Frog Riddle – Podmíněné pravděpodobnosti

Pojďme se podívat na dvojici žab. Mužské žáby jsou ve videu identifikovány kvákáním.

Jak je vysvětleno ve videu, než uslyšíme nějaké kvákání, jsou zde 4 stejně pravděpodobné výsledky, protože 2 žáby:

• Žába 1 je muž, žába 2 je muž
• žába 1 je žena, žába 2 je muž
• žába 1 je muž, žába 2 je Žena
• Žába 1 je žena, žába 2 je žena

Předpoklady o tom, že muži a ženy se vyskytují stejně a nezávisle, je náš ukázkový prostor $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $ a pro každý prvek máme pravděpodobnost $ 1/4 $.

Nyní, jakmile uslyšíme škrekot pocházející z této dvojice víme, že alespoň jedna žába je mužská. Událost $ (F, F) $ je tedy nemožná. Pak máme nový, zmenšený vzorový prostor vyvolaný touto podmínkou: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Každá zbývající možnost je stále stejně pravděpodobná a pravděpodobnost součet všech událostí musí být $ 1 $. Pravděpodobnost každé z těchto tří událostí v novém ukázkovém prostoru tedy musí být $ 1/3 $.

Jediná událost, která pro nás končí špatně, je $ (M, M) $, takže existuje $ 2 / 3 $ šance na přežití.

---

Formálněji, podmíněná pravděpodobnost říká:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ čepice B)} {P (B)} $$ Takže pokud $ A $ je událost, že je přítomna alespoň jedna žena a $ B $ je událost, že je přítomný alespoň jeden muž, máme: \ begin {align} P (\ text {F zadáno alespoň 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F a alespoň 1 muž})}} {P (\ text {na nejméně 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M a 1 F})} {P (\ text {1 M nebo 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Toto je opravdu stejný postup, který jsme si vysvětlili výše.

Komentáře

• Ahoj mb7744, díky za rychlou odpověď. Rozumím odpovědi tak, jak je stanovena, ale zdá se mi to jako dvojité započítání, a proto se ‚ snažím odpověď přijmout. (M, F) = (F, M), jistě, a pokud ne, proč?
• (M, F) a (F, M) nejsou stejné události. Pokud se jedna žába jmenuje Alex a druhá žába se jmenuje Taylor, mohla by Alex být žena a Taylor muž NEBO naopak. Alex a Taylor by pravděpodobně nesouhlasili, že tento rozdíl nemá smysl. Nyní byste mohli zobrazit tyto dvě události jako rovnocenné.Pak však vaše tři výsledky (M, M), (F, F) a (M, F) nejsou stejně pravděpodobné. Smíšené párování je dvakrát tak pravděpodobné. To je stejný důvod, že je mnohem pravděpodobnější, že hodíte 7 na pár kostek než 2, i když všechny různé způsoby házení 7 považujete za rovnocenné.
• Ahoj, myslím to pomáhá vyjasnit, kde ‚ m ‚ nedostávám ‚ hádanku. Pokud mohu problém přeformulovat, jak ho ‚ m vidím, nahraďte žábu hodem mincí (nebo hodem kostkou). Pokud byste měli otočit dvě mince a vyloučit určité kombinace, zcela bych přijal odpověď. V analogii hádanky ‚ jsem si to však přečetl, protože dostáváme jen jedno vyhodení mincí. Druhý již byl vyroben a nemůže změnit výsledek druhého. Nevědět, který z těchto dvou výsledků již byl určen, nám ‚ neumožňuje otočit dvě mince a vybrat, které výsledky zahrnout nebo vyloučit. Takže pomocí analogie hodu kostkou …..
• … můžete házet dvěma kostkami, ale neznámá vám jedna kostka ‚ výsledek již byl rozhodl. Máte jen 1/6 šanci na vytvoření libovolného čísla 7-12. Mýlím se tady?
• Když se podíváme na všechny páry stejně pravděpodobných výsledků při házení kostkami, záleží na pořadí . Představte si, že jedna kostka je modrá a druhá červená a my napíšeme naše výsledky tak, že modrá kostka bude první a červená kostka poslední. Výsledek (1,2) pak není není stejný jako výsledek (2,1). A stejně jako dříve bude pravděpodobnost hození “ 1 a 2 bez ohledu na pořadí “ dvakrát větší než řekněme , válí pár 2s. Pokud jde o vaši poslední otázku, předpokládám, že jste chtěli říci, že jeden výsledek ‚ byl rozhodnut být 6 . V tom případě máte pravdu.

