Gravitační zrychlení na Měsíci a Marsu

Nechť “ Uvidíme, jak se gravitační zrychlení získá pro jakoukoli planetu, a pak to můžeme použít na Zemi nebo na Měsíc nebo na cokoli chceme.

Newtonův gravitační zákon nám říká, že velikost gravitační síla mezi objekty s hmotami $ m_1 $ a $ m_2 $ je dána \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} kde $ r $ je vzdálenost mezi jejich centra hmoty. Nyní předpokládejme, že objekt 1 je planeta o hmotnosti $ m_1 = M $ a poloměru $ R $ a objekt 2 je mnohem menší objekt o hmotnosti $ m_2 = m $ umístěný ve výšce $ h $ nad povrchem planety to je malé ve srovnání s poloměrem planety. Velikost gravitační síly mezi dvěma objekty bude na druhou stranu \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align}, říká Newtonův druhý zákon nám, že zrychlení objektu 2 uspokojí \ begin {align} F = ma \ end {align} Kombinace těchto faktů, jmenovitě nastavení pravé strany, způsobí, že z rovnic vypadne hmota $ m $ a zrychlení kvůli gravitaci objektu hmotnosti $ m $ se stává \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ vlevo (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} kde v druhé rovnosti jsem provedl Taylorovo rozšíření odpovědi, pokud jde o malé číslo $ h / R $. Všimněte si, že nula řád, jmenovitě dominantní příspěvek, když je objekt 2 blízko povrchu planety, je nějaká konstanta, která je nezávislá na výšce a závisí pouze na hmotnosti a poloměru planety; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} To je přesně to, co obvykle nazýváme zrychlení v důsledku gravitace blízko povrch planety. Pokud připojíte čísla pro Zemi, dostanete \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ přibližně 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} a já “ Necháme na vás, abyste určili počet pro jiné planety. Důležitou vlastností tohoto zrychlení díky gravitaci je, že se lineárně mění s hmotností $ M $ planety a škáluje se jako záporná druhá síla poloměru planeta.

Komentáře

• Myslím, že je také užitečné zmínit účinky odstředivé síly v důsledku úhlové rychlosti nebeského tělesa. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Dalším efektem je to, že samotné tělo vyboulí kolem rovníku, čímž zvyšuje poloměr povrchu v blízkosti rovníku (klesá blízko pólů).

Konstanta gravitačního zrychlení definovaná jako $ g $ pro Zemi závisí na hmotnosti Země a vzdálenosti od ní. Vzorec is $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Viz Newtonů L aw univerzální gravitace pro více podrobností). Takže $ g $ není konstanta ani na Zemi, ale závisí na vaší nadmořské výšce, i když spíše pomalu. Pokud jste na Měsíci, je hmotnost Měsíce $ (~ 10 ^ {22} kg) $ menší než Země $ (~ 10 ^ {24} kg) $ a tedy gravitační síla, kterou byste cítili, $ mg $ by bylo mnohem méně, protože $ g $ je menší, asi 1,62 m / s ^ 2 $.

Jednotky $ g $ jsou také $ m / s ^ 2 $ a ne $ N / s ^ 2 $

Snadný způsob, jak o tom přemýšlet, je zvážit, že gravitační zrychlení na povrchu řekněme planetárního tělesa v podstatě závisí na dvou veličinách: hmotnosti tělesa a poloměru .

Povrchové zrychlení se zvyšuje s hmotností těla (pokud zdvojnásobíte hmotnost, zdvojnásobíte zrychlení) a sníží se s druhou mocninou poloměru (pokud zdvojnásobíte poloměr, zrychlení se rozdělí na čtvrtiny).

Takže například poloměr Měsíce je asi 0,273krát větší než poloměr Země, ale hmotnost Měsíce je asi 0,0123 hmotnosti Země. Očekávali bychom tedy, že zrychlení na povrchu Měsíce bude

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ přibližně \ dfrac {g_e} {6} $

a povrchová gravitace Měsíce je asi 1,62 $ \ frac {m} {s ^ 2} $

Takže pokud znáte hmotu a poloměr, řekněme, Marsu, můžete určit povrchovou gravitaci Marsu následovně:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $