Co znamená exponenciální člen ve Fourierově transformaci?

Je to komplexní exponenciál, který se navždy otáčí v kruhu komplexní rovinné jednotky:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Fourierovu transformaci můžete považovat za výpočet korelace mezi $ f (t) $ a komplexním exponenciálem každé frekvence a srovnáním jejich podobnosti. Složité exponenciály jako takové mají pěknou kvalitu, že mohou být časově posunutím jejich vynásobením komplexním počtem jednotek magni tude (konstantní komplex exponenciální). Pokud je výsledkem Fourierovy transformace na konkrétní frekvenci nereálné komplexní číslo, pak lze komplexní exponenciál této frekvence vynásobit tímto komplexním číslem, aby se posunul v čase tak, aby korelace s $ f (t) $ je maximalizováno.

Pokud neradi přemýšlíte o imaginární čísla, komplexní čísla a funkce, můžete alternativně uvažovat o komplexním exponenciálu ve FT jako o zkratce pro hromadné spojování sinusové i kosinové vlny (stejné frekvence) do jedné funkce, která vyžaduje méně křídy na tabuli napište.

Ať už je to Fourierova transformace nebo Laplaceova transformace nebo Z transformace atd. exponenciální je vlastní funkce lineárních a časově invariantních (LTI) operátorů . pokud exponenciální funkce „času“ přejde do LTI, vyjde exponenciální, stejně jako to (ale v měřítku vlastní hodnoty). co F.T. dělá je rozdělit obecnou funkci na součet těchto exponenciálů. to lze vidět při pohledu na inverzní Fourierovu transformaci.

Fourierova transformace:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

převádí funkci na integrál harmonických funkcí. Můžete je považovat za hříchy a kosiny, protože $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Fourierova transformace jako spojitá forma Fourierovy řady, která transformuje jakýkoli periodický signál na součet dalších skutečných periodických (harmonických) signálů:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

Ve Fourierově transformaci můžete uvažovat o koeficientech $ a_n $ a $ b_n $ překračující hodnoty spojité funkce. Pro další srovnání je zde komplexní verze série:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Komentáře

• Zkuste se držet jedné nezávislé proměnné, buď $ t $ nebo $ x $, ale ne obojí. Dále zkuste najít lepší slovo než ‚ hearken ‚, které ‚ Zde to nedává smysl.
• Chybí vám také $ \ omega $ v argumentech sinusoid a exponenciální funkce: $ \ cos (n \ omega t) $ atd.
• @MattL. Potřebuji $ \ omega $? Fourierova transformace má $ e ^ {i \ omega t} $, ale v seriálu je místo “ $ n $ “ $ \ omega $. Není to ‚ správné?
• Ne, $ \ omega = 2 \ pi / T $, kde $ T $ je období $ f (t) $, tj. pokud $ T = 2 \ pi $ nepotřebujete $ \ omega $.
• Dobře. Chápu, co máte na mysli.

Zvažte případ $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Potom

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

When $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , obě integrands oscilují kolem nuly a integrály jsou ve skutečnosti nulové.Jedinými nenulovými výsledky jsou

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

což je často vyjádřeno jako $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Slovy, pro libovolná zadaná hodnota argumentu $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ factor převádí komponentu $ f (t) $ v této frekvenci na $ 0 $ a všechny ostatní komponenty od nuly. Potom nekonečný integrál vytvoří míru síly komponenty na $ 0 $ .

Všimněte si, že pokud $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , pak $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ rozpětí>. Ve skutečnosti to znamená, že znak $ \ omega_0 $ lze jednoznačně odvodit z funkce $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Nelze jej odvodit z $ \ cos (\ omega_0 t) $ , protože je trigonometricky identický s $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Fourierova transformace zpracovává tuto nejednoznačnost tím, že nenulové odpovědi poskytuje jak $ \ omega = \ omega_0 $ , tak i $ \ omega = – \ omega_0 $ . To neznamená, že $ \ cos (\ omega_0 t) $ obsahuje obě frekvence, protože $ \ omega_0 $ může mít pouze jednu hodnotu. Správná interpretace je, že $ e ^ {i \ omega_0 t} $ obsahuje více informací, ne méně než $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Vzorec $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ vypadá jako další informace, ale ve skutečnosti jde o zrušení informací.

Komentáře

• “ To neznamená $ cos (\ omega_0 t) $ obsahuje obě frekvence, protože $ \ omega_0 $ může mít pouze jednu hodnotu. “ Ne. Kosinus je součet dvou komplexních čistých tónů opačných frekvencí (dvou odlišných hodnot). To, co ‚ nezjistíte, je znamení $ \ omega_0 $. Buď je platná interpretace, podobná výběru druhé odmocniny. Podle konvence jsou tedy frekvence skutečných hodnotných čistých tónů považovány za pozitivní.
• @Cedron – Zvažte funkci $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ A $ \ \ proto \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ by dospěli jsme k závěru, že $ x ^ 2 $ je něco víc než jen funkce na řádku reálného čísla? Je to tajně vyrobeno ze dvou složitých funkcí? Pokud ano, které dva? … protože jsem stejně snadno mohl definovat $ f (x) $ jako $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Toto není ‚ o rozkladu funkcí. Mohli jste stejně snadno říci $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $, stejně tak jako hádka. Fráze “ obsahuje obě frekvence “ je v kontextu FT (v tomto případě spojitá). Pokud by $ cos $ měl pouze jednu frekvenci, měla by ve spektru pouze jednu nenulovou hodnotu.
• Nemyslím si ‚, že má smysl argumentovat, jak mnoho frekvencí, které obecný signál obsahuje, aniž by bylo dohodnuto, jaký je míněn “ rozumný “ rozklad na periodické funkce. Frekvence je pak jen zkratkovým výrazem pro periodickou složku frekvence . Rozumný rozklad nebude například zahrnovat komponenty, které se navzájem úplně ruší, nebo komponenty, které jsou identické.
• @Olli – Děkuji za redakční pomoc s mými deltami. Myslel jsem, že to ‚ nevypadá úplně dobře, ale neuvědomil jsem si ‚ proč.