Protože matematika je již vyložena, pokusím se uveďte určitou intuici. Problém je v tom, že vědět, že alespoň jedna žába je muž, se liší od vědomí, že každá konkrétní žába je muž. První případ přináší méně informací, což účinně zvyšuje naše šance na druhou situaci .

Zavolejte žáby vlevo a vpravo a předpokládejme, že nám bylo řečeno, že pravá žába je mužská. Pak jsme z ukázkového prostoru vyloučili dvě možné události: událost, kde obě žáby jsou ženské a událost, kdy je levá žába mužská a pravá žába je ženská. Pravděpodobnost je nyní poloviční a nezáleží na tom, kterou z nich si vybereme. Přesně stejný argument platí, pokud se dozvíme, že levá žába je mužská.

Pokud nám však řekneme pouze to, že alespoň jedna žába je mužská, což se stane, když uslyšíme škrekot, nemůžeme odstranit případ, že levá žába je muž a pravá žába je žena. Můžeme eliminovat pouze událost, že obě jsou ženské, což činí událost, že alespoň jedna je ženská, pravděpodobnější než předchozí nastavení.

Myslím, že důvod, proč je to matoucí, je ten, že si přirozeně myslíme, že alespoň jeden muž by nás měl přimět k tomu, abychom si vybrali pár žab. Je pravda, že díky této informaci je méně pravděpodobné, že alespoň jedna je žena, ale uvědomte si také, že předtím, než jsme se vůbec něco naučili, byla alespoň jedna čtvrtina šance na alespoň jednu ženu. Je to nejednoznačnost informací, které dostáváme, což je dělá, takže bychom měli stále upřednostňovat dvě žáby před tou jednou.

Komentáře

• Díky dsaxton, intuitivně jsem se rozhodl pro dvě žáby, ale moje úvahy mi řekly, že obě možnosti jsou stejně pravděpodobné.
• Díky dsaxton, mám podezření ‚ s frázování hádanky, která mě vrhá. Jak je vidět, obě žáby nejsou rozlišitelné (bez dalších informací), takže nevidím rozdíl (M, F), (F, M) v tomto smyslu kontextu. Nejsem přesvědčen, že moje uvažování je vadné, ale omlouvám se, že jsem trochu pomalý.
• Ještě jednou děkuji dsaxton. Jak již bylo zmíněno výše, I ‚ jsem našel mentální zavěšení, které jsem měl, a nyní vidím, proč je odpověď správná odpověď (a otázka, na kterou jsem se ve skutečnosti snažil odpovědět). Ještě jednou děkuji za vaši pomoc, vidět odpověď prostě není to samé jako mít pomoc tomu opravdu porozumět.

Vaše intuice je v tomto případě správná. Jelikož je problém uveden, vaše šance na přežití jsou 50%. Video nesprávně uvádí problémový prostor na základě informací, které máme, a proto dochází k nesprávnému závěru. Správný problémový prostor obsahuje 8 podmínek a je následující.

Máme na žurnálu dvě žáby a jedna z nich zaskřehotala, jaké jsou naše možnosti?(M označuje muže, F označuje ženy a c označuje šklebící se, první pozice je levá, druhá pozice je pravá)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Každý případ je stejně pravděpodobný na základě informace, které máme, když odstraníme podmínky dané vědomím, že mužská žába zaskřehotala. Zjistili jsme, že lze očekávat 4 výsledky. Levá žába skřehotala vedle pravé mužské žáby, která byla zticha. Pravá mužská žába zakňučela vedle levé mužské žáby, která byla zticha. Nebo tam byla šklebící se mužská žába spárovaná s jednou ženskou žábou v obou směrech. Pro intuitivní způsob, jak tomu porozumět, je pravděpodobné, že obě mužské žáby budou kvákat dvakrát častěji než jediná žába spárovaná se ženou, takže je musíme náležitě zvážit.

Můžete také rozdělit prostor pro vyhledávání kvákající žába (C) a nekrochtající žába (N). Vzhledem k tomu, že šklebící se žába je 100% muž, můžete ji z hledání vyloučit, protože vám nemá šanci pomoci přežít. Zatímco autor zamýšlel vytvořit „problém montyho sálu“, nechtěně vytvořil „paradox pro chlapce nebo dívku“.

Následující otázky přinášejí různé výsledky:

Vzhledem k tomu, že existuje muž, jaká je pravděpodobnost, že ten druhý bude žena?

Vzhledem k tomu, že mužská žába škřekala, co je pravděpodobnost, že ten druhý bude žena?

Znám více informací v druhém případě

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Jasnější odpověď na tuto otázku, protože předchozí byla příliš dlouhá a nebylo snadné jí porozumět.

Možné výsledky jsou různé, i když jsem použil stejná písmena. Abych vyjasnil ukázkový prostor, popíšu možné výsledky

MM -> „The muž je vlevo „-“ Náhodný muž vpravo „

MF -> „Muž je vlevo“ – „Náhodná žena vpravo“

MM – -> „Muž je vpravo“ – „Náhodný muž vlevo“

MF -> „Muž je vpravo“ – „Náhodná žena vlevo“

Komentáře

• Počítáte MM dvojnásobně případ. ‚ Nemůžete pouze vyjmenovat všechny možné scénáře, aniž byste přihlíželi k tomu, zda ‚ přicházíte ke stejnému scénáři různými cestami.

Problém, který mám s tímto problémem, spočívá v tom, že se zdá, že řešení používá různá pravidla zvažuje možný výsledek pro dvě žáby, které jsou mužské a ženské a mužské a mužské.

Pár F / M a pár M / F se liší, protože nevíme, zda první žába nebo druhá žába je muž, takže F / M a M / F jsou dvě oddělené možnosti, přestože výsledek stále činí „jednu ženskou žábu, jednu mužskou žábu“.

Ale M / M pár je považován pouze za jeden možný výsledek, přestože by měla platit stejná logika: nevíme, která žába je ta, která vydávala zvuk kvákání, takže buď žába může být ta, kterou jsme slyšeli, a druhá může být stále mužská , nestalo se, že by škřečel.

Commen ts

• Toto má spíše povahu komentáře než odpověď na hádanku „. “ Změňte to prosím na komentář a smažte tuto “ odpověď. “
• @DJohnson Ve skutečnosti se jedná o odpověď na hádanku, ačkoli pozdější odpověď od tomcioppu ji vysvětluje jasněji.

Nic nevím: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tři páry s alespoň jednou ženou ze čtyř možných kombinací: $ 3/4 $ nebo $ 75 \% $

Znalost prvního je mužského pohlaví: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Jeden pár s alespoň jednou ženou ze dvou možných kombinací: $ 1/2 $ nebo $ 50 \% $

S vědomím, že existuje alespoň jeden muž: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ rozpětí>.Dva páry s alespoň jednou ženou ze tří možných kombinací: $ 2/3 $ nebo $ 67 \% $

Než uslyšíme nějaké škrekování, jsou zde 4 stejně pravděpodobné výsledky s 2 žabami:

Žába 1 je muž, žába 2 je muž

Žába 1 je žena, žába 2 je muž

Žába 1 je muž, žába 2 je žena

Žába 1 je žena, žába 2 je žena

Vytváříme-li předpoklady o tom, že muži a ženy se vyskytují stejně a nezávisle, náš ukázkový prostor je {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)} a pro každý prvek máme pravděpodobnost 1/4.

Jakmile uslyšíme škrekot pocházející z této dvojice, víme, že alespoň jedna žába je mužská. Tento muž může být stejně pravděpodobný jako Žába 1 nebo Žába 2. Takže pro Žábu 1 existují 2 stejně pravděpodobné výsledky:

Žába 1 je muž

Žába 1 je náhodná žába

Při vytváření předpokladů o tom, že muži a ženy se vyskytují stejně a nezávisle, je náhodná žába stejně pravděpodobná jako náhodný muž nebo náhodná žena.

P (žába 1 je náhodný muž vzhledem k žabě 1 je Náhodná žába) = P (Žába 1 je Náhodná žena, Žába 1 je Náhodná žába) = 1/2

P (Žába 1 je Náhodný muž a Žába 1 je Náhodná žába) = P (Žába 1 je Náhodná Frog) P (Frog 1 is Random Frog 1 is Random Frog) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frog 1 is Náhodná žena a Žába 1 je Náhodná žába) = P (Žába 1 je Náhodná žába) P (Žába 1 je Náhodná žena vzhledem k Žábě 1 je Náhodná žába) = (1/2) (1/2) = 1/4

Takže pro Žábu 1 existují 3 možné výsledky:

Žába 1 je Muž

Žába 1 je Náhodný Muž

Žába 1 je náhodná žena

a pravděpodobnosti jsou:

P (žába 1 je muž) = 1/2

P (žába 1 je náhodný muž ) = 1/4

P (Frog 1 is Random Female) = 1/4

Nyní pro každý možný výsledek pro Frog 1 existují 2 možné výsledky pro Frog 2:

Frog 2 je Muž

Žába 2 je Náhodná žába

U každého možného výsledku pro Žábu 1 je Náhodná žába stejně pravděpodobná jako Náhodný muž nebo Náhodná žena.

