Stále vidím pojmy podmínky prvního řádu a podmínky druhého řádu používané v mé třídě ekonomie na úrovni výrobních funkcí, monopolů atd., ale netuším co tyto pojmy znamenají. Vypadá to jako zcela nejednoznačný termín. Jaké podmínky?
Může někdo vysvětlit, co tyto pojmy znamenají? Pokud je kontextově závislý, poskytněte některé z nich nejzákladnější významy, které s tímto pojmem spojujete.
Odpovědět
Předpokládejme, že máte diferencovatelnou funkci $ f (x) $, kterou chcete optimalizovat výběrem $ x $. Pokud je $ f (x) $ užitek nebo zisk, pak chcete zvolit $ x $ (tj. Vyprodukovaný balíček spotřeby nebo množství), aby byla hodnota $ f $ co největší. Pokud je $ f (x) $ nákladová funkce, pak chcete zvolit $ x $, aby byl $ f $ co nejmenší. FOC a SOC jsou podmínky, které určují, zda řešení maximalizuje nebo minimalizuje danou funkci.
Na základní úrovni obvykle platí, že musíte zvolit $ x ^ * $ tak, aby se derivace $ f $ rovnala nule: $$ f „(x ^ *) = 0. $$ Toto je FOC. Intuicí této podmínky je, že funkce dosáhne svého extrému (maxima nebo minima), když je její derivace rovna nule (viz obrázek níže). [Měli byste si být vědomi toho, že existuje více zúčastněné jemnosti: vyhledejte výrazy jako „řešení interiéru vs rohu“, „globální vs. místní maximum / minimum“ a „sedlový bod“, abyste se dozvěděli více].
Jak však ukazuje obrázek, jednoduché zjištění $ x ^ * $ kde $ f „(x ^ *) = 0 $ nestačí k závěru že $ x ^ * $ je řešení, které maximalizuje nebo minimalizuje objektivní funkci. V obou grafech funkce dosáhne nulového sklonu na $ x ^ * $, ale $ x ^ * $ je maximalizátor v levém grafu, ale minimalizátor v pravém grafu.
Chcete-li zkontrolovat, zda je $ x ^ * $ maximalizátor nebo minimalizátor, potřebujete SOC. SOC pro maximalizátor je $$ f „“ (x ^ *) < 0 $$ a SOC pro minimalizátor je $$ f „“ (x ^ *) > 0. $$ Intuitivně, pokud $ x ^ * $ maximalizuje $ f $, sklon $ f $ kolem $ x ^ * $ klesá. Vezměte levý graf, kde $ x ^ * $ je maximalizátor. Vidíme, že sklon $ f $ je kladný vlevo od $ x ^ * $ a záporný vpravo. Takže kolem okolí $ x ^ * $, jak se $ x $ zvyšuje, $ f „(x) $ klesá. Intuice pro případ minimalizátoru je podobná.
Komentáře
- Proč ale ' není volán " První test derivátů " je pro mě stále záhadou.
Odpověď
Například když mluvíte o maximalizace zisku počínaje funkcí zisku $ \ pi (q) $, hlavní podmínkou maxima je, že: $$ \ frac {\ částečné \ pi} {\ částečné q} = 0 $$ Toto je FOC (první řád podmínka).
Abyste se ujistili, že to, co jste našli výše, je pravda maximum, měli byste také zkontrolovat „sekundární“ podmínku, která je: $$ \ frac {\ částečné ^ 2 \ pi} {\ částečné q ^ 2} < 0 $$ Tomuto se říká SOC (podmínka druhého řádu).
Odpověď
Cílem je najít lokální maximum (nebo minimum) funkce.
Pokud f unction lze rozlišit dvakrát:
- První test derivátů vám řekne, zda se jedná o lokální extrém.
- druhý test derivátů vám řekne, zda se jedná o místní maximum nebo minimum.
V případě, že funkce není diferencovatelná, můžete provést obecnější extrémní test .
Poznámka: není možné sestavit algoritmus k nalezení globální maximum pro libovolnou funkci .
Neoklasičtí ekonomové tyto dvě matematické metody určitě přejmenují na podmínky prvního řádu a podmínky druhého řádu , aby vypadaly skvěle nebo z jiných historických důvodů. Proč používat název, který je široce používaný, když si ho můžete jen vymyslet?
Termín se také používá při omezené maximalizaci , když používají Lagrangeův multiplikátor a Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky . Opět si nemyslím, že tento termín používá neekonom.