Obtěžuji se s motivací definování čtyřrychlosti. V Schutzově prvním kurzu v Obecná relativita , používá koncept tečného vektoru v každém bodě světové linie částice dané $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . A později uvádí, že
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
Matematické vysvětlení, které jsem našel pro použití správného času jako parametru, se kterým všichni pozorovatelé souhlasí, ale nemohu si uvědomit, jaké problémy s touto definicí získáváme, místo toho použijeme vztah
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
kde $ t $ je míra času v nějakém setrvačném rámci S.
Komentáře
- Nemyslím si ', že byste ' kladli tuto otázku v euklidovském prostoru. Zvažte křivku $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Potom lze tangenciální vektory zapsat jako $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. NEBO bychom mohli následovat váš druhý návrh a použít $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Tečný vektor bude i nadále ukazovat správnou cestu, ale bez longe r je pěkně definováno a definice vám již neumožňuje otáčet způsobem, který smíchá souřadnice nahoru, protože vyčleňuje $ x $.
- Nevysvětluje kniha někde, že je definována rychlost čtyř tak, aby to byl Lorentzův čtyři vektor?
- @ jacob1729 můžete mi uvést nějaký příklad? Jsem ' s tímto tématem docela zmatený
Odpovědět
@Milan již odpověděl na technické problémy vaší definice.
Chtěl bych poukázat na koncepční problémy. Chtěli bychom, aby čtyřrychlost nějakým způsobem charakterizovala pohyb objektu v časoprostoru. Koncepčně má smysl požadovat, aby takové množství závislo pouze na množstvích, která mají přímý vztah k tomuto pohybu. Přinést tedy čas nějakého náhodného pozorovatele, který nemá nic společného s pohybem objektu, by bylo koncepčně podivné rozhodnutí. Má smysl definovat 4-rychlost jako tečný vektor k světové linii objektů, protože tato matematická entita je přímo spojena s a tedy také s pohybem objektů. Samozřejmě potřebujeme určitou parametrizaci světové linie, která by byla ideálně přirozená pro vlastní světovou linii / pohyb a nezávisí na žádných vnějších veličinách. Protože v časoprostoru má každý objekt své vlastní hodiny, tato křivka je přirozeně parametrizována hodinami samotného objektu, tj. jeho správným časem.
Všimněte si, že tímto způsobem nemusíte vůbec mluvit o skupině Lorentz. Když jsem se poprvé dozvěděl o 4-rychlosti, rozhodnutí použít správný čas v derivaci mi připadalo jako náhodné rozhodnutí, jen udělat nějaký Lorentz 4-vektor. Ale ve skutečnosti to má hlubší geometrické důvody, jak jsem se snažil vysvětlit.
Komentáře
- Můžete doporučit nějakou knihu relativity, která vysvětluje tato témata, jako jste vysvětlili vy?
- @Lil ' Gravitace ne tak docela, ale mohu vám dát tři knihy, které pro mě osobně vyniknou. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitace vysvětluje obecnou relativitu a diferenciální geometrii na velmi intuitivní úrovni – spolu s fyzickými motivacemi pro většinu matematiky a Wald – Obecná relativita je skvělá kniha pro formálnější a geometrický přístup, aby bylo jasné, jak jsou definovány pojmy abstraktně bez potřeby souřadnicového systému. Pak je tu Fecko – Diferenciální geometrie a Lieovy skupiny pro fyziky, které považuji za nejlepší učebnici diferenciální geometrie.
Odpověď
První definice se transformuje do čtyř vektorů: $ \ dfrac {dx ^ {“ \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Druhá definice se transformuje ne jako čtyři vektory: $ \ dfrac {dx ^ {„\ mu}} {dt“} = \ dfrac {dt} {dt „} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
To dává smysl, protože v první definici rozdělíte diferenciály čtyřvektoru (které se samy také transformují jako čtyři -vector) skalárem (invariantní ve skupině Lorentz).