Takže pro každý možný výsledek pro Žábu 1 existují 3 možné výsledky pro Žábu 2:

Žába 2 je muž

Žába 2 je náhodný muž

Žába 2 je náhodná žena

P (Žába 2 je Muž vzhledem k Žába 1 je Muž) = 0

P (Žába 2 je Muž vzhledem k Žába 1 je Náhodný Muž) = 1

P (Žába 2 je Muž, Žába 1 je Náhodná žena) = 1

P (Žába 2 je Náhodný muž, Žába 1 je Muž) = 1/2

P (Frog 2 je náhodný muž vzhledem k Frog 1 je náhodný muž) = 0

P (Frog 2 je náhodný muž vzhledem k Frog 1 je náhodný žena) = 0

P (Žába 2 je náhodná žena vzhledem k Žába 1 je muž) = 1/2

P (Žába 2 je náhodná žena vzhledem k Žába 1 je náhodná žena) = 0

P (Žába 2 je Random Žena vzhledem k Frog 1 je Random Fe male) = 0

P (Frog 2 is Random Male and Frog 1 is Male) = P (Frog 1 is Male) P (Frog 2 is Random Male given Frog 1 is Male) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (žába 2 je náhodná žena a žába 1 je muž) = P (žába 1 je muž) P ( Žába 2 je náhodná žena vzhledem k žábě 1 je muž) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (žába 2 je muž a žába 1 je náhodný muž) = P (Žába 1 je náhodný muž) * P (Žába 2 je Muž vzhledem k Žába 1 je náhodný muž) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Žába 2 je Muž a Žába 1 je náhodná žena) = P (žába 1 je náhodná žena) * P (žába 2 je muž vzhledem k tomu, že žába 1 je náhodná žena) = (1/4) * 1 = 1/4

Takže naše ukázkový prostor je {(Muž, Náhodný Muž), (Muž, Náhodná Žena), (Náhodný Muž, Muž), (Náhodný Muž, Muž)} a pro každý prvek máme pravděpodobnost 1/4.

P (F dané alespoň 1 M) = P (F a alespoň 1 muž) / P (alespoň 1 M) = P (1 M a 1 F) / P (1 M nebo 2 M) = P [( Muž, náhodná žena), (náhodná žena, muž)] / P [(muž, náhodný muž), (muž, náhodná žena), (náhodný muž, muž), (náhodná žena, muž)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Komentáře

• Zkopírovali jste a vložili z mé odpovědi a odstranili formátování?
• Nejdříve ze všeho zkopírujete a vložíte část někoho jiného ‚ s odpověď, aniž by ji zmínil, je nepřijatelná. Kromě toho, pokud si myslíte, že jste dosáhli jiného výsledku, existuje stručnější způsob, jak to vysvětlit? Napsali jste spoustu odpojených rovnic bez jakéhokoli vysvětlení.
• ‚ není to literatura, ale stále je to neslušné. Nyní, s ohledem na vaši odpověď versus moje: Považuji vaši za nesmyslnou. Jaký je význam výsledku “ Frog 2 is Random Frog „?
• Vaše odpověď byla jediná výpočet podmíněných pravděpodobností. Použití stejných výrazů by mohlo pomoci porovnat a zjistit, která část je stejná a která odlišná. Mohu říci, považuji i jiné odpovědi za nesmyslné, ale neřekl jsem to, protože by to bylo neslušné;). Pokud nerozumíte něčemu, můžete za soumraku požádat o vysvětlení. “ Žába 2 je náhodná žába “ znamená, že to není mužská žába, o které je známo, že je v páru ….
• Existují dva zdroje náhodnosti, jeden pochází z mužské žáby, o níž je známo, že je v páru, druhý pochází z populace žab. Jelikož víme, že tam samčí žába je, nejistota je jen o poloze. Je to žába 1 nebo žába 2? Nebo je to nalevo nebo napravo? Moje rada je, použijte stromový diagram k vytvoření ukázkového prostoru od nuly a použijte všechny dostupné informace.