Hamiltonův ' s princip

Poznámky z 1. týdne Kurz lagrangické mechaniky Johna Baeze poskytuje určitý pohled na motivaci pro principy akce.

Myšlenka je, že nejméně akce by mohla být považována za rozšíření principu virtuální práce. Když je objekt v rovnováze, vyžaduje nulovou práci, aby na něm bylo provedeno libovolné malé posunutí, tj. E. bodový produkt libovolného malého vektoru posunutí a síla je nula (v tomto případě proto, že samotná síla je nula).

Když se objekt zrychluje, přidáme-li „setrvačnou sílu“ rovnou $ \, – ma \, $ , pak malé, libovolné, časově závislé posunutí od skutečné trajektorie objektů by opět mělo produkt s nulovou tečkou s $ \, F-ma, \, $ přidána skutečná síla a setrvačná síla. To dává

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Z zde několik výpočtů nalezených v poznámkách vede k integrálu stacionární akce.

Baez pojednává o D „Alembertovi víc než Hamiltonovi, ale v každém případě je to zajímavý pohled na původ myšlenky.

Komentáře

• Upozorňujeme, že princip virtuální práce se nazývá D ‚ Alembertův princip: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Existuje také Feynmanov přístup, tj. nejméně akce platí klasicky jen proto, že to platí kvantově mechanicky, a klasická fyzika je nejlépe považována za aproximaci základního kvantového přístupu. Viz http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html nebo http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

V zásadě je celá věc shrnuta v kostce do R. ichard P. Feynman, Feynmanovy přednášky z fyziky (Addison – Wesley, Reading, MA, 1964), sv. II, kap. 19. (Myslím, prosím, opravte mě, pokud se mýlím.) Základní myšlenkou je, že akční integrál definuje kvantově mechanickou amplitudu pro polohu částice a amplituda je stabilní vůči interferenčním účinkům (-> má nenulová pravděpodobnost výskytu) pouze v extrémech nebo sedlech akčního integrálu. Částice skutečně prozkoumají všechny alternativní cesty pravděpodobnostně.

Pravděpodobně si budete chtít přečíst Feynmanovy přednášky z fyziky, stejně jako dobře začněte hned. 🙂

Komentáře

• Feynman ‚ s Přednášky z fyziky jsou dobré, ale nejlépe si je přečtěte po správně se naučit předmět, abych získal nový / další vhled, cítím.

Jak můžete vidět na obrázku níže, chcete, aby variace integrálu akce byla minimální, proto musí být $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ 0 $. Jinak nechodíte po skutečné cestě mezi $ q_ {t_ {1}} $ a $ q_ {t_ {2}} $, ale o něco delší cestou. I když však budete sledovat $ \ delta S = 0 $, jak víte, můžete skončit s jiným extremem.

Po odkazu od jc najdete O obecné metodě pro dynamiku , která pravděpodobně odpovídá na vaši otázku ohledně Hamiltonova uvažování. Nečetl jsem to ale téměř jistě stojí za to.

Komentáře

• Vypadá to jako tautologická odpověď, protože je to přesně Hamilton ‚ s principem, který se používá k dosažení výše uvedeného obrázku na prvním místě.
• Možná vás naučil Hamilton ‚ s principu obrázek jako vysvětlení, ale obrázek je naprosto obecný. Popisuje variaci funkce s pevnými koncovými body.

Obecně vyprávím příběh, že princip akce je dalším způsobem, jak se dostat ke stejným diferenciálním rovnicím – takže na úrovni mechaniky jsou oba ekvivalentní. Pokud však jde o kvantovou teorii pole, je při posuzování okamžitých účinků nezbytný popis integrálů cest nad exponenciální akcí. Nakonec tedy člověk zjistí, že formulace, pokud jde o činy, je zásadnější a fyzicky zdravější.

Lidé přesto nemají „cit“ pro jednání tak, jak mají cit pro energii.

Nezapomeňme, že pohybové rovnice s počáteční podmínky $ q (0), (dq / dt) (0) $ byly nejprve pokročilé a princip nejméně akce byl formulován později jako posloupnost. Ačkoli je to matematicky krásné a elegantní, Princip nejméně akce používá nějakou budoucí „hraniční“ podmínku $ q (t_2) $, která je fyzicky neznámá. Neexistuje princip nejméně akce fungující pouze s počátečními podmínkami.

Navíc se předpokládá, že rovnice mají fyzikální řešení. Je tomu tak v klasické mechanice, ale v klasické elektrodynamice je to špatné. Takže i když jsou odvozeny z formálně správného „principu“, rovnice se mohou mýlit na fyzické i matematické úrovni. respekt, formulace správných fyzikálních rovnic je pro fyziky zásadnějším úkolem než spoléhat se na nějaký „princip“ získávání rovnic „automaticky“. Jsme to fyzici, kdo je zodpovědný za správné formulování rovnic.

V CED, QED a QFT je třeba „opravit za chodu“ nesprávná řešení, protože fyzika byla uhodnuta a původně nesprávně implementována.

PS Chtěl bych ukázat, jak ve skutečnosti systém „volí“ svoji trajektorii: pokud při $ t = 0 $ má částice hybnost $ p (t) $, pak při příštím $ t + dt $ bude mít hybnost $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Tento přírůstek je časově zcela lokální, je určen aktuální hodnotou síly $ F (t) $, takže ji nemůže určit žádná budoucí „hraniční“ podmínka. Trajektorie není „vybrána“ z virtuálních; je to „přitahováno“ okamžitými hodnotami síly, souřadnic a rychlosti.

Komentáře

• Rád bych si myslel, že obě možnosti jsou pouze matematické modely, takže žádný není reálnější. Ani systém nevybírá svou trajektorii, ani budoucnost neurčuje nejméně akční cestu. Nelokalita QM vede k podobným pochybnostem.
• Je překvapivé, že nyní existuje princip nejméně akce fungující pouze s počátečními podmínkami! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Zde je zdarma verze arXiv . Aniž byste si článek přečetli podrobně, zavánělo to klasickým Keldyshovým formalizmem , srov. toto a tento příspěvky Phys.SE.

Místo zadání počáteční polohy a hybnosti, jako jsme to udělali v Newtonově formalismu, přeformulujme naši otázku takto:

Pokud se rozhodneme určit počáteční a konečnou pozici: $ \ textbf {Jakou cestu má částice?} $

Nechte“ Pokud tvrdíme, že můžeme Newtonův formalismus obnovit následujícím formalismem, takzvaným lagraniánským formalismem nebo hamiltoniánským principem.

Každému z cest ilustrovaných na výše uvedeném obrázku přiřadíme číslo, které nazýváme akce

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

kde tato integrand je rozdíl mezi kinetická energie a potenciální energie.

$ \ textbf {Hamiltonův princip tvrdí} $: Skutečná cesta částice je extrémem S.

$ \ textbf {Proof:} $

1. Mírně změňte cestu:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. Udržujte koncové body cesty pevné :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Proveďte variaci akce $ S $:

nakonec získáte

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Podmínka, že cesta, kterou jsme začali, je extrémem akce, je

$$ \ delta S = 0 $$

který by měl platit pro všechny změny $ \ delta \ vec {r} (t) $, které na cestě provedeme. Jediným způsobem, jak se to může stát, je, když je výraz v $ [\ cdots] $ nula.To znamená

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nyní to rozpoznáváme jako $ \ textbf {Newtonovy rovnice} $. Požadavek na extremizaci akce je ekvivalentní požadavku, aby se cesta řídila Newtonovými rovnicemi.

Další podrobnosti naleznete v této přednášce ve formátu PDF.

Doufám, že to pomůže.

Komentáře

• Pokud vidíme částice omezené pohybem po kouli, dostaneme se k cestám jeden je maximum nebo minimum. Cítím, že částice sleduje cestu nejmenší akce, ale matematická rovnice δS = 0 nám dává nejednoznačnou odpověď, ale určitá část této odpovědi obsahuje cestu nejmenší akce. Můžete vidět Arfkena a Webera.