, lze odhadnout ten menší. Když odstraníte malý tón, získáte lepší čtení u velkého. A tak dále, dokonce is několika tóny. Matematiku komplikuje jakýkoli druh okna.
• Pokud máte dva sinusoidy s téměř stejnou amplitudou, ale velmi blízkou frekvencí, můžete v časové oblasti použít fenomén beatu. Zdánlivá frekvence signálu (průchodem nuly) je průměrem dvou frekvencí a frekvence obálky (pokud vezmete celý cyklus, např. Dva laloky) je polovina rozdílu frekvencí.
• Rozlišení také definuje vaši přesnost v tom, co měříte. Neříká nic o přesnosti.

Trochu záleží na tom, čeho se snažíte dosáhnout.

Pokud provedete FFT o délce $ N $ signálu vzorkovaného při vzorkování rychlostí $ F_s $ , pak by mnoho lidí řeklo, že vaše frekvenční rozlišení je $ \ frac {F_s} {N} $ . Ať už je to správné, nebo ne, opravdu záleží na tom, jak přesně definujete frekvenční rozlišení a co s ním plánujete dělat.

Ve skutečnosti se děje to, že vzorkujete funkci frekvenční domény se vzorkováním interval $ \ frac {F_s} {N} $ . Jakmile vyberete velikost FFT, odebíráte vzorky v obou doménách, přičemž intervaly vzorkování jsou $ \ frac {1} {F_s} $ v čase a $ \ frac {F_s} {N} $ ve frekvenci.

Vzorkování ve frekvenční doméně má všechny stejné vlastnosti, požadavky a problémy jako vzorkování v časové doméně, můžete získat aliasing, můžete interpolovat, předpokládá se periodicita v jiné doméně atd.

Pouhým použitím věty o vzorkování bychom mohli tvrdit, že frekvenční rozlišení vyžadované k úplné charakterizaci signálu je jednoduše inverzní k délka v časové doméně. To funguje dobře pro signály, které jsou neodmyslitelně časově vázané, jako je impulsní odezva systému LTI.

Není to však praktické pro dlouhé spojité signály. V tomto případě musíte zvolit frekvenční rozlišení, které je pro vaši aplikaci „dostatečně dobré“ a které opravdu závisí na požadavcích a cíli vaší aplikace. konkrétní aplikace.

Vzorkování je dáno $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [s].
Délka okna je 1 000 vzorků.
Protože délka okna musí být stejná jako délka dat, odvozujeme délku dat 1 000 vzorků. což znamená, že doba vzorkování je $ 0,5 $ [s].

Rozlišení Bin v DFT je poměr mezi intervalem vzorkování a počtem DFT Samples, což je v tomto případě 2000. Rozlišení bin je tedy $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Binwidth of FFT or the resolution of repreantation as I like to call it is Fs / N, where N is size of FFT. Skutečné rozlišení bude záviset na použitém okně a délce okna.

Například: obdélníkové okno poskytne maximální rozlišení, ale méně dynamický rozsah. Další plynulejší okna poskytují menší rozlišení s větším dynamickým rozsahem nebo nižšími laloky.