Komentáře
- Čas je nekonečný – tj. padající objekt ' s rychlost nikdy není přesně tak rychlá jako koncová rychlost. Pokud chcete vědět, jak dlouho trvá říct 99% koncové rychlosti, je to lepší otázka!
- @alephzero: No, v realističtějším scénáři, kde je hustota vyšší poblíž země, objekt spadající z dostatečně vysoké výšky nad nakonec nakonec dosáhne své " terminálu " rychlosti (momentálně relativní na aktuální hustotu). A poté jeho rychlost klesne, jakmile bude vzduch hustší, a objekt se ve skutečnosti dostane na zem superkoncovou rychlostí.
- Pokud má objekt různý odpor (například je to parašutista nebo není koule a padá), její konečná rychlost se bude lišit podle její orientace. V tomto scénáři může někdy překročit svoji koncovou rychlost.
- @Ben: Ani pro kouli nebude tažení konstantní, protože Cd se obvykle mění s Reynoldsovým číslem, které bude neustále klesat, dokud terminál rychlost je dosažena.
Odpovědět
Padající objekt nedosáhne konečné rychlosti; přibližuje se k terminální rychlosti asymptoticky podle vzorce $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Zde $ m $ je hmotnost objektu, $ g $ je gravitační zrychlení, $ \ rho $ je hustota kapaliny, skrz kterou je objekt klesající, $ A $ je promítnutá oblast objektu a $ C_d $ je koeficient tažení .
Takže $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ je rychlost terminálu a $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ je časová stupnice na ke které se přibližuje koncová rychlost podle $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ V $ t = \ tau $ objekt je na 76% konečné rychlosti. Při $ t = 2 \ tau $ je objekt na 96% konečné rychlosti. U $ t = 3 \ tau $ je to 99,5% rychlosti terminálu.
Komentáře
- Všimněte si, že $ \ tanh x \ přibližně 1 – 2 e ^ {- 2x} $ pro velké $ x $, takže rozdíl mezi $ v $ a koncovou rychlostí klesá s časem přibližně exponenciálně. Může to být užitečné pravidlo; pokud je $ v $ o 1% nižší než $ v_t $ a 0,5% nižší než $ v_t $ o 10 sekund později, pak bude $ v $ o 0,25% nižší než $ v_t $ 10 sekund poté.