Feynman-Kacova věta uvádí, že pro Ito-proces ve tvaru $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ existuje měřitelná funkce $ g $ taková, že $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ s příslušnou okrajovou podmínkou $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Víme také, že $ g (t, x) $ má tvar $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
To znamená, že mohu ocenit možnost s výplatní funkcí $ h (x) $ na $ T $ řešením diferenciální rovnice bez ohledu na stochastický proces.
Existuje intuitivní vysvětlení, jak je možné modelovat stochastické chování procesu Ito pomocí diferenciální rovnice, i když diferenciální rovnice nemá stochastickou složku?
Komentáře
- Uvnitř očekávání byste neměli ' t místo $ h (X_t) $ dát $ h (X_T) $. ?
Odpověď
Martingales + Markovian
Zde je motivace. Podmíněná očekávání jsou martingales podle vlastnosti věže podmíněných očekávání (snadné cvičení). Předpokládejme, že $ r = 0 $, podle rizikově neutrální věty o cenách $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ je cena jakéhokoli derivátu cenný papír s $ X $ jako podkladovým aktivem a výplatní funkcí $ h $ za předpokladu, že podkladový cenný papír a samotný derivát neplatí žádné mezilehlé peněžní toky. V markovianském prostředí musí platit, že cena derivátu je měřitelná funkce aktuální ceny aktiv a doby do splatnosti, řekněme funkce $ g (t, x) $. Poté Itoovým lematem $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Protože $ g $ je (posunutý) martingale, driftový člen musí být roven nule . okrajová podmínka pochází z žádné arbitráže, viz to tím, že si všimnete, co je $ g (T, x) $ z definice uvedené na prvním místě (pamatujte na měřitelnost, když berete podmíněné očekávání).
Komentáře
- Díky. Co je $ \ mathscr {F} _t $?
- Je to sigma Algebra z filtrace. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – docela dobře to doplňuje moji odpověď +1
- @Raphael – jen pomysli na $ \ mathscr F_t $ jako informace dostupné až do času $ t $. Svislá čára zní " vzhledem k ", takže když napíšete toto očekávání, do té doby ' vůbec neočekáváte a může to vyjít stejně, jako by to stála konstanta. Jako $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. V této knize existuje relativně dobré vysvětlení podmíněného očekávání.
Odpověď
Věta Feynman-Kac má smysl především v cenovém kontextu. Pokud víte, že nějaká funkce řeší Feynman-Kacovu rovnici, můžete ji představovat jako očekávání vzhledem k procesu. ( udělit tento dokument )
Na druhé straně cenová funkce řeší FK-PDE. Často by tedy bylo možné zkusit vyřešit PDE a získat cenový vzorec v uzavřené formě. ( dokument začínající na stránce 22 )
K simulaci stochastického procesu byste nepoužili Feynman-Kac. Na druhou stranu můžete použít stochastický postup k nalezení řešení FK-PDE ( viz zde )
Upravit 26.02.2014: Našel jsem dokument, který se pokouší vysvětlit souvislost mezi hustotou přechodu a FK-PD ( viz zde počínaje stránkou 5 )
Existuje také spojení mezi rovnicemi FK-Formula a Sturm-Liouvilleovy rovnice, které lze použít pro rozklad Brownových cest. ( viz tento příspěvek )
Komentáře
- Děkujeme za odkazy! Váš příspěvek vysvětluje několik aplikací a použití věty Feynman-Kac. Mým hlavním zájmem v tomto bodě je pochopit, proč je věta pravdivá, tj. Intuice za ní.
- Navrhuji zde důkaz: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Čtení důkazů často pomáhá pochopit, jak teorém vzniká. Nebo vás zajímá vysvětlení z phyiského hlediska?
Odpověď
Způsob, jakým myslím to je, že PDE popisuje tok časově závislého rozdělení pravděpodobnosti. Stochastický proces popisuje jednotlivé realizace (náhodné procházky s driftem), ale pokud jich spustíte velké množství, vytvoříte distribuci.
PDE říká, jak se tato distribuce mění v čase (první člen) v důsledku deterministického driftu (druhý člen) a difúze (třetí člen, což je spojení mezi „spoustou náhodných chodců“ a šířící se rozdělení pravděpodobnosti, které popisuje, jak daleko se průměrně dostali). Distribuce pravděpodobnosti obvykle začíná jako funkce delta kvůli známé počáteční podmínce.
Komentáře
- Jsem trochu zmatený. Máme PDE cenové funkce $ g (t, x) $ kromě driftu a volatility, není mnoho informací, které byste mohli sbírat z FK-PDE s ohledem na distribuci
Odpověď
Pojďme k této odpovědi přistoupit ve dvou krocích.
Nejprve Považuji za celkem intuitivní, že pro daný stochastický PDE existuje deterministický PDE, který vyvíjí hustotu na později. Tato rovnice je přímka Kolmogorovova nebo Fokker-Plankova. Proč je to intuitivní? Jeden také zná budoucí rozdělení Brownova pohybu (podle definice), proč by se tato změna měla měnit u složitějšího stochastického termínu?
Zadruhé, jakmile získáte rovnici vpřed, je otázkou matematiky také odvodit jeho časově obrácenou verzi. Toto je Feynman-Kacova rovnice a šíří distribuci zpět v čase.